基于熵权法-云模型的石拱桥技术状况评定

张 鹏， 钟 山， 朱 锐， 焦美菊

(郑州大学 水利科学与工程学院，河南 郑州 450001)

0 引言

石拱桥在我国建造历史悠久，因其取材方便、工艺简单、造价低廉，广泛应用于公路建设中[1]。随着荷载等级不断提高以及自然环境的侵蚀，大量在役石拱桥存在严重的安全隐患[2]。因此，在役石拱桥的技术状况评定成为一个迫切需要解决的问题。《公路桥梁技术状况评定标准》[3](以下简称评定标准)中的评定方法是进行石拱桥结构养护和技术状况评定最为常规的方法，但评定标准对某些病害标度仅进行定性描述，病害标度的确定十分依赖工程技术人员自身的工作经验。在评定过程中具有较强的模糊性、随机性、差异性，且相邻标度的扣分值变化幅度过大，加剧结果的跳跃性，极易造成石拱桥技术状况评定的“误诊”。

针对上述问题，众多学者尝试采用可靠度理论、层次分析法、模糊理论等手段改进评定标准中桥梁技术状况评定方法的不足[4-5]。以上模型方法大多只考虑了不确定性中随机性或模糊性的某一方面，因此难以对桥梁真实技术状况做出全面、客观的评价。而云模型专门研究随机性、模糊性以及两者之间的关联性[6]，已被广泛应用于其他学科领域，但在桥梁工程方面的应用相对较少。许翔等[7]在层次分析法的基础上，建立正态云模型对悬索桥技术状况进行评定，有效地解决了模糊评定方法中隶属度函数难以确定的问题，但该方法特异性较强，难以广泛转移应用于同类桥梁评定。周建庭等[8]将云模型应用于桥梁技术状况评定，从部件层次出发搭建云模型，并考虑了主要结构部件对桥梁整体安全的影响，使模型更加符合实际工程情况，但该模型仅考虑到部件层次，忽视了评价指标体系中构件病害层次，结果的全面性有待商榷。

鉴于此，本研究主要针对石拱桥病害标度定性描述的模糊性与不确定性，尝试将云模型应用于石拱桥的技术状况评定。为了体现不同专家在具体项目中对指标重要性的认知差异，利用熵权法优化评定标准中部件权重的再分配方式。最终构建了基于熵权法-云模型的石拱桥技术状况评定模型。最后以河南省某石拱桥为例进行分析评价，验证了该评定方法具有一定程度的科学性、合理性与可行性，可为石拱桥技术状况评定的研究提供参考。

1 熵权法-云模型的基本原理

1.1 熵权法

熵权法是一种对评价指标客观赋权的方法，通过计算评价结果的信息熵进而确定各评价指标的权重[9]。其计算步骤如下。

(1)构建n个评价对象，m个评价指标的判断矩阵X：

(1)

(2)标准化处理：

(2)

(3)确定指标信息熵值ej：

(3)

(4)确定评价指标的熵权：

(4)

1.2 云模型

云模型是李德毅等[6]提出的一种研究定性概念与定量描述不确定之间转换的数学理论。其定义如下：假设U是一个定量论域，C是U上的定性概念，若定量数值x既属于U，又是C的一次随机实现，如果x对C的确定度μ(x)∈[0,1]是有稳定倾向的随机数，则称x为一个云滴，x在U上的分布即为云模型。云模型用(Ex,En,He)表示一个定性概念的数字特征，其中，Ex为云滴所在论域区间的期望；En为熵，表示定性概念的不确定性；He为超熵，是熵的熵，表示熵的不确定性。

1.2.1 标准评语云的确定

根据评语集不同的形式确定标准评语云的数字特征值(ExVi,EnVi,HeVi)，对于存在双边界[xmin,xmax]的模糊概念，可用式(5)计算标准评语云数字特征值的大小[10]:

(5)

对于评语集{V1,V2,…,Vn}存在代表值{x1,x2,…,xn}的模糊概念，代表值最能反映所属评语的概念。因此本研究以代表值作为该评语的期望并根据云模型中熵的内涵建立了各个评语的标准评语云数字特征值计算公式:

