欠驱动RTAC的滑模自抗扰镇定控制

檀盼龙，秦华阳，孙明玮 ，刘俊杰，孙青林，陈增强

(1.南开大学人工智能学院，天津 300350;2.天津理工大学电气电子工程学院，天津 300384)

1 引言

欠驱动系统是指独立的控制量少于其自由度的一类系统[1]，具有结构简单和成本低等特点，在吊车、无人机和无人船等实际系统中得到了广泛应用[2-9].RTAC(rotational/translational actuator)是一种由可驱动的旋转摆球和未驱动的平移小车所组成的欠驱动装置，如图1所示.RTAC最早是用于模拟双自旋航天器的简化模型，后因其典型的欠驱动和非线性特性而被用于研究控制问题.RTAC只能通过驱动摆球实现摆球和小车在平衡点的镇定，因此其动力学特性和耦合特性比较复杂，对控制器的设计非常具有挑战性.

图1 RTAC系统结构图Fig.1 RTAC system structure diagram

RTAC作为一种典型的欠驱动系统，其控制问题受到了广泛的关注，许多学者和研究人员发表了大量的研究成果.Olfati[10]以RTAC为例采用部分反馈线性化方法将欠驱动系统的动力学模型简化为级联型，降低了控制器设计的难度.在此基础上，Sun[11]和武宪青[12]分别基于滑模控制方法(sliding mode control，SMC)设计了RTAC控制器.Avis[13]、Hung[14]和武宪青[15]等将基于能量的控制方法与滑模控制等方法相结合，通过仿真和实验验证所提方法对RTAC的控制性能.同时，武宪青[16]通过构造一种新型的Lyapunov函数，设计了基于输出反馈的有界输入控制器.此外，许多智能算法也应用在RTAC的控制中，如文献[17]采用神经网络对摩擦力等不确定扰动进行估计和补偿，Kumar[18]基于包含模糊规则的Lyapunov函数和模糊强化学习方法设计了非线性系统的稳定控制器.然而，这些控制方法一般需要详细的模型参数信息，对模型的不确定性等影响因素的适应性较差.

针对扰动作用下RTAC的稳定控制问题，本文提出了一种滑模自抗扰控制方法.首先，通过选取包含小车位移和摆球信息的虚拟被控量，将欠驱动RTAC转换为非欠驱动系统，降低了控制器设计难度.其次，针对新建立的以虚拟被控量为输出、以力矩为控制量输入的新系统设计滑模自抗扰控制器，实现了RTAC的镇定控制.其中，构造线性扩张状态观测器(linear extended state observer，LESO)对该系统的总扰动进行观测和补偿[19-25]，同时利用滑模控制方法[26-30]实现较强的扰动抑制能力.通过Lyapunov方法分析LESO的收敛性和RTAC的闭环稳定性，并利用数值仿真和硬件实验验证了所提方法的有效性.与已有控制方法相比，本文所提方法的独特之处在于，其仅需要小车位置和摆球角度作为反馈量即可实现RTAC的渐近稳定，能够在减少反馈状态数量的同时保证RTAC的鲁棒性.

本文的内容安排如下:第2部分进行问题描述，通过Euler-Lagrange方法建立RTAC的动力学模型，并给出控制目标.第3部分根据控制需要提出滑模自抗扰控制方法，通过Lyapunov函数对RTAC的闭环稳定性进行证明.对于所提控制方法有效性和鲁棒性，则在第4部分和第5部分分别通过数值仿真和硬件实验进行验证，并与已有控制方法进行对比分析.最后在第6部分对全文进行总结.

2 问题描述

本文主要研究RTAC系统的镇定问题.如图1所示，RTAC系统存在小车的水平位移x和小球的摆动角度θ两个输出状态，而只有τ一个输入量.基于Euler-Lagrange建模方法，可以获得如下的RTAC系统模型[11]:

式中:q=[x θ]T∈R2为可测量的系统状态向量，Moc(q)∈R2×2为惯量矩阵，Vm(q，˙q)∈R2×2为科氏力向心矩阵，G(q)∈R2为重力矩阵，u ∈R2为控制输入.矩阵的具体形式为

式中:M，m，r，J，k和g分别为小车质量、摆球质量、连杆半径、连杆转动惯量、弹簧系数和重力加速度.τ为小球摆动的驱动转矩，d为未知扰动.为便于后续分析，可以将式(1)展开为

式(2)和式(4)从机理上说明了RTAC的欠驱动和非线性特性，本文的研究目标是克服该特性并快速抑制RTAC的水平振动，将小车的水平位置和摆球的摆角稳定到平衡点

3 主要结果

本节将针对RTAC的控制问题展开研究，通过构建RTAC的虚拟被控量降低被控对象的系统阶次，从而设计LESO和滑模控制器，实现RTAC的稳定控制，并给出详细的稳定性分析.

