BOPPPS模式在线性代数线上线下混合教学中的实践研究

[摘           要]  针对线性代数内容的抽象性、概括性等特点，运用BOPPPS教学模式，结合超星学习通平台，通过导入、教学目标、先测、参与式教学、后测、总结六个环节探讨线性代数教学中的具体实践，以提高教学质量和教学效果。

[关    键   词]  BOPPPS教学模式;线性代数;教学探讨

[中图分类号]  G642                   [文献标志码]  A                 [文章编号]  2096-0603（2022）03-0049-03

一、线性代数课程特点

线性代数是大学本科工科类或者管理类的一门公共基础必修课，也是其他专业比如农业类的一门选修课。这门课程与大学生先前学习的高等数学的关联度不大，这是这门课程的优点，让某些数学成绩不理想、对数学类课程有畏惧心理的学生松了口气，同时也是难点，因为这门课程首先要建立基本概念及运算规则，在此基础上解决线性问题。线性代数课程具有以下特点：（1）课程涵盖的内容定义多、性质多，并且容易混淆。（2）定义、定理内容具有高度抽象性、概括性，定理证明过程不易理解。（3）各章节内容虽然相对独立，但又前后逻辑联系紧密，环环相扣，前面的每一章节内容都在为后面的章节打基础。（4）与中学数学、高等数学知识的关联性小，与之前学习数学的思维方式差异性大。（5）它是一门公共课程，与专业衔接不够，学生重视程度不高。（6）课程学时数少。[1-3]这些课程特点在一定程度上给教学带来了难度，教育教学改革势在必行。

二、BOPPPS教学模式简述

在我国高等教育教学改革发展的驱动下，很多高校结合自身特点，借鉴国内外优秀的教学模式，大胆进行教学改革，其中BOPPPS教学模式被国内多所高校引用。BOPPPS教学模式起源于20世纪70年代加拿大的教师教学技能工作坊Instruction Skill Workshop（ISW）项目[4]，这一教学模式是将课堂教学环节按照先后次序分为六个环节：导入（Bridge-in）、教学目标（Objective）、先测（Pre-assessment）、参与式教学（Participatory Learning）、后测（Post-assessment）和总结（Summary）。用这六个环节的英文首字母命名。

从以上六个教学环节来看，BOPPPS教学模式具有以下特点：（1）强调师生的互动。（2）强调以学生为中心的教学理念。（3）强调及时反馈学生的学习效果，以便教师及时调整教学进度及教学难易度。[5-8]

三、BOPPPS模式在线性代数线上线下混合教学中的应用

目前，传统意义上的课堂教学模式已成过去式，对基于网络的教学模式改革的必要性的认识空前提高，学习模式和思考方式进一步转变，能够正确看待线上教学，合理地将线上与线下相结合。MOOC课程、超星学习通等大批网络教学平台涌现出来，将教育教学信息化手段融入教育教学改革进程中。

心理学研究表明，一般人的注意力关注在某一事物上大概维持在20分钟左右。结合线性代数课程特点，本文将通过BOPPPS模式的六个环节，结合超星学习通学习平台，探讨线性代数在线上线下教学中的具体实践。

（一）导入

这一环节是指正式进入课堂教学新内容之前的引言部分。导入既包含引导学生明确学习这门课程的目的，也包含引导学生学习每个知识点，这是激发学生学习兴趣的关键环节。要上好开学后的第一堂课，对学生讲清楚这门课程的起源、发展史、研究对象及研究内容、应用等方面，这一环节至关重要。在教学发展史时，融入“立德树人——教育的根本任务”思想，介绍我国在公元1世纪前后，由张苍、耿寿昌将前人各家修订、整理而成的经典数学专著《九章算术》中关于解线性方程组的“方程章”，比17世纪法国的两位数学家笛卡尔和费马的早期研究早1500多年，从而激发学生的爱国热情，产生强烈的学习动力。在“矩阵的初等變换”这一节，两个矩阵“等价”，而不是“相等”，通过“对其中一个矩阵进行运算得到另一个矩阵”引入初等矩阵。这一环节需要教师将学生已经建立起来的知识结构和将要学习的知识密切联系起来，让学生感觉新知识的学习“顺理成章”。[9]

