计算物理课程的本研协同建设

吕广宏，梁林云，姜 寅，周洪波，胡 地，竺礼华，耿立升，满兴坤，李 博，周 苗，张玉洁，刘利民，金 硕，宋春艳，张 颖，舒小林

(北京航空航天大学 物理学院，北京 100191)

理论物理和实验物理是两种研究物理现象和规律的传统手段. 随着信息技术的快速发展，计算物理作为第三种研究物理现象和规律的手段应运而生. 计算物理是以计算机及其技术为工具和手段，结合物理学、数学和计算机科学等多学科交叉发展起来的一门新型学科. 计算物理学在发展初期仅被作为连通理论物理与实验物理之间的“纽带”，随着物理学、数学和计算机科学的不断交叉融合，已经发展为一门独立的分支学科，在研究物理现象和规律的过程中发挥着不可替代的作用，成为与理论物理和实验物理并列的物理学的第三种研究方法[1-3].

计算物理的显著特点是克服了理论物理描述复杂物理问题的不足，同时也解决了实验物理遇到苛刻实验条件从而难以实现的困难. 计算物理不能理解为简单的计算，而是通过计算了解物理现象及其包含的内在规律. 正如一位计算科学的先驱者R.W. Hamming所说：“The purpose of computing is insight, not numbers”[4]. 一方面，计算物理可以把更加复杂的系统包含进来，同时尽可能减少近似的条件，实现对物理现象更加全面和系统的描述. 研究人员根据实际条件可对物理模型和计算条件进行修改和调控，很方便得出各种参数和条件对计算结果的影响规律，一定程度上类似于在实验室做实验，因此也常被称为是“计算机实验”.

另一方面，随着科学技术的迅速发展，学科分化日趋详细，各学科之间相互交叉和渗透，计算物理学科与这些新兴学科的交叉则不断丰富计算物理的内容. 特别是近年来量子计算技术的进步，突破了传统计算机进行信息存储和处理的方式，以量子比特作为信息量的基本单位，基于量子力学原理，算法比传统计算更加高效，从而能更快解决复杂和计算量巨大的物理问题. 值得一提的是今年由我国科研人员研制的量子计算原型机“九章”的问世，为量子计算实现规模化和重要领域的应用研究打下了坚实的基础. 计算物理学的产生与发展极大推动了整个物理学的进步. 目前，计算物理在几乎所有的物理学分支的应用中均占有一席之地，例如计算凝聚态物理、计算核物理、计算等离子体物理等. 因此，学科交叉和融合是推动计算物理发展的一个重要因素.

随着计算物理学科的发展，计算物理的教学也需要不断设计和发展. 计算物理目前是综合性大学本科物理专业的核心课程和研究生的必修课程. 然而计算物理的教学与传统物理课程相比相对滞后，究其原因：其一是计算物理学科相对年轻，相关的教学书籍和课程还在不断完善中；其二是计算物理是交叉学科，集合了物理、数学、计算机科学等多个学科的内容，内容多而杂，很难形成一本通用的教材. 国内外计算物理课程在很大程度上根据授课教师自身的学术背景进行讲授，各具特色，并无统一的课程教材[5]，因此，授课内容侧重点区别较大.

由于计算物理的实践性比较强，在教学实施过程中目前还存在一些现实的问题，例如基本数值方法和上机实践没有得到完全实施，本科课时也比较少，难以在一学期讲解如此广泛的内容. 这些困难均为教师在很少的课时内讲授大量计算物理知识和实践提出了挑战，这就需要教师提前设计好课程内容，合理安排授课形式，以便能让学生在短时间内掌握计算物理的主要知识点，了解计算物理的流程和特点，培养学生解决物理问题的能力.

计算物理的内容涵盖了物理、数学和计算机科学方面的内容. 因此，本文也从程序语言、物理建模、数值方法、结果分析和可视化、应用实例和前沿课题六个方面讨论课程建设的探索与实践. 北航作为工科类学校，课程特别注重将计算物理与工程问题特别是航空航天应用领域相结合，突出了计算物理课程的理工融合与空天特色.