3.1 控制器设计

由前述内容可知RTAC通过一个控制量实现两个状态的稳定.在已有的分析方法中，通常对RTAC的数学模型进行等效变换将其变为四阶的非欠驱动系统进行分析，控制器结构复杂，需要的测量信息较多，而且往往需要建立精确的RTAC数学模型，因此鲁棒性较差.基于对RTAC数学模型的分析，设计

作为虚拟输出进行研究，从而构造出以τ为输入、以θΔ为输出的虚拟被控系统，其中ka为可调正实参数.进一步分析可以得到

将式(3)的第2行表达式代入式(6)可得

式中h为总扰动f的微分.针对式(9)设计LESO为

式中zi(i=1，2，3)为θΔi的观测值，βi(i=1，2，3)为观测增益，一般可以将LESO中的参数选择为

其中ωo＞0为可调的误差反馈增益参数，即LESO的带宽.根据式(9)和式(10)可得观测器误差为

式中ei=θΔi-zi(i=1，2，3)为LESO 的观测误差.为将RTAC的小车位移和摆球的摆角都稳定到原点位置，本文仅以LESO的观测状态设计滑模面

sgn为标准符号函数，定义为

设计σ的趋近律为=-k1σ-k2|σ|αsgnσk3sgnσ，其中ki ＞0(i=1，2，3)，0＜α ＜1.对滑模面(13)求导，可以根据σ的趋近律设计RTAC的滑模控制律为

从式(16)所示的控制律可以看出本文所提的控制方法仅需要θΔ的值和LESO的观测值，如图2所示.

图2 控制系统结构框图Fig.2 Control system structure block diagram

3.2 稳定性证明

令ε=，并基于RTAC的机械和电气约束条件定义RTAC的工作域为D={ε|‖ε‖≤δ}，式中δ为正数.为便于进一步分析，在D内可以做出关于RTAC的以下假设:

假设1未知扰动d可导且存在

式中Md为正数.

假设2总扰动f可导且存在

式中Lh为正常数.

为计算控制器收敛时间，需要用到如下引理.

引理1[31]假设存在一个定义在包含零点的开区域上的连续可微正定函数V(x)以及正实数c和0＜β＜1，使得

则系统是有限时间稳定的，且稳定时间T满足

根据设计的RTAC控制律(16)可以保证RTAC是渐近稳定的.

引理2在假设1和假设2成立时，式(10)所示观测器的观测误差有界，且有

用矩阵形式改写式(20)，可得

根据引理2 的结论，可以通过增大ωo的值降低LESO的观测误差，将RTAC的总扰动观测误差保持在很小的范围内，从而可以通过选择较小的k3和kγ实现RTAC的渐近稳定.为便于后续分析，定义De={e|‖e‖≤δe}，由引理2可知当选择ωo使其满足≤δe时，LESO的观测误差e将一直处于De内.

定 理1取k3＞0，则RTAC的 控 制 律(16)使 式(13)所示的滑模面σ在有限时间内收敛到零.

证设计Lyapunov函数为Vσ=，对其求导并将式(16)代入导数表达式可得

由此可知滑模面σ是渐近收敛的，而且根据引理1可得滑模面的收敛时间为

证毕.

定理1表明式(13)所示的滑模面σ在LESO和控制律(16)作用下在有限时间内收敛到零.

定理2在σ=0时，通过调整kγ可以使θΔ渐近收敛到零.

定理1-2证明了本文所设计的状态θΔ的渐近收敛性，接下来根据式(5)证明RTAC的闭环稳定性.

定理3在定义域D内，对于矩阵

所以在θΔ=0时，θ渐近收敛到零，即RTAC的状态渐近收敛. 证毕.

4 仿真结果与分析

为了验证本文所提控制方法的有效性，在MATLAB/Simulink环境中搭建RTAC的动力学模型并编写控制程序，对RTAC进行数值仿真.其中RTAC的模型参数为

本文所提控制器的参数设置为

为了说明所提控制方法的有效性，本文选取文献[17]所提的增强型耦合控制方法进行对比，该方法的表达式为

式中的控制参数选择为

4.1 控制性能仿真

为了验证所提方法的控制性能，在此进行无扰动情况下的仿真测试.测试条件为

第1组x(0)=0.02 m，θ(0)=-45◦.

仿真结果如图3所示.为便于定量比较，定义RTAC的调整时间ts为从初始时刻开始到RTAC的状态首次满足|x(t)|≤0.001 m和|θ(t)|≤3◦且不再超过该范围所需要的最短时间.在图3所示的第1组仿真结果中，本文方法可以使RTAC的小车快速稳定到x=0的位置，此时的调整时间为ts=1.62 s，而对比方法则需要经过多次振荡才能使小车稳定下来，所需的调整时间为ts=4.04 s，远大于本文所提的控制方法.因此本文方法具有较好的快速性，所需的调整时间低于对比方法.

图3 控制性能仿真:第1组仿真结果(实线:本文方法;虚线:对比方法[17])Fig.3 Simulation of control performance:simulation results of group 1(solid line:the proposed method;dotted line:comparison method[17])

4.2 扰动影响仿真

本部分将在不改变控制参数的情况下研究RTAC在不同扰动作用下的控制问题.为充分验证所提方法在扰动影响下的控制性能，本文设置3种不同的扰动条件进行仿真，扰动设置分别为

第2组初始条件x(0)=-0.02 m和θ(0)=30◦，其余状态为零，同时将仿真模型参数中的M和k分别增大20%;

第3组初始条件x(0)=-0.02 m，其余状态为零，在第5 s对小车加入幅值为0.01 m的位置扰动，使小车位置偏离平衡位置;

第4组初始条件x(0)=0.02 m，其余状态为零，设置转矩扰动d为在第6～8 s加入的幅值为0.05 N·m，周期为1 s的正弦扰动信号.