（二）教学目标

这一环节是指明确该课堂的学习目标和将要达到的效果。教学目标环节需要教师明确告诉学生需要学习什么内容、达到什么效果。让学生明白学习的方向，并且学习目标是进行评定的。教学目标的是否实现既衡量教师教学任务是否完成，又衡量学生学习任务是否完成。比如向量组的线性相关性这一节的知识点极其抽象，向学生阐明学习的主要内容：向量组的线性相关性的概念、如何判定（或证明）向量组的线性相关性、向量组线性相关性的性质，需要达到的学习目标（教学目标）是：理解向量组线性相关、线性无关的概念，熟悉这一概念与齐次线性方程组的联系，理解并掌握确定向量组线性相关（无关）的方法，了解向量组线性相关性理论的主要结论。学习目标中用了“理解”“熟悉”“掌握”“了解”这几个关键词，让学生在学习新知识之前弄清楚学习的重点，知道学习目标需要达到的程度。

教学目标环节还需要考虑授课对象。比如教学“矩阵的初等变换”这一节，要求学生“知道做初等行（列）变换相当于对矩阵左（右）乘可逆矩阵”，对于管理类学生，只需要知道就行，而对于工科类学生，明确要求是左乘还是右乘、可逆矩阵是怎么来的，让他们清楚学习目标。

（三）先测

这一环节是指在明确教学目标后对学生进行先导知识的检测。可以通过提问、小测验、作业、讨论等形式开展，目的是教师准确把握学生对即将学习的新知识的关联知识的了解程度，并根据检测情况及时调整授课进度和授课内容，并适时改进授课方式。对学生而言，既复习了预备知识，又聚焦了新学内容，激发学生的学习兴趣，为下一步新授课内容的学习奠定基础。

以向量组的线性相关性为例，以提问方式检查作业：问λ为何值时，齐次线性方程组

x1-x2+x3=0λx1+2x2+x3=0           2x1+λx2=0（1）

有非零解？

学生的解答有两个不同方法：一是通过计算系数矩阵的值小于3，二是通过计算系数行列式的值等于0，来确定λ的值。并讨论这两种方法的使用条件。通过选择这个方式来摸底，既检查了学生的作业完成情况，过程中让学生复习了判断齐次线性方程组有非零解的两个基本方法，又为下一阶段学习向量组线性相关、线性无关打下基础，顺便还可发现并杜绝抄作业现象。

（四）参与式教学

这一环节是通过师生之间的互动来完成新知识的学习。这一环节顺利进行，需要教师根据上一环节的检测结果，灵活使用教学技巧，积极引导学生参与到新内容的学习中来。根据授课内容，教师还可以提出问题，让学生讨论，再给出结论，以达到教学目标的完成。

还是以向量组的线性相关性为例，告诉学生：当λ=-2或λ=3时齐次线性方程组（1）有非零解。分别对这个方程组的系数矩阵1 -1 1-2 2 12 -2 0或者1 -1 13 2 12 3 0进行分块，表示为（a1  a2  a3）（其中a1，a2，a3为3维列向量），我们称向量组a1，a2，a3线性相关。对应的，当λ取其他值时，这个齐次线性方程组（1）只有零解，此时称这个向量组a1，a2，a3线性无关。对于一般的齐次线性方程组

a11x1+a12x2+…+a1mxm=0a21x1+a22x2+…+a2mxm=0an1x1+an2x2+…+anmxm=0   （2）

其系数矩阵a11      a12         …    a1ma21        a22         …      a2m                …        …        an1      an2       …      anm，按列分块为（a1  a2 …am）（其中a1，a2，…，am为n维列向量），然后让学生讨论：如何用向量形式表示方程组（2）？向量组a1，a2，…，am线性相关和线性无关该如何定义？向量组a1，a2，…，am线性相关或者线性无关又如何用已学知识来判断？通过讨论，教师进行总结，再用PPT给出严格的定义和判断方法，随后举例说明。这一参与式教学环节，从具体到抽象、从简单到复杂、从低维到高维，这一过程降低了这门课程的抽象性，学生通过思考而来的知识会更容易理解，掌握得更加牢固[10]。