1 本研课程协同建设

学习计算物理课程需要事先掌握一些必要的基础知识，如高等数学、数学物理方法、计算机语言等，研究生课程更需要具备热力学与统计物理、量子力学、固体物理等基本知识. 前面讲过的课程一般注重理论推导，物理模型示例往往是理想模型，具有解析解，很少把这些理论知识具体应用于解决一个普适的物理问题，缺乏实践性. 计算物理正好解决了这一问题，学生可以根据已学过的理论模型具体求解一个实际的物理问题，进一步加深对物理知识的理解，亦能感受到学习物理的乐趣.

本科生和研究生需要制定不同的培养目标. 对本科生来说，建议达到能够理解计算物理在科学研究中的意义，掌握基本的数值方法，初步掌握编程语言和物理思想，了解物理建模、编写程序、数学方程求解、计算结果分析等整个计算物理流程，了解几种常用计算方法在典型物理问题中的应用. 对研究生来说，考虑到部分本科为外校的同学可能没有或较少学习计算物理的情况，教学中首先回顾部分本科阶段的基本知识点，之后拓展知识面和增加课程难点，结合前沿研究热点，并强调计算物理与工程特别是航空航天中的计算问题相结合，培养学生解决实际问题的能力. 特别是研究生课程开设二级学科平行课，以满足不同二级学科学生的需求，注重本科和研究生计算物理课程协同建设，开展计算物理教学工作.

在教学内容上，本科生课程偏重于介绍容易掌握的基础理论知识，为今后学习更加专业和前沿的物理知识打下基础. 课程不设具体学科方向，以理解如何利用计算物理解决实际物理问题为核心思想，介绍几种典型计算物理方法的背景、详细求解问题的步骤和具体应用实例. 对于研究生课程，基础理论知识则突出内容的深度和广度，并且突出内容的前沿性和专业领域重点或热点，为培养研究生独立从事科研工作的能力打下基础.

在教学方式上，考虑到本科生更加注重基础理论知识而研究生更加注重专业领域的知识，我们设置了本科生课程“小班化”和研究生课程“二级学科平行课”的教学模式. “小班化”的课程降低了师生比例，大大增加了师生互动的频率，为课堂教学特别是上机课程的实施提供了很好的模式，调动了学生学习的积极性，教学效果良好. “二级学科平行课”的设置则更加适合研究生的教学，针对不同二级学科的学生开设相应的计算物理课程. 同时，授课教师在本专业领域具有丰富的教学和科研经验，可以更加深入讲解二级学科领域的知识和前沿研究的热点问题，很好地满足了不同二级学科学生的要求，为今后进入科研领域打下了计算物理基础.

2 本科生课程建设

北京航空航天大学的计算物理本科生课程侧重介绍计算物理的思想，讲述计算物理领域所涉及的计算工具、C程序语言、数值方法、上机操作实践和几种常用的计算方法. 在掌握物理、数学和计算机基本知识的基础上，进一步培养学生计算和实践的能力，掌握物理模型和数学方程的建立方法，学会应用数值计算的思想和方法分析和处理典型的物理问题，提高学生独立分析、建立模型、开发计算程序并解决物理问题的能力. 本科课程主要包括三个部分：程序语言-绘图软件、数值方法、典型计算物理方法.下面就每个部分进行详细的介绍.

