由半直线上Strum-Liouville方程的散射数据重构位势

黄铖

(华中科技大学数学与统计学院, 湖北 武汉 430000)

1.引言

对于半直线上Strum-Liouville方程-u′′(x)-P(x)u′(x)+Q(x)u(x) =k2u(x), 边界条件为：u(k,0)=0,u′(k,0)=1,P(x)与Q(x)为未知函数且P(x)大于0, 本文先给出了单个方程转化为方程组形式, 并结合矩阵薛定谔算子理论给出方程有两个未知量的重建公式.

经典Strum-Liouville问题的一般形式为：

这里系数p(x), 势函数q(x)和权函数r(x)都是区间[a,b]上的实值函数.

边界条件中h=∞和H=∞分别表示u(a)=0,u(b)=0,称为在端点a和b处满足狄利克雷边界条件;h=0和H=0时的边条件u′(a)=0,u′(b)=0,称为Neumann边界条件.

Strum-Liouville问题起始于19世纪最初探究固体热传导问题的傅里叶方法, 随着泛函分析中的无界算子理论发展, Strum-Liouville算子理论成为现代数学物理研究的一个重要分支.

关于薛定谔算子逆散射问题的研究, 奠基性的工作是由Marchenko和Faddeev[1]给出的, 他们分别给出了半直线上和全直线上逆散射问题解的存在性和唯一性.特别地, 他们证明了散射数据与一类势函数一一对应的充分必要条件.这里的散射数据由束缚态数据(有限个特征值与对应的规范化常数)和反射系数构成.Deift[2]给出一维全直线上通过反射系数重建单个位势结果.我们将重建关于位势的两个未知量.Rundell与Sacks利用有限区间的薛定谔算子逆谱问题的数值算法给出逆共振的数值算法[3].

矩阵薛定谔算子是量子力学中的一类微分算子, 应用在量子散射, 图散射等领域, 这类研究最早Marchenko考虑的是半直线具有狄利克雷边界条件的逆问题.由于一般自伴比狄利克雷条件应用广泛, 故可以直接考虑矩阵边界条件为自伴矩阵薛定谔算子[4].

2.半直线上Strum-Liouville位势重构

首先考虑矩阵薛定谔方程, 形式为：

方程中m(x)为n维列向量,q(x)为n×n阶Hermite矩阵, 令In为n×n单位矩阵.(2.1)式展开形式为

设f(x,k)为矩阵薛定谔方程(2.1)满足下列渐进性的Jost解[5]：

进一步

Jost解f(x,k)具有如下性质[5]：

1) 对于每一个固定的x ∈R,f(x,k)关于k在上半复平面上解析, 且连续到实轴ℜ.进一步,f(x,k)对k关于x ≥0一致满足渐进性：

2) Jost解f(x,k)有积分算子表示

其中积分核K(x,t)关于x和t都具有一阶偏导数, 且满足

3) Jost解f(x,k)满足Wronski恒等式

[f(x,-k),f(x,k)]=2ik.

本文所研究的Strum-Liouville重构问题中, 上述的n取2, 且位势变为实值的满足条件限制:

这里矩阵范数定义为：

qst(x)表示矩阵q(x)的第s行第t列元素, 展开即为：

对于矩阵薛定谔方程, 其中的Jost矩阵与散射矩阵S(k)是我们重点要观察的内容.

定义2.1定义Jost矩阵[5]

对于Jost矩阵有下列性质[5].

命题2.2设矩阵势函数q(x)满足, 则Jost矩阵有以下结论[5]：

1) Jost矩阵J(k)在k ∈R{0}上可逆, 且可能有detJ(0)=0;

2) Jost矩阵的行列式detJ(k)在有至多有限个零点, 并且都分布在正半虚轴iR+上;

3) 若detJ(k)=0, 则k为J(k)-1的简单极点即：

其中N-,κN0,κ为常矩阵, 且N-,κ0n.

定义2.3在矩阵薛定谔方程中我们定义散射矩阵[5]

散射矩阵有如下性质.

命题2.4设矩阵势函数q(x)满足(2.2), 则散射矩阵S(k)在R上连续, 且满足：

其中U1为Hermite矩阵,U0为酉Hermite矩阵.

接下来考虑半直线Strum-Liouville方程

边界条件为u(k,0) = 0,u′(k,0) = 1, 记Strum-Liouville方程的散射矩阵为s(k), 下面给出重构结论.

