基于FAHP-CRITIC组合赋权的采矿方法优选

杨 洋，黄德镛，耿元玲，杜志锦，郭 琦

(昆明理工大学 国土资源工程学院，云南 昆明 650093)

0 引言

根据矿体的厚度、倾角、矿体与围岩的稳固程度选用合理的采矿方法是矿山开采的重要任务，也是保障矿山可持续发展的基础。采矿方法优选是一个涉及多个影响因素和多个服从评价指标的决策过程，需要选用合理高效的算法。

采矿方法优选主要分为主观赋权和客观赋权两类。主观赋权方法主要有层次分析法、专家调查法(德尔菲法)、未确知测度理论和PCE法等[1-4]。在主观赋权时，决策者极易脱离现场测试数据，往往仅通过其专业知识和以往经验进行判断，这就很容易造成主观臆断。客观赋权方法主要有熵值法、主成分分析法、均方差法(离差法)、变异系数法、CRITIC法等[5-8]。客观赋权往往不考虑决策者的专业知识以及经验，而是依据实际测量数据来进行赋权，但是在实际测量过程中有许多不确定因素会使数据出现一定的偏差，从而造成结果与实际不符。将两种方法的优点融合后，既考虑了决策者的实践经验和理论知识，又可以充分运用现场试验数据，从而能更加合理有效地甄选最优采矿方法。

云南某铜矿处于新构造活动强烈地带，属于地壳运动相对不稳定地区。针对该铜矿存在的采矿方法选择问题，本文提出了FAHP-CRITIC组合赋权的优选方法，该方法利用FAHP法求得主观权重，利用CRITIC法求得客观权重，然后将FAHP法所得权重与CRITIC法所得权重通过矩估计法求解最优组合权重，最后据此判别最优采矿方法。

1 FAHP-CRITIC法组合赋权评价模型

1.1 FAHP法简介

层次分析法(AHP)是一种用于多个目标和层面的综合评价方法，由美国学者萨蒂在1970年提出[9]。层次分析法最大的缺点在于判断矩阵的一致性检验比较困难，因此有人提出了模糊层次分析法(FAHP)。该方法结合了模糊法和层次分析法，能充分发挥二者的优点，可以很好地解决有众多层次评价指标时(如4个以上)评价指标思维不一致的问题。FAHP法的基本思想是将多个评价问题按目标的层次由大到小层层分解，构成一个自下而上的金字塔形层次结构[10-12]。该方法的基本原理阐述如下。

1.1.1 构造模糊判断矩阵

三角模糊数表达式为

(1)

式中：s表示m的下限；u表示m的上限，s<

在定论域R上的一个模糊集是指对任何x∈R，都有一个数μ(x)∈[(1，1，1)，(7，8，9)]与之对应，μ(x)称为x对R的隶属度，μ称为隶属度函数。

三角模糊数M表示为(s，m，u)，则有

(2)

模糊判断矩阵是由相关专家将其中一个指标与其他各个指标相比，得到该指标的相对重要程度，进而得到三角模糊数。构建三角模糊判断矩阵A=(aij)n×n，如表1所示。表1中Fq表示上一层的某个因子；E1-En为本层的各个因子；aij表示对于Fq而言，Ei相对于Ej的重要程度。

表1 三角模糊判断矩阵

1.1.2 评价指标主观赋权

为考虑变量的主观模糊性，根据各三角模糊数变量之间的相对重要性，对各指标层下的各评价指标两两打分，并对各评价指标进行主观赋权。模糊判断矩阵标度如表2所示。

表2 模糊判断矩阵标度

根据各专家比较后的结果得到模糊数(s1，m1，u1)，…，(si，mi，ui)，…，(st，mt，ut)，整合模糊判断矩阵，公式为

(3)

1.1.3 权重计算

计算第k层元素i的初始权重：

(4)

(5)

(6)

(7)

d(Ep)=minv(Dp>Dj) ，

(8)

式中，j=1,2,…,n，且j≠p。

(9)

Wk=(w1,w2,…，wn)。

(10)

层次总排列的权重为

W=W(k)W(k-1)…W(2),其中k≥2。

(11)