2.1 程序语言-绘图软件

程序语言为实现人机交互的媒介. 对初次接触计算机语言的本科生来说，如何选择程序语言显得非常重要. 可供选择的有一些主流的商业化科学计算软件Matlab、Mathematica、Maple等和高级程序语言如C、C++、Fortran、Java、Python等. 商业化的计算软件在工程和科研领域具有广泛的应用，其内部已集成了大量可供调用的库函数，使用时只需给出调用函数的命令，即可实现高效的数值或符号计算功能，使用起来相对容易[6]. 然而，一个重要问题是此类软件没有具体求解方程的过程，如采用Mathematica求解非线性方程的根，只需写出求解的方程并调用相关命令如FindRoot和Solve，便可直接给出计算结果，学生并不能够详细了解具体求解方程的过程以及编程思想，不利于训练学生的计算物理解题思维和编程思想. 此外，大部分的主流商业计算软件收费较高，如何实现本科生和研究生免费使用也是面临的一个实际问题. 特别是近年来迫于美国政策的影响，部分高校已无法使用美国公司的计算软件Matlab进行教学与科学研究. 其它的软件如Mathmatica尽管目前仍可使用，但是也不能排除未来被禁止使用的可能性. 可见，使用开源软件或者开发具有自主知识产权的计算类软件迫在眉睫.

而高级程序语言基本是免费的，不用考虑版权的问题. 其次，除Python外，使用此类高级程序语言时需要将具体的数学方程根据数值方法进行分步计算，并根据实际需要如方程的具体形式和边界条件等采用合适的数值方法进行求解. 因此，采用高级语言程序对解决物理问题提出了更高的要求，亦能通过实际操作加深对计算物理思想的理解. 同时，我们希望程序语言能够满足以下一些条件，如可读性好、运算符丰富、结构式语言、设计自由度大、执行效率高、可移植性好和使用广泛，综合考虑在现阶段选用C语言. 这部分内容主要熟悉Linux操作系统和常用Vim命令，熟悉Visual Studio，学习C语言中常用变量、数组、结构体定义、选择语句、循环语句、判断语句、函数、简单的输入输出语句等.

计算结果的展示需要绘图软件，课程主要介绍免费的绘图软件Gnuplot,可以在Linux、Windows或MacOs系统上运行，强调应用可视化软件展示计算结果的物理图像和分析结果的重要性. 设计几个典型的算例作为课后作业，以方便学生课下学习并练习. 通过课上练习与课下巩固，帮助学生提高程序设计和编写能力，为后面采用数值方法进行具体物理问题的求解打下基础.

2.2 数值方法

数值方法是计算物理中非常重要的内容，是实现将数学方程中的连续函数写为离散函数形式的工具，最后实现在计算机上计算. 为了让学生能够更好地理解和掌握这部分内容，课程主要介绍差分和随机方法，相对于有限元、有限体积、傅里叶变换等方法，这两种方法更直观、容易理解，且应用非常广泛. 课程首先介绍函数的数值微分和积分，如差商求微分、矩形法求积和随机法(蒙特卡洛法)求定积分；数据的处理，如函数的拟合、插值、误差的定义等. 之后，介绍线性和非线性方程的几种简单数值解法，主要包括简单线性方程(如三对角矩阵)的求解、高斯消元法求解一般线性方程、二分法与牛顿法求解非线性方程；初值和边值问题的常微分方程和偏微分方程数值解法，包括欧拉方法、预测-校正法、龙格-库塔法求解常微分方程、有限差分法求解扩散方程、热传导方程和波动方程三类典型的偏微分方程；了解显式和隐式方法的区别以及步进法和迭代法.

每一节课后给出一个具体的例子. 例如，在函数积分计算一节，采用差分和随机方法计算函数定积分；数值求解常微分方程，展示一维简谐振动模型的求解方法(见例一). 在数值求解偏微分方程一节中，展示将二维稳态热传导方程首先根据差分法离散化为线形方程组，再通过高斯-若当法求解线性方程组(见例二). 这部分内容主要让学生能够理解数值求解数学方程的主要思想，对给定的数学方程能够采用差分方法将自变量在空间和时间上进行离散化，了解初值和边值问题微分方程的处理方法.

例一：假设一个物体作一维简谐振动，根据牛顿第二定律可以得到其运动方程为

(1)

其中，x为物体相对于平衡位置的位移，m为物体的质量，k为弹性系数. 分别采用欧拉法、预测-校正法和四阶龙格-库塔法三种数值方法求解方程(1)，得到数值解并与其解析解对比. 计算两种不同物体质量(m=1和m=4)的情况，并分析其对计算结果的影响，结果展示于图1(a). 此算例展示了几种典型数值方法求解常微分方程的稳定性及精度，使学生更好地理解这些方法在实际物理问题中的具体应用过程，以加深对计算物理解决实际物理问题的理解.