相应的仿真结果如图4-6所示.对比图4和图3可知，本文所提方法在RTAC的参数扰动下仍然保持了较短的调整时间，相比之下，对比方法所用的调整时间则增加为ts=4.56 s，可见其控制性能有所下降.在小车位置受到扰动影响时，由图5可知本文方法仍然可以快速克服扰动带来的影响使小车回到平衡位置，而且收敛速度快于对比方法.

图4 扰动影响仿真:第2组仿真结果(实线:本文方法;虚线:对比方法[17])Fig.4 Simulation of disturbance influence:simulation results of group 2(solid line:the proposed method;dotted line:comparison method[17])

图5 扰动影响仿真:第3组仿真结果(实线:本文方法;虚线:对比方法[17])Fig.5 Simulation of disturbance influence:simulation results of group 3(solid line:the proposed method;dotted line:comparison method[17])

从图6可以看出，RTAC的摆球在扰动力矩的作用下将偏离平衡位置，进而造成小车的振荡.仿真结果表明，两种控制方法加入扰动之前的控制性能与前述分析一致，而在加入扰动之后，本文方法不仅保持了小车的稳定，而且抑制了摆球的摆动幅度，而对比方法则在扰动去除以后再经过4 s才使小车稳定，因此本文所提方法在转矩扰动影响下的稳定时间和摆球摆动情况均优于对比方法.

图6 扰动影响仿真:第4组仿真结果(实线:本文方法;虚线:对比方法[17])Fig.6 Simulation of disturbance influence:simulation results of group 4(solid line:the proposed method;dotted line:comparison method[17])

4.3 鲁棒性测试

为进一步分析本文方法的鲁棒性，在此设计了Monte-Carlo仿真实验.仿真的初始状态为x(0)=0.015 m，RTAC的主要参数M，m和k的摄动范围为±20%，共进行100次仿真.Monte-Carlo仿真结果如图7 所示.从图中可以看出，在设置的参数摄动范围内，本文所提控制方法均能实现RTAC的稳定控制，而且调整时间均小于2.2 s.

图7 Monte-Carlo仿真结果Fig.7 Monte-Carlo simulation results

5 实验验证分析

图8为RTAC实验装置，本节将通过该实验装置对本文方法进行实验验证.如图8所示，RTAC实验装置具有两个弹簧，分别安装在小车的两侧，小车通过直线轴承沿光滑导轨左右滑动，小车的位置则由精度为6000PPR(pulse per revolution)的光电编码器进行测量.RTAC的摆球由伺服电机驱动，摆球的摆动角度通过电机上的2500PPR同轴光电编码器进行测量.为便于实验，RTAC实验装置通过运动控制卡和配套的I/O板连接光电编码器和伺服电机驱动器，并在上位机上通过Simulink实现信号采集和控制实验，控制周期设置为5 ms.

图8 RTAC实验装置Fig.8 RTAC experimental device

RTAC实验装置的机械参数为

通过优化控制器参数，得到本文方法的参数和对比方法的参数分别为

图9为RTAC实验装置在两种控制方法作用下的输出结果.在图9中，本文方法和对比方法都可使RTAC稳定在平衡点，但从对比结果可以看出，本文方法振荡幅度更小，所需稳定时间更短，控制性能更优越.由仿真和实验结果可知，本文方法可以有效解决RTAC的镇定问题，使小车和摆球快速稳定到零点位置，而且与已有控制方法相比本文方法具有更好的动态性能和抗干扰性能.同时，实验结果验证了理论分析的正确性.

图9 RTAC实验结果:实线:本文方法;虚线:对比方法[17]Fig.9 RTAC experiment results:solid line:the proposed method;dotted line:comparison method[17]

6 结论

针对受外界扰动影响的欠驱动RTAC的控制问题，本文提出了一种滑模自抗扰控制方法，能够实现RTAC在工作区域内的镇定控制.不同于已有的基于能量或Lyapunov函数的控制方法，本文所提的控制方法所需的系统参数和状态信息较少，而且不依赖于RTAC精确的动力学模型.在RTAC的扰动观测和补偿方面，本文通过将小车位置和摆球摆角相结合建立新的状态，并利用LESO对总扰动进行观测，提出了RTAC控制的新思路.同时，通过滑模控制器的设计，实现了基于LESO观测状态反馈的镇定控制.在理论分析方面，通过Lyapunov方法证明了LESO的收敛性和滑模控制器的稳定性.在性能分析方面，通过数值仿真和硬件实验验证了所提方法的控制性能，并通过与已有方法的对比说明了所提方法的控制优势.在未来的工作中，笔者将进一步针对欠驱动RTAC展开深入研究，基于本文方法实现RTAC的轨迹跟踪控制.