1.2 CRITIC法

CRITIC法是一种比熵权法、均方差法和变异系数法更合理的客观赋权法[13]，是通过各评价指标之间的矛盾性和对比强度进行综合评价的方法。该方法既考虑了各评价指标之间的差异性，又兼顾了各评价指标之间的相关性，完全利用数据自身的客观属性进行科学评价[14-15]。该方法的基本原理阐述如下。

首先，建立评价矩阵，在m个方案中有n个指标：

(12)

其次，需要将指标作同向化处理。因为在评价过程中会出现正向指标和负向指标，如采矿回收率属于正向指标，贫化率、损失率属于负向指标，正负指标同时存在会造成体系的计算量变大，故需要将正负指标作同向化处理，即转换成同一方向的指标再进行计算。负向指标转换为正向指标的公式为

(13)

式中：max|xi|为第i个指标的最大值；p为协调系数，取值范围为0～0.1，越接近0.1代表判断结果的一致性越高，本文取0.1。经同向化转换后，评价矩阵X转换为X′。

由于正向化得到的矩阵X′在矩阵中的各评价指标的意义不同，评价单位尺度也不一样，所以需要为各评价指标寻找一个合适的替代变量，即对各评价指标进行无量纲化处理以减小因量纲不同对结果的影响，处理公式为

(14)

因为对于同一指标会有不同样本的取值，对这些取值进行差异性大小评价时要用标准差来度量，即以各评价指标之间的系数关系为依据，构造出反映指标之间冲突性的量化表达式。经过无量纲化处理后得到标准矩阵X″，再经求导得出各指标间的标准差σi。

(15)

计算各指标的相关系数：

(16)

然后计算各指标包含的信息量：

(17)

信息量Ci越大，则第i个评价指标在整个评价指标体系中的作用越大，就赋予其更多的权重，故Ci与评价指标成正比例关系。所以第i个评价指标的客观权重αi的计算公式为

(18)

1.3 矩估计法

FAHP法在确定主观权重时，过于注重主观因素而忽略了客观因素。CRITIC法确定客观权重时又仅是基于客观性来评价，缺乏主观性[16]。因此，运用矩估计法将FAHP法的主观性与CRITIC法的客观性结合起来，可使评价结果更加合理。

对n种评价原则进行主观评价指标赋权，可以得到通过评价原则对各主观指标赋权的权重集合：

Ws={wsj|1≤s≤n,1≤j≤m},

(19)

在对决策矩阵作归一化后，为了得到客观权重集合，用q-n种客观赋权法对评价指标进行赋权，则集合为

Wb={wsj|n+1≤b≤q,1≤j≤m},

(20)

假设从总体的主观权重与客观权重中抽取样本n个和q-n个，针对每个评价指标dj=(1≤j≤m)有q个权重指标，关于各评价指标的集合权重wj=(1≤j≤m)，则需要满足wj和q个主客观权重之间的赋权值越小越好。

根据矩估计法的评价指标原则，计算得出的主客观权重的相对重要程度值须不同。因此设主客观权重的相对重要程度分别为α和β，其集成优化模型为

(21)

式中，wj为集合权重，wsj为主观权重，wbj为客观权重，0≤wj≤1，1≤j≤m。

分别从主客观总体中选取q个样本，用矩估计法计算每个评价指标dj=(1≤j≤m)的主观权重wsj和客观权重wbj的期望值：

(22)

根据式(22)计算出每个评价指标dj=(1≤j≤m)的主客观权重的重要系数αj和βj：

(23)

对于有多个评价指标的决策矩阵，可视为从主客观总体中分别选取m个样本，同样采用矩估计法得出：

(24)

对于任何一个评价指标dj=(1≤j≤m)，H(wj)越小越好，因此将式(21)转化为

(25)

运用等权的线性加权方法求解式(25)，通过该方法将最优模型中的多目标转化为单目标，即

(26)