(6)

式中：k反映熵和超熵的线性关系，一般取0.1[11]。

1.2.2 指标评价云的确定

指标评价云的确定基于n个专家对某个检测指标的评定数据，采用式(7)可计算第i个检测指标评价云的数字特征值(ExUi,EnUi,HeUi)：

(7)

式中：xij为第j位专家对第i个评价指标的评定数据；S2为样本方差。

1.2.3 综合评价云的确定

综合评价云数字特征值(Ex,En,He)的获取是基于下一层的每个指标层云数字特征值(ExUi,EnUi,HeUi)和其对应的权重。具体运算法则如式(8)所示：

(8)

式中：λi为权重系数。

1.2.4 云图的生成

获得用以描述云模型的数字特征值(Ex,En,He)后，通过正向云发生器绘制云图。正向云发生器计算步骤如下。

(1)以En为期望值，He为标准差生成一个正态分布随机数En′。

(2)以Ex为期望值，En′为标准差生成一个正态分布随机数x。

(3)将En′、x代入式(9)：

(9)

(4)得到一个云滴Drop(xi,yi)。

(5)重复步骤(1)～(4)，直至生成满足要求的云滴。

2 基于熵权法-云模型的石拱桥技术状况评定模型

云模型是关注评定过程中评语的模糊性以及专家主观因素的随机性的数学原理。熵权法是考虑主观性和随机性造成观测值间的差异程度来确定指标权重的客观赋权方法。两者均是对评定过程中随机性和主观性的综合考量，在数学内涵上具有关联性与一致性。因此本研究综合运用云模型与熵权法理论，使得评定过程各个环节都能避免主观性和随机性的干扰，实现客观综合评价。

2.1 确定评价指标体系

在基于熵权法-云模型的石拱桥技术状态评定中，沿用评定标准[3]评价指标体系，从桥面系、上部结构、下部结构3个方面构建出桥梁评价指标[3]，得到结构至病害的4级评价指标，具体见图1。由于图幅有限，图1仅以主拱圈部件为例展示其构件与病害层次具体的评价指标，其余部件可依据评定标准得出。

图1 评价指标体系Figure 1 Evaluation system

2.2 确定指标标准评语云

2.2.1 构件病害扣分标准评语云的获取

桥梁构件病害扣分过程中指标类别的划分根据评定标准[3]查得，病害所能达到的最高等级类别归纳为3种情况，每种情况下各个类别中都存在一个代表值。根据式(6)计算各个类别下评语集的标准评语云数字特征值(ExVi,EnVi,HeVi)，结果如表1所示。根据1.2.4节的步骤生成云滴，效果图如图2所示。

图2 构件病害标准评语云云图Figure 2 Cloud graph of component disease standard comment cloud

2.2.2 桥梁各级评价指标技术状态标准评语云

根据评定标准[3]，桥梁各级评价指标技术状态评定等级(除病害)可划分为5个类别，对应5个评语集区间。采用式(5)获取评语集的标准评语云数字特征值(ExVi,EnVi,HeVi)，绘出评语集标准评语云，数字特征值如表2所示，效果图如图3所示。

表1 构件病害标准评语云数字特征值Table 1 Component disease standard comment cloud digital characteristic value

表2 评价等级划分及对应的标准评语云数字特征值Table 2 Evaluation grade division and corresponding standard comment cloud digital feature value

图3 技术状态评定等级标准评语云云图Figure 3 Cloud graph of technical status rating standard comment cloud

2.3 计算构件与部件技术状况得分

邀请多位专家初步判断待测石拱桥构件病害类型并对每一种病害形式进行打分。与评定标准中病害扣分值确定方法不同，专家打分得到的扣分值不是通过判断构件病害所属标度得到的离散化的扣分值，而是指标所能达到的最高等级标度与最低等级标度对应的分数所构成的区间内任意数值。在评定过程中，专家可以根据自己的经验在该区间内对目标构件病害给出一个合适的扣分值。重复上述步骤，可得构件中各种病害类型的扣分值。沿用评定标准[3]中构件与部件的技术状态评分计算公式:

(10)

(11)

(12)

式中：各变量的定义与评定标准[3]相同。

2.4 调整指标权重

根据评定标准可获得石拱桥各部件指标层的权重经验值。当实际工作中某座桥梁没有设置某些部件时，往往会将此缺失部件的权重值分配给其他部件。评定标准所采用的分配方法仅考虑权重经验值的比例关系进行重新分配，而没有考虑不同工程项目与评定专家的差异性，与工程实际情况会存在偏差。因此，本研究采用熵权法对指标权重进行调整，引入不同工程独特的实际情况对权重的影响。仍然采用2.3节计算得到的部件技术状态得分数据整理成判断矩阵X，矩阵的行代表不同专家，矩阵的列代表各部件指标。按照1.1节的步骤计算得到各部件指标的熵权，将缺失部件权重值用按照熵权的比例进行分配的方法得到各个检测指标的权重修正值，在既有部件权重的基础上加上各自的权重修正值即可得到调整后的权重λi。计算公式如下：

(13)

式中：wj为第j个既有部件在评定标准中提供的经验权重值；Wi为某结构下第i个部件的熵权。

2.5 计算综合评价云

为了得到结构与总体层次的综合评价云，将目前已获得的各个病害评定数据、构件评定数据与部件评定数据代入式(7)得到该评定数据所表征的指标评价云的数字特征值。再把部件指标评价云的数字特征值和用2.4节方法得到部件调整之后的权重代入式(8)可得结构层次的综合评价云模型，进而重复上述操作，将结构综合评价云的数字特征值和评定标准中提供的结构经验权重值代入式(8)得到桥梁总体的综合评价云模型的数字特征值，即可得到各级指标综合评价云的云图。

2.6 计算相似度、确定评定结果

在进行定性评价时，可以通过肉眼感知综合评价云与标准评语云的重合相似程度来评定[12]。但为了保证评价结果的客观性、科学性，并考虑评语集的模糊性，本研究选取组合模糊贴近度方法[13]计算相似度来进行检验。该方法从模糊数学的角度利用组合模糊贴近度对正态云相似度进行了分析与描述。计算公式为式(14)～(16)，通过计算综合评价云与标准评语云的相似度确定评价目标的等级，取相似度最高的标准评语云所代表的评语作为该指标评价结果。同理，重复上述步骤，从而能够确定桥梁在各级指标的技术状况评定结果。

(14)

(15)

(16)

式中：C(Ex,En,He)为指标评价云的数字特征值；Cl(Exl,Enl,Hel)为第l个标准评语云的数字特征值。

评定标准中4.1.8节规定：当主要部件评分达到4类或5类且影响安全时，可按照桥梁主要部件最差的缺损状况评定[3]。因此本研究也考虑主要部件间荷载传递路径的“串联”性质，引入对主要部件的异常识别。经过综合判断，即可得到桥梁最终的评定结果。

3 工程实例

3.1 工程概况

某单孔实腹式圬工拱桥，桥梁全长约8 m。桥宽布置为6.5 m行车道+2×0.25 m栏杆。桥梁下部采用明挖扩大基础，桥台为U型桥台。桥面采用黄土铺装。在桥梁检查中发现桥面桥头与路堤连接部出现高差、桥头跳车现象，同时伴随严重裂缝出现。该桥上部结构中主拱圈局部均存在渗漏水、晶体析出现象，拱顶出现开裂。该桥下部结构桥台基础填土有局部冲刷。

3.2 构件病害扣分数据的获取

邀请15位相关专家，根据自身工作经验对桥梁既有构件中病害进行打分，结果见表3，表3列出了部分构件的病害扣分数据。

表3 部分构件病害扣分值Table 3 Partial component disease deduction value

3.3 部件权重的调整与综合评价云的确定

根据表3数据，由式(10)～(12)计算得到构件与部件的评定数据，再利用式(1)～(4)计算出部件指标的熵权，最后通过式(13)将缺失部件权重进行分配，得到调整后的权重。结构层指标的权重沿用了评定标准[3]提供的经验权重值。

