问从“形”中显 理自“数”中来——多视角剖析极值点偏移问题的命制思路与考查方向

江海华

(太仓市明德高级中学,江苏 太仓 215400)

2021年，江苏、山东、广东等七省(市)参与的新高考“首考”顺利落幕后，各专家教授、一线教师纷纷投入到新试题的解答“揭秘”中.当然，我们应该鼓励大家对高考题进行讨论分析:一方面，从多样性的试题解答中，可以使广大师生更加了解命题者的意图，进一步明确新高考的考查方向；另一方面，从多视角的试题解读中，命题专家也可以更加广泛地听取广大师生的意见，在这种良性的“沟通—互动”中使命题工作与课堂教学真正落实到“素养立意，凸显本质，选拔人才”中来.

全国数学新高考Ⅰ卷将导数问题作为压轴题尚在意料之中，但是以“极值点偏移”作为考查点却多少有些意料之外.主流意见认为：第22题第2)小题考查的并非导数的主要应用，并且在近几年的模考中频频出现，之前对此问题有过研究的考生，解答出来绝非难事，但对未做过类似模拟题的考生来说，则多少有些不公.高考为什么不能命制一道更能体现导数应用的压轴题呢？

导数是研究函数性质的有效工具之一，与导数相关的极值、最值、切线、凹凸性等概念深刻反映了函数的某些本质属性，和导数相关的一系列问题必然成为考查的热点.笔者认为，高考命题很难界定导数的应用应该考查什么内容，但是利用导数工具研究函数性质的基本方法却是永恒的主题.考生在解答这类问题中所涉及的一系列新方法、新思路都能很好地展现其思维品质与理性精神，从这个角度来说，与导数的相关问题将一直是新高考考查的重点与难点.笔者曾认真研究了这道题，也多方面参考了各专家教授的解答思路，虽然深受启发，但很难从那些精妙的数学技巧中找到命题者的本意.下面，笔者试图从极值点偏移的视角来切入该题的解答过程，从“形”的视角来剖析命制思路，从解法多样性的视角来阐述导数问题的考查方向.

题目已知函数f(x)=x(1-lnx).

1)讨论f(x)的单调性；

(2021年全国数学新高考Ⅰ卷第22题)

分析1)函数f(x)的定义域为(0,+∞).因为f′(x)=1-lnx-1=-lnx，当x∈(0,1)时，f′(x)>0；当x∈(1,+∞)时，f′(x)<0，所以f(x)的递增区间是(0,1)，递减区间是(1,+∞).

2)因为blna-alnb=a-b，所以

b(lna+1)=a(lnb+1)，

即

故

f(x)=x(1-lnx)<0,

故

1

于是

0

下文再证2

1 从极值点偏移的视角切入

从第2)小题题干的原始形态来看，命题者有意通过换元变形和对数运算变形隐藏突破口，考查学生的观察能力与数学运算素养.如果考生可以识别出命题者的意图，那么很快可以从题干条件和要证明结论的“形式”切入.

通过第1)小题的解答，可以大致画出函数f(x)=x(1-lnx)的图像(如图1).若考查含参方程f(x)=c(其中c∈R)解的存在性及个数问题，则问题过于简单，放在压轴题位置肯定不恰当.那么怎样在这种常见的函数模型上命制出有新意的试题呢？

图1

容易发现，这种“单峰不对称”图形的局部也是不对称的，这也就是俗称的“极值点偏移”所依赖的典型函数特征.笔者先简要地介绍一下“极值点偏移”的背景.

研究上述满足条件的x1,x2和极值点m的关系统称为“极值点偏移”问题.

2 从“形”的视角来剖析命制思路

从要证明的结论形式来看：

其中m是函数f(x)的极值点1.尽管由第1)小题的铺垫，我们可以画出函数f(x)的大致图像，但是却不能看出函数f(x)的极值点左偏这一事实.若从结论入手，明确的方向可以一定程度上降低试题的解答难度.既然是这样，那么命题者是从什么角度来命制此题呢？考生又该如何从函数图像的“形态”和结论的“形式”来解答此题呢？笔者在GeoGebra软件中绘制了函数f(x)=x(1-lnx)的具体图像，利用了该函数具体的“形态”，很快发现了“端倪”.

3 从解法多样性的视角来阐述导数问题的考查方向

通过图2和图3中一系列的辅助线可以发现，第2)小题中要证明的就是两个非常显然的结论.