定理2.6方程-u′′(x)-P(x)u′(x)+Q(x)u(x)=k2u(x),u(k,0)=0,u′(k,0)=1为方程边界条件, 在半直线上当P(x)＞0, 位势Q(x)满足||Q(x)|| ≤ce-xγ,c ＞0,γ ＞1时,可通过原方程的散射数据s(k)来重构出位势Q(x)与P(x).

证首先把Strum-Liouville算子方程

Strum-Liouville算子方程转化后打开的形式为：

可见(2.8)与(2.9)两个方程关系密切.

(2.8)打开后方程为:

(2.9)打开后方程为：

把(2.8)(2.9)每个方程中各项指标进行一一对应可以得出：

根据q(x)=q(x)T得q12=q21,该等式可得到ξ所满足的方程：

由于一个方程转化成方程组, 且方程组中的这两个方程之间有联系, 计算时会多出有一个条件限制即：

这样就完成了方程转化后的方程组新形式, 接下来是对方程组的性质展开研究.

对于边界条件的转化, 最初考虑的是边界条件为

转化为方程组后对矩阵薛定谔算子可直接考虑半直线上具有一般自伴边界条件的矩阵薛定谔算子,

综上Strum-Liouville算子方程-u′′(x)-P(x)u′(x)+Q(x)u(x)=k2u(x), 已变为矩阵薛定谔算子-m′′+qm=k2m形式, 边界条件变为具有一般自伴边界条件：

未知位势考虑具有衰减条件||q(x)|| ≤ce-xγ,c ＞0,γ ＞1, 下面探究Strum-Liouville算子方程散射矩阵s(k)与矩阵薛定谔算子散射矩阵S(k)关系.

薛定谔方程形式为：

(c,d)=(-∞,+∞), 位势这里

m1(x,k),m2(x,k)为Hmj=k2mj,j= 1,2,的解,H为带实位势自伴薛定谔算子.解有着如下性质：

T(k)为传输系数,R(k)为反射系数,T2(k)m1(x,k)表示的是e-ikx平面波从-∞向正向传播,T2(k)eikx向+∞同时R2(k)e-ikx往-∞.反射, 同理,T1(k)m2(x,k)表示的是波从+∞向-∞传播,表达形式具有物理意义.

此时所形成的位势的散射矩阵为：

Strum-Liouville算子方程(2.7)的散射矩阵记为s(k), 设u1(x,k),u2(x,k)为方程的两个线性无关解, 对于Strum-Liouville算子方程我们取该线性无关解作列向量依旧可以形成上述形式的二阶散射矩阵.矩阵薛定谔方程散射矩阵记为S(k), 根据定义S(k) =-J(-k)J(k)-1,由(2.4)得散射矩阵展开后是和Jost解相关.

最后给出重构q(x)过程：

1) 通过观察S(k)在虚轴iR+上的值找到所有特征值.

当detJ(k)=0时,则k为J(k)-1的简单极点.结合定义S(k)=-J(-k)J(k)-1,当J(-kj)=0n, 说明S(k)有简单极点, 并通过解析延拓可唯一确定, 通过k在轴上运动, 观察散射矩阵S(k)找到所有的k1,··· ,kN-1,kN.

2) 利用散射矩阵和特征值可得所有的的规范化矩阵.

首先根据文[4]可得Cj0, 且

根据(2.4),(2.5),(2.6)得

设φ(k,x)为矩阵薛定谔方程满足下列初始条件的解：

由φ的初始条件得：

将上式代入(2.15)中得：

利用渐进估计

令k=±ikj, 得

所以通过散射矩阵是可以确定出规范化矩阵.

3) 利用Marchenko程序重构q(x).

已知Marchenko方程：

其中F(x):=

根据第二步我们会得出规范化矩阵结果, 通过F(x)的表达式

得知F(x)与规范化矩阵, 特征值, 散射矩阵相关, 进而代入可算出F(x), 由于位势公式表达式与积分核相关：

寻找q(x)与Q(x)的关系,根据(2.10),(2.13)由于q(x)的指标里包含Q(x),只需要根据q11或q22的重构出的表达式, 这样Q(x)就被表示出来.

3.总结

本文研究的是半直线上Strum-Liouville方程逆散射问题, 给出在半直线上重建位势的方法, 结合矩阵薛定谔的算子理论, 把Strum-Liouville方程转化为方程组, 讨论方程组逆散射性质及转化后的方程组与原方程之间的联系, 对Strum-Liouville方程给出可利用散射矩阵, 特征值及规范化矩阵重构位势的结论.文章中对位势提出的超指数衰减条件||Q(x)|| ≤ce-xγ,c ＞0,γ ＞1, 目的为了保证Jost解f(x,k)关于k可解析延拓, 该条件可以放宽到指数衰减.