根据已经得到的构件与部件的评定数据,由式(7)可计算出构件与部件指标层的综合评价云数字特征值，将各指标权重与相应的数字特征值结合，利用式(8)可计算出结构与总体层的综合评价云数字特征值，计算结果如表4所示。

表4 石拱桥各级指标权重与综合评价云数字特征值Table 4 Index weights of each level of stone arch bridge and comprehensive evaluation cloud digital characteristic value

3.4 评价结果与对比分析

根据表4的桥梁技术状态特征值，可获得石拱桥总体的综合评价云云图，如图4所示。图4显示了桥梁总体的综合评价云云图与标准评语云云图，综合评价云图介于3～4类标准评语云图之间，靠近3类，因此可初步判定某单孔实腹式圬工拱桥技术状态评定等级为3类。利用相似度进行评价结果的检验，分别计算出桥梁总体综合评价云与各标准评语云之间的相似度。由于本研究还考虑了结构部件对桥梁整体安全使用的影响而引入了异常识别机制，对该圬工拱桥的主要结构部件计算其与各类标准评语云的相似度，计算结果如表5所示。其中桥梁总体综合评价云与各标准评语云之间相似度的最大值为0.340，对应的技术状态为“3类桥”，其相似度远远大于与其他标准评语云的相似度，验证了该拱桥的初步评定结果。但主要部件主拱圈相似度最大值对应的类别为4类，因此根据异常识别机制最终将该桥评为4类。

图4 桥梁总体综合评价云与标准评语云云图Figure 4 Cloud graph of overall bridge comprehensive evaluation cloud and standard comment cloud

本研究按评定标准中的方法对该圬工拱桥进行评定，与本研究模型的评定结果进行对比分析，评价结果如表6所示。其中桥梁的技术状态评分为63.4分，根据规范初步评为3类桥。由于主拱圈属于主要部件，其评分为41.4分，根据评定标准4.1.8节规定，该桥最终被评为4类。两种方法得出的最终结果保持一致，符合实际情况，验证了基于熵权法-云模型的石拱桥技术状况评定方法具有一定的适用性、有效性和精确性。本研究提出的方法能使专家更细微地度量病害指标的程度，且能通过相似度刻画评价指标对不同评语的隶属程度，还能够将评定过程通过图像形式直观展示。值得注意的是，本研究提出的方法从隶属度与权重两个方面引入了多位专家扣分值的分散与偏离程度对评定结果的影响，使得评定结果更为精确。对比可见，基于本研究的方法优于评定标准中的方法。

表5 相似度评价结果Table 5 Similarity evaluation result

本研究在得出桥梁的最终评价结果中不需要确定构件病害的标度，而是根据专家的经验在标度扣分区间内对目标构件病害给出一个合适的扣分值。但为了与规范的评定过程结果保持一致，本研究可以根据工程实际需要生成病害层次的云图进行技术状况评定。本研究以主拱圈构件的一种病害为例生成云图，如图5所示。

表6 评定标准下桥梁总体计算结果Table 6 Calculation results of assessment standards of overall bridge

图5 主拱圈变形指标评价云与标准评语云云图Figure 5 Cloud graph of deformation index evaluation cloud and standard comment cloud of main arch circle

4 结论

本文提出将云模型应用于石拱桥的评定，构建了基于熵权法-云模型的石拱桥技术状况评定模型。通过采用云模型对评价指标的定性概念进行定量的解释，有效体现桥梁技术状态信息的模糊性和随机性。并对桥梁构件的评定进行了改进，将离散化的扣分值转化为连续的区间，能够更细微地度量指标的程度。同时引入熵权法，用来调整部件间的权重，能够更真实地反映不同工程实际的差异性。

应用该方法对某圬工拱桥进行分析，与规范评价方法的结果一致，在某种程度上证明该方法具有一定的可行性与适用性。从理论方面看，云模型评价方法更科学合理，评价结果更清晰直观，可为石拱桥技术状态评价研究提供参考。