例二:假设一个正方形样品四周与恒温热源接触，求样品内部温度的分布. 根据二维热传导方程可得温度变化满足方程：

(2)

其中，T为温度，t为时间，x和y为样品某处的位置.边界条件为Tx=0=Tx=100=Ty=0=300,Ty=100=0. 采用有限差分求解，可得到T在二维空间的分布. 系统达到稳态时温度分布如图1(b)所示. 此算例展示了如何采用差分方法求解偏微分方程，通过典型的热扩散模型理解数值方法在实际物理问题中的应用，并将计算得到的温度空间分布通过图形展示出来对数据进行分析和解释.

一维简谐振动模型中位移随时间的变化，分别采用欧拉法、预测-校正法和四阶龙格-库塔法数值求解方程(1)并与其解析解对比，这里，物体质量分别为m=1和m=4，弹性系数k=1. 正方形样品稳态时的温度分布图图1

2.3 典型计算物理方法

典型计算物理方法部分简要介绍了几种应用广泛的凝聚态物理计算方法，包括第一性原理、分子动力学、蒙特卡洛和相场方法，侧重介绍不同计算方法的理论基础、发展历史以及应用举例，使学生能够了解计算物理的主要思想. 讲授完各计算方法的理论知识后均演示一个典型的例子. 例如，第一性原理计算演示氢分子中氢原子间的相互作用；分子动力学演示粒子遵循牛顿力学的运动过程，采用蛙跳算法求解简单的一维牛顿运动方程；蒙特卡洛方法演示随机方法计算圆周率的Buffon投针实验和计算单个空位原子在单晶金属材料中随机游走过程；相场方法采用中心差分方法数值求解简单的Allen-Cahn方程演示界面能驱动的晶粒生长过程. 让学生通过具体实例真正体会根据所学知识去解决实际物理问题的乐趣，深刻理解计算物理的思想，激发学生对计算物理的兴趣.

2.4 上机实践与小班化教学

除上述教学内容外，本文也介绍了教学方式和手段的探索. 课程采用课堂教学、编程练习和上机实践相结合的方式，加强上机实践操作能力，将课堂所学的基础理论知识，通过思考和分析，采用作业的形式进行实际操作，通过建立模型、编写程序、上机计算和结果展示，加深对学习内容的理解. 计算物理课程的一个重要部分是实践环节，程序练习非常重要，学生自带笔记本电脑安装Visual Studio软件，即可在课堂上进行程序编写和运算.

为更好实施上机课程，课程采用“小班化”教学. 由于学生人数减少，师生交流的频率增加，课堂教学由传统的单向传递变为双向互动，方便教师对每个同学在课堂上进行随时指导，很好的调动了学生的积极性，能够使学生更好的掌握课堂和上机实践的重要知识点. “小班化”教学能够及时掌握学生的学习进度和情况，照顾到班级内学生之间的差异，灵活调整教学进度和教学内容. 另外，计算物理课后作业较多且包括了计算程序的编写，小班化教学也极大缩短了教师批改课后作业的时间，使其有更多的时间用于优化班级管理和教学内容. 实践证明，“小班化”教学效果良好，学生学习氛围浓厚，极大地提高了教师的教学效率和学生的学习效率.

在本科生考核方面，改变以往单一的评价手段，通过多种手段衡量学生学习的效果，包括平时课堂互动、程序作业展示和报告、上机实践解决实际物理问题等. 程序编写的考核强调编程思路的重要性，其次关注语法的准确性. 课后作业包括调研多尺度计算方法的应用实例，让学生自己调研文献并总结，培养学生初步阅读科研文献的能力.

