GM(1,1)模型的优化与应用

张 鹏，李颖男

(太原工业学院 理学系,山西 太原 030008)

GM(1,1)模型是一个连续性的微分方程，它主要根据灰导数、关联度等数学思想建立起来的，是数量经济模型的一个子结构[1].其优点在于不需要依靠大量的样本数据，也不需要利用统计学的思想去挖掘信息规律.灰色预测模型更多的是依靠累加生成对原始数据序列进行变换，并从累加生成序列中挖掘数据潜藏的规律.

GM(1,1)模型作为灰色预测模型的核心与基础，被广泛地应用于社会各领域，尤其是在“小样本，贫信息，数据不完全掌握”的情况下，该模型取得了优异的预测成果[2].但该模型并非在任何情形下都能得到有效的预测成果，有时该模型的预测结果与实际情况存在较大的差距，甚至还会出现背道而驰的情况.

本文首先简要介绍了传统GM(1,1)模型，并对该模型的定义和性质进行了分析研究.接下来，从模型的定义出发，发现对该模型的优化要先从提高原始数据序列的光滑度入手，而通过对比研究可得，调和变权缓冲算子可以实现作用强度的微调，具有良好的调节性，因此，本文将引进调和变权缓冲算子，使其作用于原始数据序列.

原始数据序列得到优化后，将对GM(1,1)模型的背景值和时间响应函数进行优化，通过白化响应式解出参数的值，将得到新的背景值与时间响应函数的表达式.由此，该模型得到了优化.

1 传统的GM(1,1)模型

设原始非负数据序列为：

X(0)=(x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n))

X(1)=(x(1)(1),x(1)(2),…,x(1)(n))

称累加后的数据序列X(1)为原始数据序列X(0)的1-AGO序列.

GM(1,1)的灰色微分方程[3]为

x(0)(k)+az(1)(k)=b

(1)

其中x(0)(k)为灰导数，a为发展系数，z(1)(k)为白化背景值，且：

由(1)式得

通过最小二乘法得[ab]T=(BTB)-1BTY.

GM(1,1)的白化微分方程[4]为

(2)

2 GM(1,1)模型的优化

2.1 调和变权缓冲算子的构造

对GM(1,1)模型的优化要先从提高原始数据序列的光滑度开始，在原始数据序列中引进调和变权缓冲算子[5].

设X=(x(1),x(2),...,x(n))，其中x(k)>0,k=1,2,...,n.

记XD=(x(k)d)，x(k)d=(λ(x(n))-1+(1-λ)(x(k))-1)-1，λ为可变权重，0<λ<1,k=1,2,…,n.此时，无论X是单调递增序列还是单调衰减序列，或者振荡序列，D均为弱化缓冲算子.

数据序列X=(x(1),x(2),...,x(n))中由x(k)到x(n)的平均变化率为r(k)；将缓冲算子D作用于数据序列X，得到XD=(x(1)d,x(2)d,...,x(n)d)，定义缓冲算子D在k点的调节度为：

调节度反映了缓冲算子对数据序列的作用强度.不同的缓冲算子对数据序列的作用强度大小不同，因此，通过调节可变的权重能够调整缓冲算子的作用强度[6].

在实际应用中，权重的取值可以随着模拟精度的变化规律进行调节，也可以基于一定的误差最小化原则选择最优的权重.常见的最优衡量标准为误差平方和最小、平均相对误差最小，但由于权重的选取与预测误差之间并非线性关系，因此难以用确切的解析式表达出来[7].所以，可以在一定的误差准则下，在λ∈(0,1)内寻找最优值.在赋权时，可以将权重取为递增的等差数列或递增的等比数列，在确定好大概范围后，再精细确定权重的最优取值.

2.2 背景值及时间响应函数的优化

x(1)(t)=GeBt+C

令(x(1)(t))`=BGeBt，得

因此x(1)(t)在区间[k-1,k]上积分就可得到GM(1,1)的背景值为：

(3)

通过(3)式可知，只要得到B和C的值，则能得到背景值z(1)(k)的表达式.

由白化响应式[8]：

(4)

将B的代入方程(1)、(2)并相减得：

(5)

将(4)式和(5)式带入(a)式可得到C值为：

(6)

将B、C的值代入z(1)(k)中，得到重构的背景值为：

且，x(0)(k)≠x(0)(k-1)，k=2,3,...,n.若x(0)(k)=x(0)(k-1)，则此时的背景值与原GM(1,1)模型一致.

