基于等周定理的探究及其应用

龙媛

摘要：等周定理在数学发展史上占有重要地位，是一个古典几何问题，本论文主要从笛卡尔的论证，等周定理的发现、内容、证明方法，在数学几何证明中的推广及在实际生活中的应用。发现等周定理主要通过三种方法：观察法、泡沫实验法和笛卡尔的数据验证;等周定理的内容主要有两种表述：第一种表述形式，在周长一定的所有封闭平面曲线中，圆所围的面积最大;第二种表述形式，在面积一定的所有封闭平面曲线中，圆所围的周长最小。

关键词：等周定理;海角问题;纪塔娜问题

中图分类号：G4 文献标识码：A

1.等周定理

1.1等周定理的发现

1.1.1笛卡尔的论证

实际上十六世纪以前，还没有任何数学家真正证明等周定理，但有意思的是，没有任何数学家以及其他科学家怀疑过它的正确性，而且只要在需要的时候就毫不迟疑地使用它，同时期这帮人的举动，我们可通过笛卡尔的话得到理解，在《思想的法则》一书里，笛卡尔谈到“为了用列举法证明圆的周长比任何具有相问面积的其它图形的周长都小，我们不必全部考察所有可能的图形，只需对几个特殊的图形进行证明，结合运用归纳法，就可以得到与对所有其它图形都进行证明得出的同样结论”。

1.1.2现象

向日葵的子盘，千万种美丽的花朵，水管等管道都是接近于圆形的，大自然如此偏爱圆

形，这是为什么呢？

寒夜，一只猫钻进干草垛，把自己的身体尽可能蜷伏成球形，这是为什么呢？

如果你懂得一些物理知识，就会用表面张力予以解释。再看看人或哺乳动物，头盖骨都近于球形。

面积这些自然现象，容易使人们想到表面积和体积。当体积一定时，球的表面积最小吗？同样地，当表面积一定时，球的体积最大吗？

大自然也偏爱圆形，当我们用柔软的细绳捆一束细杆时，这捆细杆总是近于圆形。

1.2等周定理的内容

等周定理的内容：

第一种表述形式：在周长一定的所有封闭平面曲线中，圆所围的面积最大。

第二种表述形式：在面积一定的所有封闭平面曲线中，圆所围的周长最小。

1.3等周定理的证明

以下是施坦纳提出的一种方法。

证明：设K是周长一定而面积最大的图形，只要证K是一个圆即可。以下三步完成。

第一步：用反证法证明K是凸多边形。若K是一个凹图形，那就一定可以在它上面找到两点A，B，其连线落在图形K的外部。以AB为轴，把曲线AmB对称到另一侧，称为曲线Am/M. 图形AmBC与图形A m/BC的周长相等，而后者面积更大，这与K有最大面积矛盾。故K只能是凸图形。

第二步：用反证法证明平分K的周长的弦也一定平分其面积。设凸图形K有最大面积，AB平分它的周长，且弦AB把K分成两部分，。若，不妨设>，以AB为轴把ACB对称到另一侧AC/B处，则周长ACBC/A等于K的周长，但面积ACBC/A>K的面积，这与K有最大面积矛盾。所以，平分K的周长的弦也一定平分其面积。

第三步：证明平分周长、面积的弦是直径，从而K为圆。

用反证法。设AB平分K的周长和面积，在K地边界上任取一点C，只需证ACB为半圆。若不然， ACB，将下图1-5中的，剪下来，贴成另一个图形，其中A/C/=AC，B/C/=BC， A/C/ B/=。这两个图形中，曲线ACB的长等于曲线A/C/ B/的长，但后者面积较大，与K有最大面积矛盾。故ACB为半圆，从而K使圆。

于是，证得了等周定理：在所有等周的平面封闭图形中，以圆的面积为最大。

2.等周定理的推广

2.1等周定理的推广（一）

周长相等的多边形中，正多边形的面积最大。

证明：在所有周长相等的图形中，正多边形与圆形最接近，由等周定理的第一种表述知，正多边形的面积最大。

因此，周長相等的多边形中，正多边形的面积最大。

2.2等周定理的推广（二）

周长相等的正多边形中，边数越多，其面积越大。

证明：在周长相等的正多边形中，边数越多，这个正多边形就越接近与圆，由等周定理的第一种表述知，其面积越大。

因此，周长相等的正多边形中，边数越多，其面积越大。

2.3等周定理的推广（三）

圆的面积比同样周长的正多边形面积大。

证明：在周长相等时，由等周定理的第一中表述知，圆的面积比正多边形的面积大。

因此，圆的面积比同样周长的正多边形面积大。

3.等周定理的应用

3.1纪塔娜问题

纪塔娜是神话中的人物，传说古代非洲北部沿海地区某部落酋长曾答应给纪塔娜一块“用灰鼠皮能包住”的土地。一块灰鼠皮能围多大的土地呢？聪明而美丽的纪塔娜想出一个巧妙地办法。她把灰鼠皮很细很细的线，再把这些线结成一条长带，用这条长带在海岸边划出了一块意想不到的、非常大的土地这块土地是一个半圆，海岸线（近似地看成直线）的一段是它的直径。试证：纪塔娜所围成的半圆形土地面积最大。

3.2海角问题

将纪塔娜问题稍作推广，改为“在一个半岛”（假定半岛由一个角构成，即所谓“海角”），那么问题变为：给定一个角，求已知长度的一条线和角的两边所围出的最大面积，即已知角（海角）为YMX，线长为L，要求曲边三角形XMY面积达到最大时，X，Y的位置和曲线XY的形状应是怎样的？

先来看几个特殊情形。若M=180o，则回到纪塔娜的原问题。又如M=90o，仍可用镜面反射来求解：首先关于一边，然后再关于另一边作镜面反射，这时，曲线连同它的镜像一起，构成了长为4L的封闭曲线。要想求出它围出的最大面积，按等周定理，要求的图形自然是圆。这个圆有两条给定的对称轴XY/和Y Y/，中心在两轴的交点M处，两轴把圆面积和圆周同时分成四等分。因此，原问题的解就是象限角形：中心在已知角顶点的圆的1/4。

4.用等周定理解释实际生活中的现象

寒夜，一只猫钻进干草垛，把自己的身体尽可能蜷伏成球形，由等周定理的推广知，表面积相等的所有立体图形中，以球的体积最大，它是为了减少散热面积，以保持自己体温。 人在冬天天冷的时候，会把自己的身体尽可能蜷伏成球形，也是这个原因。

参考文献

[1]张江华. 等周定理证明史[J]. 广西民族大学学报：自然科学版， 1995（1）：111-116.

[2]王三宝. 等周定理及其应用[J]. 数学通讯， 1998（7）.

[3]魏明志. 从皇后纪塔娜围地谈谈"等周问题"[J]. 数学教学， 2007， 000（005）：13-16.