3 研究生课程建设

3.1 程序语言与数值方法

程序语言和绘图软件部分仍然选择C语言和Gnuplot绘图软件，与本科生课程一致. 考虑到部分学生本科阶段学习过C语言，适当增加了C语言的内容和难度. 如增加了预处理命令、宏的定义、指针、输入输出格式的高级用法等. 同时考虑到本科是外校的学生可能学习过其它程序语言，具体使用哪一种程序语言同样不作严格限制. 并特别强调编写程序仅作为实现数值计算和分析计算结果的一个工具，避免过分强调程序语言而忽略了计算物理研究物理现象和规律的本质.

数值方法包括三个部分：函数的数值微分、积分和极值问题，线性和非线性方程数值解法，微分方程数值解法.考虑到部分本科为外校的同学可能缺少相关的基础知识，这部分包含了本科课程数值方法的全部内容，同时增加了新的内容和难度. 例如，在函数微分和积分中增加了插值型求导和积分的内容；线性方程中增加矩阵的LU分解算法；非线性方程中增加线性插值算法；在常微分方程中，增加多步法求解以及高阶方程的解法，如辛普森公式、亚当姆斯公式、米尔尼公式和哈明公式等；在偏微分方程中，增加复杂边界条件的数值处理方法等. 此外，还简单介绍了其它的数值方法，如有限元方法和傅里叶变换方法(见例三)，拓宽了研究生的知识面并相应增加了课程内容的难度. 因此，研究生课程相较于本科生课程既保持了内容的连贯性，同时也相应增加了知识点和难度.

例三：一个二元体系在打破其稳定的单相状态时会发生两相分离，每一种组分形成单一的相，这种两相自发分离的现象称为旋节线分解. 其中一种组分的浓度在恒定温度下随空间和时间的演化行为可由Cahn-Hilliard方程：

(3)

描述，体系的总能量为

(4)

f(r,t)=ΛC(r,t)2(C(r,t)-1)2

(5)

其中，C(r,t)是组分的浓度，M是原子迁移率，F是体系的总能量，t是时间，κ是梯度能系数，Λ是常数，ξ为白噪声. 参数M、Λ和κ均取1，初始浓度简单设为C0=0.5. 采用快速傅里叶变换方法求解方程(3).t=1 000时C(r,t)在二维空间的分布见图2.此算例既展示了采用快速傅里叶变换方法求解周期性边界条件的偏微分方程过程，同时也学习了由非稳态向亚稳态或稳定态转变的这一重要物理现象.

图2 二元体系中组分的分布图.灰度代表组分的浓度

3.2 二级学科平行课

考虑到计算物理内容的广泛性和北航物理学院的学科特点，我们创新性地设置了“计算凝聚态物理”与“计算核物理”二级学科平行课. 凝聚态物理学科的学生选择计算凝聚态物理课程；粒子物理与原子核物理学科的学生选择计算核物理课程；理论物理、光学、等离子体物理、无线电物理专业的学生因为人数不多，可选择两门平行课程之一.课程分别由凝聚态物理、粒子物理与原子核物理等各学科方向的老师进行授课，很好地满足了不同二级学科研究生的需求. 平行课可根据学科发展需求和其它二级学科学生数量增加进一步增设，如考虑增设“计算等离子体物理”二级学科平行课程.

2.水质条件差。秋季鱼类排泄物剧增，水体有机质污染加剧，养殖水体缺氧而亚硝酸盐和氨态氮等有害物质含量上升，造成水质不良，水质调控难度增加，鱼类病害增多。

计算凝聚态物理的平行课程主要以分子动力学程序编写为载体，讲述如何构建一套完整的计算方法用于模拟金属晶体材料的物理性质，并给出从程序上实现这些模拟过程的具体步骤. 内容包括构建晶体结构模拟体系、能量与原子间相互作用势、能量弛豫、系统的动力学过程等四个部分. 课程从计算的角度讲述构建理想晶体结构和超晶胞的方法；介绍几种常用的晶体结合与原子间相互作用势，如两体势、多体势和最近发展起来的机器学习势函数，从而计算系统总能量；能量弛豫方法讲述静态弛豫的局域优化，如最速下降法(见例四)和共轭梯度法；动力学过程的模拟包括动力学方程的具体求解，如温度与压强等物理性质的计算，温度和压强等条件的控制等. 每一部分均给出典型的应用实例，以方便学生理解和巩固所学知识，并最终编写出一套简单的分子动力学程序，从而实现计算凝聚态物理的入门. 这部分内容结合前面讲过的数值方法进行讲解，例如，采用有限差分的方法如Verlet算法、速度Verlet算法和蛙跳算法等求解牛顿运动方程得到系统内粒子的位置和速度，让同学能够更加深刻地理解如何采用数值方法对物理问题进行模型构建和具体求解.