图2 图3

结论1函数f(x)=x(1-lnx)的极值点1发生了左偏(如图2)；

结论2x1+x2

一般地，数学结论的获得要么是通过计算得来，要么是通过证明得来.在解答题中，理论上我们是不允许通过画简图来说明问题的(特别是通过一些并不常见、并不显然的粗略图).既然如此，那说理的过程必然得求助于严谨的代数证明.那么该如何给出一个考生可接受(能想到、可操作)的解法呢？下面，笔者将提供第2)小题的几种典型证法供大家参考.

方法1先证x1+x2>2，即证2-x1f(x2)=f(x1).

令g(x)=f(2-x)-f(x)(其中0

g′(x)=-f′(2-x)-f′(x)=lnx(2-x)

所以g(x)在(0,1]上单调递减.于是

g(x)≥g(1)=0，

即证得f(2-x1)>f(x2)=f(x1)成立，从而

x1+x2>2.

再证x1+x2x1.因为0x1，只需证f(e-x2)>f(x1)=f(x2).

令h(x)=f(e-x)-f(x)(其中e-1≤x

h′(x)=-f′(e-x)-f′(x)=lnx(e-x).

又h′(e-1)=ln(e-1)>ln 1=0,当x→e时，h′(x)→-∞.由零点存在性定理可知存在唯一的t0∈[e-1,e)，使得h′(t0)=0，则当x∈[e-1,t0)时，h′(x)>0,h(x)单调递增；当x∈(t0,e)时，h′(x)<0,h(x)单调递减.

又h(e-1)=f(1)-f(e-1)>0,h(e)=f(0)-f(e)=0,因此当x∈[e-1,e)时，h(x)>0恒成立，有f(e-x2)>f(x1)=f(x2)恒成立，于是e-x2>x1，即x1+x2

x1(1-lnx1)=x2(1-lnx2)，

即

1-lnx1=t(1-lnt-lnx1),

故

不妨设00；当x∈(e,+∞)时，

f(x)=x(1-lnx)<0,

故

1

即

0

(t-1)ln(t+1)-tlnt<0.

令s(t)=(t-1)ln(t+1)-tlnt(其中t>1),则

易证不等式ln(x+1)≤x成立.由上述不等式可得：当t>1时，

故s′(t)<0恒成立，s(t)在(1,+∞)上为减函数，s(t)

方法3利用GeoGebra软件绘制函数f(x)=x(1-lnx)的具体图像,容易发现图像呈“单峰不对称”特征(如图1).在同一幅图中，利用切线工具作出函数f(x)在点(e,0)处的切线y=-x+e，并作出直线y=x(过峰点与无定义点(0,0))与直线y=m=f(x1)=f(x2).直线y=m与两直线y=-x+e,y=x的图像的交点分别记为x3,x4(如图3)，易解出x3=m,x4=e-m.

利用图3可得以下两个结论：

结论3当x∈(0,1)时，直线y=x一直处于函数f(x)=x(1-lnx)图像的下方.

结论4当x∈(1,e)时，直线y=-x+e一直处于函数f(x)=x(1-lnx)图像的上方.

由结论3和结论4易知x1+x2

我们发现，即使考生没有处理极值点偏移的相关经验，也能将问题解决.虽然解答过程比较烦琐，但依旧是考生需要掌握的研究方法.从这个角度来说，该小题的命制，还是客观公正的.这就要求教师在平时的教学过程中，要强调通性通法的极端重要性.

对于极值点偏移问题，常见的处理思路有两种：1)一般通过原函数的单调性，将与自变量有关的不等式问题转化为与原函数的函数值有关的不等式问题；2)引入新的变量，实现多变量归一，把多元不等式问题转化为与新变量有关的不等式问题.

虽然方法1和方法2很好地解决了上述问题，但从上述解答过程却很难发现命题者的意图和命制思路.方法3从直观入手，从函数的形态切入，完整地展示了命题者的命题思路：利用两特殊直线(一条为切线)实现两侧控制，多数情况是单侧控制.这应该是命制极值点偏移问题的核心思路.

4 从新的呈现方式再研究极值点偏移

极值点偏移问题还有很多其他的呈现形式.笔者在原试题的基础上给出了新的问题(以下问题1和问题2中的f(x)=x(1-lnx))，供大家思考.

容易发现，问题1和问题2所表达的意义相同，下面只证问题1.

证明由文首高考题的第2)小题知

x1+x2>2,

则

由第1)小题知f′(x)=1-lnx-1=-lnx在(1,e)上单调递减，从而

f′(x0)

正所谓“教而不研则浅，研而不教则空”[1]，不讲思想渊源的“秒杀法”要少讲或不讲，没有目的的刷题要少练或不练，为了解题而解题并不能有效地提升数学素养.一线教师要将教科研的主要精力放在如何突破困扰学生的难点之上，着力挖掘出题目中内在的数学本质，这样才能将新课标的教改精神真正落到实处.