宽限相依样本下频率插值估计的强相合性

邢国东,康晴晴

(合肥师范学院 数学与统计学院,安徽 合肥 230601)

首先,让我们回顾一下宽限相依随机变量的概念,此概念是由Wang等[1]给出的。具体定义如下所示。

定义1 首先,一有限随机变量集{Xi,1≤i≤n}被称为宽上限相依的(简记为WUOD),如果对于所有的实数x1,…xn,存在一有限实数gU(n)使得一有限随机变量集{Xi,1≤i≤n}被称为宽下限相依的(简记为WLOD),如果对于所有的实数x1,…xn,存在一有限实数gL(n)使得如果{Xi,1≤i≤n}既是WUOD又是WLOD,那么我们称{Xi,1≤i≤n}是宽限相依的(简记为WOD),而且gU(n)和gL(n)被称为控制系数。一无限集被称为WOD,如果每个有限集都是WOD。

自从WOD的概念被介绍之后,许多相关的概率理论被建立起来。例如,Wang等[1]给出了有限时间段上WOD索赔额下破产概率的一致渐近估计,Shen[2]得到了WOD随机序列的Berstein型不等式,Qiu和Chen[3]在一些适中的条件下给出了WOD随机变量加权和的完全收敛和完全矩收敛,等等。

正如Scott[4]所指出的那样,频率插值估计与核密度估计有着相似的收敛速度但比直方图估计的收敛速度快。此外,频率插值估计的计算效果和直方图的相等。此外,对于大量的二元数据集合,频率插值估计计算的简单性和决定确切等概率轮廓精度的便捷性使得频率插值估计比具有高精度的核密度估计更有价值。因为频率插值估计具有上述两个方面的优点,所以对它做进一步的研究是有意义的。

近十几年来,有关频率插值估计的一些结果已经被得到。例如,Carbon等[5]在α－混合过程下给出了频率插值估计的最优窗宽(此时的窗宽使得积分均方误差达到渐近最小值)、渐近方差、强相合性及其收敛速度。Carbon等[6]得到了随机域下频率插值估计的渐近正态性。Bensaid和Dabo－Niang[7]在连续随机域下给出了频率插值估计的积分均方误差以及强相合的收敛速度。受到上述作者们的启发,我们将在WOD样本下通过一Berstein型指数不等式探讨频率插值估计的强相合性。

在本文中,我们总假定C代表了一个正常数,此数仅仅由某些给定的数而定且从文中的一处到另一处可能会不一样,窗宽和密度函数分别被表示为bn和f(x),g(n)＝max{gL(n),gU(n)},只要没有作特殊说明,所给出的极限都是在n→∞时得到的。本文的结构如下:第一部分包含了所得到的主要结果,对应的证明被放在本文的第二部分。

1 主要结果

为了主要结果表述的方便,我们需要如下所示的一些假设:

(A1)假设Xi,{1≤i≤n}是一WOD样本,其密度函数为f(x)。

(A2)bn→0。

(A3){τn,n≥1}是一个正常数序列,此序列趋向于零并满足nb2nτ2n/logn→∞。

根据上述假设,我们可以给出如下所示的主要结果。

定理1 如果假设(A1)－(A3)成立且对于某个a≥0有g(n)≤Cna,那么对于R的紧子集D:

此外,如f(x)对于x∈R是可微的且对于某个M＞0有,那么:

于是:

2 证明

在这一部分,我们将给出主要定理的相关证明。为此,我们需要如下所示的引理。

引理1 设{Xi,i≥1}是一均值为零且的WOD随机变量序列,其中d是一正常数。令,则对于任意ε＞0,

证明： 由Shen定理4[2]的证明过程可知:对于t＞0有

上述给出的极大矩不等式可用于统计学中加权估计渐近性质的研究,这类估计包括最小二乘估计,非参数回归估计以及非参数密度估计等。

基于引理1,我们可以给出定理1的证明,具体过程如下所述:

证明：注意到D是R的一个紧子集,不失一般性。我们可以假定D＝[－B,B],其中B是一个正常数,用D表示区间(j－1/2)bn,[(j＋1/2)bn),其中j＝－rn,－(rn－1),…,(rn－1),rn且rn＝[B/bn]＋1。因为,所以:于是,对于任意的ε＞0,

对于一给定的j,我们令:

将上述结果和bn→0,τn→0以及n(bnτn)2(logn)－1→∞联合在一起,则对于任意给定的q＞0和充分大的n可得:

类似地,我们也有:

联合(7)、(9)和(10)式可得:

通过在(11)式中取q＝3,(6)式以及nbn→∞,我们得到:

上式意味着在给定的条件下(2)式成立。此外,再应用泰勒展开式,我们可得(3)式,证毕。