初始状态下Ne原子位置分布俯视图； 能量弛豫后达到极小值状态下Ne原子位置分布俯视图图3

例四：以惰性气体Ne原子为例，此算例将三维模拟体系中所有的Ne原子偏离其平衡位置一定距离，采用简单的兰纳-琼斯势函数描述Ne原子之间的相互作用，然后利用最速下降法将体系的能量弛豫到极小值状态，最终得到Ne原子稳定的结构.通过此算例，使学生感悟势函数对于描述原子之间相互作用的重要性，并通过具体的程序编写实现简单体系的计算结果，加深学生对于原子间相互作用势和能量弛豫这两部分知识点的认识.

计算核物理平行课程内容从基本的射线与物质的相互作用出发，不仅探讨了原子核结构与强子结构等少体问题，而且讲授了低温和高温核物质性质等多体问题. 课程以各研究分支的经典算法为线索，涵盖了核物理领域从低能、中能到高能等多个前沿分支的计算方法，其中包括蒙特卡洛模拟、少体及多体算法、数值输运理论等三个部分. 核辐射测量中的蒙特卡洛模拟从基础的随机数抽样算法出发(见例五)，介绍了用数值方法模拟射线与物质相互作用过程的物理原理和算法设计思路. 在此基础上，课程介绍了目前核物理研究中常用的核辐射探测器模拟程序包——GEANT4的使用方法，通过生动的计算实例和充分的课堂/课后上机操作使学生巩固了理论基础和算法知识. 与射线散射问题不同，核物理的少体算法涉及的是核物理束缚态问题的求解.该部分以简单的核结构和强子结构为实例，重点介绍了波函数/密度和束缚态能级的数值解法. 核物理多体问题部分将视角从追踪少量粒子运动状态切换到多体统计分布演化上来，以典型的低温核物质——中子星和高温核物质——夸克胶子等离子体为实例，介绍了用统计力学和玻耳兹曼方程来求解多体分布演化的数值算法. 该部分内容是对前面数值算法的进阶应用，需要学生灵活使用所学方法来求解相应系统的微分-积分方程. 通过该部分的讲授和练习，学生熟悉并掌握了随机采样算法、蒙特卡洛积分和采样方法以及对常见的边界条件的数值处理方法.

例五：裂变中子能量小于15MeV，初始能量为E0的中子在质量数为A的原子核上发生一次弹性碰撞后的中子能量取值范围和能量分布概率(能谱)为

(6)

当碰撞次数达到几十次甚至更高时，解析变得非常困难，需要借助蒙特卡洛方法处理. 图4(a)是通过解析和蒙特卡洛方法分别得到的1 MeV中子在12C上弹性碰撞10次后的能谱分布，两者吻合得很好，说明方法的可靠性. 图4(b)是利用蒙特卡洛方法模拟1MeV中子在12C上弹性碰撞110次后的能谱分布. 可以看到，经过110次碰撞中子的最可几能量已降至0.012 5 eV，对应于室温下中子的热运动能量.通过该例，使学生了解到中子慢化的物理背景与机制，掌握如何利用蒙特卡洛方法解决实际问题的基本技巧，加深了对快中子慢化达到热平衡状态时其能量服从麦克斯韦-玻耳兹曼分布的物理认识.