（五）后测

这一环节是对新知识的学习成效进行检验或评估，了解学生是否达到教学目标。这一环节可根据知识的类型选择检测方法，如理解型知识可用选择题、判断题或简答题，应用型知识可用作业，或者讨论与生活相关的案例。这一环节可通过网络平台向学生发送题目，选择的题目预判大多数学生能在10分钟内完成，可要求学生完成后在网络平台上发送答案，教师可当场统计学生对新内容的掌握程度，同时也查了学生的考勤。

仍然以向量组的线性相关性为例，可设计几个有关向量组线性相关和线性无关的概念的判断题，如：（1）设a1，a2，…，am线性相关，l1，l2，…，lm是一组不全为零的数，则l1a1+l2a2+…+lmam=0;（2）设a1，a2，…，am线性无关，则对任何一组不全为零的数l1，l2，…，lm，都有l1a1+l2a2+…+lmam≠0;（3）如果l1a1+l2a2+…+lmam=0，则a1，a2，…，am线性相关;（4）对任何一组不全为零的数l1，l2，…，lm，都有l1a1+l2a2+…+lmam≠0，则a1，a2，…，am线性无关。在超星学习通上随堂发布，要求学生在5分钟内完成。再设计几个计算量较小的判定向量组线性相关性的简答题，如（1）判定向量组a1=（1，-1，2，4），a2=（0，3，1，2），a3=（3，0，7，14）线性相关还是线性无关？（2）t为何值时，向量组a1=（1，t，-1，2），a2=（3，3，-3，6）线性相关？最终答案设置为选项，也随堂发送，可要求学生直接发送答案选项，然后任选学生简要说明简答过程。教师可根据平台上的统计结果，调整下一步教学方案。

（六）总结

这一环节是总结本次课堂学习内容，布置课后作业或者延伸学习，对下次课的学习内容提出要求。这个过程可以帮助学生理清学习要点，总结学习收获，还可适时表扬、鼓励学生，同时要求学生思考是否达到学习目标。教师自身也要总结这次课的优缺点，反思此次课是否有更好的教学方法。教师还可告知学生：课后教师会在学习通平台上发布本次课的PPT课件和相关补救措施以及下次课的预习内容，解决学生听课与记笔记二者不能兼顧的问题，也为下次新内容的教学打下基础。

四、结语

在日新月异的信息化时代，教师一方面需要不断学习，更新教育教学方法、手段;另一方面需要走进大学生的心中，了解他们的需求，让“朋友”式的教学展现无穷魅力，从而进一步激发学生的学习动力，以提高教育教学质量，达到较好的教学效果。

参考文献：

[1]同济大学数学系.线性代数[M].第六版.北京：高等教育出版社，2014.

[2]黄玉梅，陈熙德.线性代数[M].重庆：西南师范大学出版社，2019.

[3]卢刚.线性代数[M].第三版.北京：高等教育出版社，2009.

[4]李爽，付丽.国内高校BOPPPS教学模式发展综述[J].林区教学，2020，275（2）：19-22.

[5]张艳，王萃.基于BOPPPS模式的线性代数教学改革与探索[J].教育现代化，2019，48（6）：50-51.

[6]李菊雁，边雪芬.基于BOPPPS教学模式下的的线性代数微课教学设计：以“逆矩阵”为例[J].数学学习与研究，2020（7）：14-15.

[7]王华丽，冯倩倩.BOPPPS教学模式在线性代数教学中的应用及效果评价[J].黑龙江科学，2021，12（1）：52-53.

[8]王晴，张兴桃.基于超星学习通的物理化学BOPPPS教学模式改革实践[J].大学化学，2018，33（10）：68-74.

[9]曹丹平，印兴耀.加拿大BOPPPS教学模式及其对高等教育改革的启示[J].实验室研究与探索，2016，35（2）：196-200.

[10]黄玉梅.《线性代数》课程中“向量组的线性相关性”部分的教学探讨[J].西南师范大学学报（自然科学版），2015，40（12）：176-179.

◎编辑 郑晓燕