圆锥悬链线形复合变幅杆的设计

巩建辉，王晨丰，吴承启

（商洛职业技术学院，陕西商洛 726000）

0 引言

变幅杆又称为聚能器，是超声换能器装置中的一个重要部件，其主要功能是振幅放大和阻抗匹配。在超声加工系统中，为了提高加工效率，要求换能器的前端输出较高的振动速度或位移振幅。但是对于一般的换能器振子，无论采用压电式振子还是磁致伸缩振子，它们端面产生的振动速度或位移振幅较小，不能够满足实际加工的要求，这就需要在换能器振子的端面上安装变幅杆来提高位移振幅。针对不同的加工对象，对变幅杆的性能要求越来越高，为此对变幅杆的设计研究一直是广大学者关注的热点，从单一形状变幅杆到复合变幅杆，从单级变幅杆到多级变幅杆，不断地对变幅杆性能进行优化，以获得较高放大倍数和形状因数的变幅杆为最终目标。靳涛等[1]将圆柱和圆锥杆进行组合，对圆柱圆锥复合变幅杆进行了研究；封志斌等[2]研究了悬链线过渡的复合形变幅杆；孙涛等[3]设计了正弦圆柱形复合变幅杆，该变幅杆的放大倍数和形状因数皆优于阶梯形变幅杆；李井等[4]运用替代法研究了幂函数形复合变幅杆。本文将放大性能良好的悬链线杆和形状因数较高的圆锥杆进行组合，提出了一种新型的半波长复合变幅杆，即圆锥悬链线形复合变幅杆，运用四端网络法对变幅杆进行理论设计，得出了频率方程、放大倍数和节点位置等重要参量，并利用ANSYS软件对其进行模态分析和谐响应分析，有限元分析结果与理论解算值基本吻合。

1 变幅杆的构建

由圆锥杆的窄端接悬链线杆的宽端组成的半波长复合形变幅杆如图1所示，圆锥杆的长度为l1，大小端面积分别为S1和S，悬链线杆的长度为l2，大小端面积分别为S和S2，两杆的交界面位于坐标原点O处。

图1 圆锥悬链线形复合变幅杆

2 变幅杆的理论分析

在简谐振动情况下，变截面杆纵振动的波动方程[5]为

式中：vD和vX分别为圆锥悬链线形复合变幅杆大端与小端面振动速度；FD和FX分别为圆锥悬链线形复合变幅杆大端与小端面受到的力，当圆锥悬链线形复合变幅杆两端自由时，由边界条件可得FD=FX=0。

此圆锥悬链线形复合变幅杆设计频率f=20 kHz，纵波在细杆中的声速c=5.2×103m/s，圆锥杆的大小端截面直径分别为D1=0.052 m、D=0.038 m，悬链线杆的大小端截面直径分别为D=0.038 m、D2=0.016 m。先设定圆锥杆的长度为l1=0.04 m，利用MATLAB对式（7）频率方程求数值解得到悬链线杆的长度l2=0.0976 m，从而得到复合变幅杆的谐振长度l≈0.138 m，对式（8）进行解算得出复合变幅杆的放大倍数MP≈4.5，利用A21可以计算出位移节点是在距离变幅杆左端约0.0448 m的位置。

3 变幅杆的有限元分析

3.1 模态分析

利用ANSYS有限元分析软件对设计好的变幅杆进行模态分析，首先建立几何模型，定义单元类型，定义材料属性，划分有限元网格，然后进行模态设置，模态扩展设置，并进行扩展求解[9]。这里变幅杆的材料采用45钢，选用SOLID95实体单元，采用扫掠网格划分，材料参数定义为：弹性模量为210.9 GPa，泊松比为0.28，密度为7800 kg/m3。网格的划分情况如图2所示，共有35 976个节点和22 618个单元。运用分块兰索法（Block Lanczos）分析，模态提取频率范围为15～25 kHz，使用Solve求解后当f′=19808 Hz时得到其纵向振动的位移云如图3所示。

图2 变幅杆的有限元模型

图3 变幅杆的位移云图

3.2 谐响应分析

在模态分析的基础上，采用完全法（full）进行谐响应分析，这种方法是运用完整的系统矩阵来计算响应的[10]。在圆柱杆的左端面加载幅值为2.7 μm的正弦变化的周期位移载荷，在变幅杆的输出端即悬链线杆的小端面输出的谐响应曲线如图4所示，从响应曲线可以看出在谐振频率大约20 000 Hz附近出现了振幅最大值。变幅杆的轴向位移曲线如图5所示。从图5可以看出，变幅杆大小端面位移分别为2.7 μm和121.85 μm，可得到放大倍数约为4.4，也可以看出位移节点是在距离变幅杆左端约0.044 m的位置，有限元分析结果与理论设计基本一致。

图4 谐响应曲线

图5 变幅杆的轴向位移曲线

4 结论

将经典的圆锥形和悬链线形变幅杆进行组合，提出了一种新型的圆锥悬链线形复合变幅杆。首先构建了复合型变幅杆的模型，然后运用圆锥形和悬链线形变幅杆的四端网络传输方程得到了新型复合变幅杆的传输方程，分析传输方程得出了频率方程和放大倍数的数学表达式及节点位置，借助MATLAB软件解算出了新型复合变幅杆的谐振长度、放大倍数和节点位置。最后采用ANSYS软件对复合变幅杆进行了模态分析和谐响应分析，将有限元分析结果与理论计算值进行比较，谐振频率相差0.96%，放大倍数相差2.2%，位移节点位置相差0.17%，有限元分析结果与理论设计基本一致，符合变幅杆设计要求。利用该方法可以将其他任意形状的变幅杆进行组合，得出新型变幅杆，为变幅杆的优化设计提供了借鉴，有一定的实用价值。