Dirichlet空间上的复合算子

李金燕，刘 丹

（华南农业大学数学与信息学院，广州 510642）

引 言

近一个世纪以来，函数空间上的算子理论一直是泛函分析的重要研究课题，与数学的许多领域有着密切的联系。在经历了长期的研究后，现已形成一系列非常丰富的理论体系。复合算子是算子理论的重要研究对象，同时，复合算子也架起了解析函数论和算子理论之间的桥梁。对函数空间上复合算子进行研究始于上世纪六十年代，Nordgren［1］最早研究一个固定函数与函数空间上的函数复合。此后，复合算子的研究得到了越来越广泛的关注，如Singh等［2］总结了非解析函数空间上复合算子的研究成果。但是，更多的学者，如Shapiro［3］和Cowen等［4］，关注解析函数空间上的复合算子的研究，得到了一些非常经典的结论。

复合算子以及加权复合算子的研究中，最基本的问题是对作用在不同解析函数空间上的复合算子的可逆性、有界性、紧性、范数以及谱等一系列性质进行刻画。这一领域的研究工作吸引了大量的学者参与，并得到了众多的成果，如单位球上加权复合算子可逆的充要条件［5］、加权Dirichlet空间上的复合算子［6］、广义Fock空间之间的Volterra型复合算子的有界性及其本性范数［7］，从解析函数空间到Zygmund型空间的加权复合算子的算子范数和本性范数［8］，带测度权Dirichlet空间上的复合算子［9］，半平面Hilbert-Hardy空间上的加权复合算子［10］等。

在研究Hardy空间上的复合算子的基本算子性质的时候，最根本的目的在于揭示诱导函数的函数性质与复合算子的算子性质之间的联系。比如，Shapiro［11］利用Nevanlinna计数函数给出了Hardy空间上复合算子本性范数的刻画。然而，Dirichlet空间的很多函数结构理论与Hardy空间的结构可以相对应，且从文献［3-6，10-15］中可知，诱导函数的性质（尤其是不动点与计数型函数）与复合算子的算子理论性质之间有着密切联系。从这些角度，经典Dirichlet空间上复合算子的谱、本性范数和正规性还值得进一步探讨研究。

设D是复平面ℂ上的单位开圆盘，dA是D上正规化的Lebesgue测度，H(D)是定义在D上的解析函数全体。记D是D上的经典Dirichlet空间。对于任意的α∈ℝ，加权Dirichlet空间Dα定义为：

其中，D(a,δ)是拟双曲圆盘。

当α=0时，τφ,α(w)=nφ(w)是φ的经典计数函数nφ(w)，即{z|φ(z)=w}的基数。

为了研究Dα(-1<α<1)上复合算子的有界性和紧性，上述定理给出了计数函数的均值刻画。特别地，对于在经典Dirichlet空间上复合算子的有界性和紧性，该定理同样给出了计数函数的均值刻画。然而，Zorboska虽表示有更好的逐点特征，却没有给出相关的研究结果。

nφ,α(w)的次平均值性是证明加权Dirichlet空间Dα上复合算子有界性和紧性的关键。但是Jordi等在研究中并没有对α=0的情况进行讨论。

就Hardy空间而言，Lotto［13］研究表明H2上的紧复合算子在H2中不满足Hilbert-Schmidt，这实际上也说明了，Dα上的复合算子在Dα中不满足Hilbert-Schmidt。另外，Akeroydis［14］发现Dα上的一个紧复合算子，不属于Dα中的任何Schatten理想S p。在Dirichlet空间上，也有一些有趣的结果［16-20］，如Wang等［16-17］得到了D上复合算子Fredholm性的等价刻画，并对这类算子的谱进行了研究，讨论了D上复合算子及其代数的循环性，王茂发等［18］刻画了紧加权复合算子的谱。

为了更深入地探讨Dirichlet空间上复合算子的性质，从不同角度对经典Dirichlet空间上紧复合算子的性质进行研究，并计算它的谱。此外，对D上的有界复合算子的范数和本性范数进行估计，并给出D上有界复合算子正规性的等价刻画。

1 紧复合算子

定理3 设φ是单位圆盘D上的解析自映射，若复合算子Cφ是D上的紧算子，则φ在D内至少存在一个不动点。

2 Cφ的本性范数和正规性

定理5设φ是单位圆盘D上的解析自映射，且使得Cφ是D上的有界算子，则

3 结论