1 MeV中子在12C上弹性碰撞10次后的能谱分布； 蒙特卡洛方法模拟1 MeV中子在12C上弹性碰撞110次后的能谱分布与室温(T=20℃)下麦克斯韦-玻耳兹曼分布图4

3.3 前沿应用课程

在掌握了以上必要知识的基础上，结合学科前沿，讲授计算物理的最新进展，有助于研究生将来进入课题组开展科研工作. 前沿应用部分邀请学院和校内外涉及计算物理方向的教师进行专题讲授.如邀请学院内教师讲授拓扑绝缘体、软物质、等离子体湍流、中子星的研究等最新的计算工作与综述.同时发挥我校学科优势，将工程技术和航空航天方向中涉及的计算物理知识融入前沿应用课程，邀请航空学院教师讲授飞行器运动学、空气动力学及轨道动力学方面的物理和数学模型及应用的相关数值方法，邀请动力学院与计算机学院教师讲授计算流体力学、人工智能、大数据和高性能计算在航空航天领域的应用趋势和未来发展. 航空航天领域对计算资源的稳定性、效率和安全性都有很高的要求. 近年来随着量子计算技术的不断突破，有望解决航空航天领域相关的一些物理学最困难和复杂的问题，让学生能够了解到最前沿和实用的计算物理知识，培养学生不断探索新领域的能力.

3.4 教学方式与课程团队

教学方式采用了课堂教学、上机实践和课后作业三个环节. 上机实践是计算物理课程非常重要的一个部分，为提高研究生的编程能力，设立了由四名高年级同学组成的助教小组，课程结束后半个小时为程序指导课，同学自愿参加，可以很好地照顾基础比较弱的同学，同时也给基础好的同学很大的提升空间，夯实了课程实践这个环节. 课后作业是巩固课堂知识非常重要的一环，针对每个知识点，都会给出小的课题进行程序练习，难度可以选择，满足不同学习能力同学的要求. 在研究生课堂教学中根据教学内容使用了“翻转课堂”的授课形式，学生在“翻转课堂”中更准确地发现学习内容中的难点，从而能够在教师的帮助下更深刻的理解教学内容，取得了很好的效果.

为了能够更深入实施研究生课程教学改革，我们根据课程内容建设了一支由12人组成的课程团队，主要由学院内计算物理方向的中青年教师组成，包括八名国家级人才. 教师队伍主要研究方向为计算凝聚态物理、计算核物理与计算等离子体物理方向.任课教师根据自身的研究背景，讲授相关的计算物理课程，科教融合，极大提升了课程的质量.

在保持典型的“平时作业+试卷考试”评价体系的基础上，引入过程化的考核评定内容. 如通过课程日志等方式记录在教学过程中对授课内容有独到见解或提出优秀问题的学生等. 根据线下/线上授课的特点，加入一定比例的随堂测验或线上测验内容，从而了解学生对基础知识的掌握情况，也方便在之后的教学中对不同教学模式下的教学内容进行调整. 设置一系列具有挑战性的开放性课题，如根据课堂上讲授的牛顿法求解非线性方程，拓展到采用牛顿法求解非线性方程组，对完成质量较好的学生进行适当加分.

总之，我们从教学内容、教学方式和考核体系上进行了新的改革，课程不仅注重基础知识的拓宽和深入，更注重独立思考能力和创新能力的培养.

4 结论

综上所述，我们根据计算物理课程的学科特点以及从本科生和研究生设置的不同培养目标出发，对本科生和研究生课程协同建设，并从教学内容、教学方法和考核体系三个方面进行了统一规划. 本科生课程定位于掌握计算物理的基础理论知识及其思想、流程以及解决物理问题的案例实践；研究生课程定位于介绍计算物理坚实的专业基础和宽广的知识结构，突出内容的专业性和前沿性，重视计算物理的实践能力进而培养学生独立从事科研工作的能力. 本科生课程实施“小班化”教学，研究生课程设置“二级学科平行课”，调动了学生学习的积极性，提高了教学质量. 研究生和本科生课程协同建设，使得计算物理课程在内容、结构和方式上具有连续性和统一性.