通过式(26)求出最优组合权向量，该向量是多个评价指标的主观权重和客观权重耦合得出的最优结果。

2 采矿方法评价指标体系

在采矿方法的选择过程中需要考虑多个评价指标，这些评价指标构成了一个评价体系，评价体系主要分为目标层(A)、准则层(P)、指标层(X)，再结合专家意见和矿山实际情况，最终从技术、经济、安全环保三个方面确定准则层的评价目标，3个评价目标下包含了8个评价指标(见图1)。

图1 评价体系层次结构

3 采矿方法优选实例

3.1 定性定量隶属度矩阵的确定

定性定量隶属度矩阵的确定方法有以下两种:

a.效益型极差变换法

(27)

b.成本型极差变换法

(28)

该铜矿矿体倾角为48°～70°，Ⅰ、Ⅱ号主矿体平均厚度分别为40、37 m，为急倾斜厚大矿体，地表均不允许陷落。根据该铜矿开采技术条件、实际调查情况以及参考类似矿山，初选出3种采矿方法：M1(大直径深孔阶段空场嗣后充填采矿法)、M2(两步骤中深孔空场嗣后充填采矿法)、M3(分段空场嗣后充填采矿法)。其采矿方法经济评价指标值如表3所示。

表3 采矿方法经济评价指标值

表3中：X1、X2、X3、X4、X5属于定量评价指标，X6、X7、X8属于定性评价指标；X5、X6、X7、X8属于效益型指标，X1、X2、X3、X4属于成本型指标。

采用式(27)、式(28)计算得到定量指标标准化矩阵：

采用优先关系二元排序法确定隶属度矩阵，首先邀请10位专家进行打分，将分值划分为7个级别，并相应地赋值为10、8、6、5、4、2、0，其中10代表最好，依次呈降序排列。

根据打分情况建立优先关系矩阵：

C=[cij]n×n。

(29)

计算隶属度：

(30)

根据式(29)计算得到其模糊关系矩阵：

根据式(30)计算得到各定性指标的隶属度(见表4)。

表4 各采矿方法定性评价指标隶属度

采用式(28)对定性指标隶属度进行标准化：

结合R1和R2确定各方案的隶属度矩阵：

3.2 各方案评价指标权重的确定

运用FAHP法对各评价指标进行主观权重计算。由式(5)-式(10)得到准则层各指标的综合权重：

再由式(11)计算其指标层的综合权重和采矿方法评价指标总权重(见表5)。

表5 各层指标主观权重

首先根据采矿方法的评价指标建立评价矩阵X，再作同向化处理，将矿石贫化率、矿石损失率和采切比等负向指标转换为正向指标后得到X′，再对矩阵X′作无量纲化处理，得到标准矩阵：

再根据式(15)-式(18)，计算出各采矿方法评价指标信息量Ci以及客观权重αi(见表6)。

表6 各评价指标客观权重

运用FAHP法和CRITIC法计算主客观权重后，由矩估计法的式(19)-式(23)求出主客观权重的重要系数，得出α=0.433 2，β=0.566 8。将重要系数代入式(26)，最终得出采矿方法评价指标的最优组合权重(见表7)。

表7 各评价指标综合权重

3.3 采矿方法优选

根据最优组合权重W和隶属度矩阵R的计算结果，将这两组计算结果变换为矩阵，再计算二者的乘积：

(31)

式中，mn为采矿方法的综合隶属度。

根据式(31)算得

Mj=(0.747 3 0.431 2 0.530 6)。

故据此判断采矿方法综合隶属度最大的即为最优采矿方法，即M1(大直径深孔阶段空场嗣后充填采矿法)为最优采矿法。

4 结论

a.根据该铜矿的赋存条件得出采矿方法经济评价指标值，并通过定性定量分析得出各评价指标的隶属度矩阵。

b.将各采矿方法的评价指标通过FAHP法和CRITIC法进行赋权，由矩估计法得出采矿方法评价指标的最优组合权重再与隶属度矩阵相乘得到各方案的综合隶属度。因大直径深孔阶段空场嗣后充填采矿法的综合隶属度最大，故确定为该矿的最优采矿法。矿山的生产实践表明，该采矿方法合理可靠，因此运用FAHP法和CRITIC法赋权并用矩估计法组合赋权的方法优选采矿方法是可行的。