其中根据文献[9]可得：

通过上式可以得到GM(1,1)模型的时间响应函数为：

对优化后的结果进行还原：

3 实例验证

3.1 数据的获取

太原市是国务院批复确定的中国中部地区重要的中心城市，是国家历史文化名城，是一座拥有2 500多年建城历史的古都，是“控带山河，距天下之肩背”，“襟四塞之要冲，控五原之都邑”的历史古城，它吸引了来自五湖四海的游客，使得太原市的旅游业蓬勃发展.太原2010—2019年的旅游人数见表1.

表1 2010—2019太原市旅游人数统计表

数据来源：根据《太原统计年鉴》[10]历年数据整理计算

3.2 传统模型的建立和预测

由表1可得到太原市近十年来的旅游人数初始序列：

x(0)=(2 023.32,2 461.88,2 983.89,3 691.33,4 196.51,4 912.48,5 688.12,6 780.95,8 126.20,9 655.80)

对原始数列做累加后生成数列x(1)：

x(1)=(2 033.32,4 485.20,7 469.09,11 160.42,15 356.93,20 269.41,25 957.53,32 738.48,40 864.68,50 520.48)

由此得到：

通过以上计算可得到传统的GM(1.1)模型为

该模型对2010—2019年太原市旅游人数的预测结果见表2.

表2 传统GM(1,1)模型的预测结果

3.3 优化模型的建立和预测

由表1可计算出2010—2019年太原市旅游人数的增长速度，见表3.

表3 2010—2019年太原市旅游人数增长速度表

从表3中还可以得出2013年以后的增长速度明显低于2013年以前的增长速度，因此数据变化规律难以准确把握.若将本文构造的调和变权缓冲算子引进该原始序列，结果见表4.

表4 可变权重不同取值时的2013—2014年预测误差表

通过表4可以得到，随着λ的增大，预测的误差也越来越大，由此取λ=0.01最为合适.

由此，得到了一个新的原始序列：x1(0)=(2 023.32,2 513.72,2 969.20,3 714.27,4 220.37,4 936.73,5 711.59,6 801.20,8 139.09,9 655.80)，利用新的原始序列建立传统的GM(1,1)模型，计算得到时间响应式为：

由该模型得到的预测值及预测误差参见表5.

表5 改进原始序列后的传统GM(1,1)模型预测结果

引进调和变权缓冲算子后计算得到的预测误差为1.282 5%.因此，引进调和缓冲算子可以很好地提高原始序列的光滑度，优化了GM(1,1)模型，提高了预测精度.下面对引进缓冲算子后的GM(1,1)模型进行背景值和时间响应函数的优化，以期得到更加精准的预测结果.通过公式(4)得到：

计算(BTB)-1BTyn得到：

因而得到：

a=-0.165 88，b=2 001.674 9

利用以上计算结果，通过公式(6)计算得到：

进而得到优化后的GM(1,1)模型的时间响应函数为：

将优化后的GM(1,1)模型应用到实际预测中，通过计算得到预测值及预测误差，并将结果见表6.

表6 优化后的GM(1,1)模型预测结果

从表6可知采用优化后的GM(1,1)模型预测得到的平均相对误差为0.969 6%，相比于未优化的GM(1,1)预测得到的平均相对误差1.414 4%，预测精度明显得到了提高，因此对GM(1,1)模型的优化具有实际意义，而优化后的GM(1,1)模型也更适于解决现实中原始数据序列变化平缓的问题.

4 结论

1) GM(1,1)模型是一种对“贫信息，小样本”适用的解决方法，其对一些已经知道的信息进行生成、开发和提取，从看似无规律的数据中找寻潜藏的规律，使其具有独特的研究手段，从而被广泛地应用于实际问题的解决.

2) 在对模型的优化过程中，本文首先从提高原始序列的光滑度开始入手，引进了调和变权缓冲算子，使其作用于原始序列，从而很好地提高了原始序列的光滑度，有利于后续的建模过程.

3) 在对原始序列引进缓冲算子作用后，本文又对传统GM(1,1)模型的背景值进行了指数函数的拟合，使模型本身固有的问题得到了优化，接着对时间响应函数进行了改造，使其更加贴合实际，非常有效地提高了预测的精度.

4) 最后，将优化后的GM(1,1)模型应用于太原市旅游人数的预测研究中，并用现实问题验证了优化后的GM(1,1)模型更具有实用性和精确性，同时也为该领域的预测研究提供了一种新的解决方法.