基于高斯牛顿算法的媒质宽带电磁参数数值拟合

空军预警学院 王骏哲 陈柯宇 张俊哲 张丰

高斯迭代法是非线性回归模型中求回归参数进行最小二乘的一种迭代算法。将测得的人的血液的介电特性的实验数据用Hurt建立的二阶Debye模型进行拟合,发挥最小二乘法良好的拟合特性和高斯牛顿迭代法较快的收敛速度,采用最小二乘法——高斯牛顿迭代法,求解模型中的未知参数并验证拟合效果。本文证明了该算法的可行性。结果可以帮助人们预测1MHz～10GHz频率范围内重要生物组织的介电特性,有利于人们对介电常数和电导率进行分析和利用,为生物以及医疗行业做作出献。

0 引言

介电特性是电介质固有的一种物理属性,可表示电介质储存电场的能力,电导率即为电阻的倒数,在生态学中,电导率表示溶液传递电流的能力,从而反映出组织溶液中存在电解质程度的多少。电导率与粒子的种类有关,故在不同的人体组织器官中,电导率也有较大差异。介电常数的虚部有关系,电导率越大则虚部的损耗也越大。目前现有的对于生物组织介电特性数学模型的研究较少,对人体的介电特性差异进行研究分析,有利于推导出整个人体组织的变化特性。本研究以人体血液组织介电特性实验测量数据为基础,使用二阶Debye模型对人体血液、的介电谱进行曲线拟合,使其能描述低频段已有实验数据的介电特性,并能对高频段介电特性进行预测。

1 相关工作

在生物电介质特性的理论研究中,已经有许多科学家对电介质光谱的数学特性进行了描述。其中最为经典的是Debye模型和Cole-Cole模型。Debye模型是由Debye建立的极性液体介电特性的驰豫理论通过理论分析所建立的模型,它给出了作为角频率ω函数与复相对介电常数ε的表达式:

Hurt对肌肉的介电谱进行了建模,得出了五个德拜分散区域的总和,此外还有一个电导项。它的表达式为:

Debye模型虽能大致描绘出介电特性的变化特性,但是其也有不足之处。生物材料的结构和组成的复杂性使得每一个色散区域都可能因对其的多重影响而扩大。相当一部分的实验表明,Debye模型并不能完全准确的描述出复介电常数与频率之间的关系。通过引入分布参数,KS cole与RH cole提出经验公式,建立了Cole-Cole模型,从经验上解释了色散区域的扩大。它的表达式为:

加布里埃尔在10～100GHz的频率范围内建立了人体组织介电特性的一个四阶的Cole-Cole模型,使得组织的光谱可以被更适当地描述多个Cole-Cole分散体。该Cole-Cole模型的表达式为:

通过选择适合各个组织合适的参数,可以用来预测所需频率范围内的介电特性。

在太赫兹频带生物组织的介电特性的研究受实验条件约束,高频率带的介电性能在许多生物组织中仍然是未知的[1]。生物组织的介电特性在低频率范围内的研究有大量的实验数据,由于人体的体温基本恒定37℃,而且体内成分趋于稳定。本文主要研究二阶Debye原始模型。选取血液的实验数据进行拟合。

2 算法设计

2.1 算法流程设计

首先选取初始值。列出所求模型表达式中的未知参数,提出假设初始值。并在课题中验证合适的初始值取值范围。接着建立雅各比矩阵。初始值为2m×n的标准0矩阵。矩阵值将在迭代中进行改变。建立两个2m×1的初始化零矩阵作为残差矩阵,一个在迭代中用来进行运算,另一个用来存储数据,通过每一次迭代这两个矩阵也会进行更新。最后开始迭代,设定迭代条件,列出残差矩阵的迭代求和然后对之前建立的雅各比矩阵进行赋值,将矩阵中的参数直接带入模型中,计算实验实际值与模型计算值的差值,之后对残差矩阵进行赋值,残差矩阵前四行为实部的差值,后四行为虚部的差值。运用上文中所得出的结论进行计算,即可完成一次迭代,需要注意的是,在实际计算中,迭代的值常因过大而跑出收敛区域,故进行成倍数缩小是很有必要的,但是缩小倍数过大也有可能会造成迭代次数产生的效果不明显等情况,在实际运算中应当根据结果来对缩放倍数进行调整。算法的流程框图如图1所示。

图1 算法流程框图Fig.1 Arithmetic flow chart

2.2 数据介绍

查阅资料[2]本文选取选取血液实验测量数据如图2所示。其中上方曲线为介电常数,下方曲线为电导率。使用高斯牛顿迭代法在Matlab环境下进行编程拟合,建立人体血液拟合参数。并对结果进行分析,将已知的介电常数

图2 血液介电特性曲线Fig.2 Dielectric properties of blood

和电导率实验数据带入模型进行比对,从而验证所得参数是否准确,并分析平均误差。

3 实验结果及分析

通过改变参数进行多次实验数值拟合,整理数据并观察拟合曲线效果[3]。得出以下结论。当初始值选取点数多,拟合次数多,缩放倍数合适,初始值选取在合理区间时,拟合效果较好。拟合曲线与初始值的误差平均在10%左右。最终得到拟合结果如图3所示。可以看出,拟合曲线与实际数值参数大体吻合。

图3 血液介电特性拟合曲线Fig.3 Fit dielectric properties of blood

同时对人体大脑白质与大脑灰质的介电常数和电导率查阅资料并进行数值拟合[4]。得到的拟合曲线也可以反映出其变化规律,平均误差在15%左右,证明了该算法的可行性。

4 结语

通过本文的研究,证明了最小二乘法——高斯牛顿迭代法在数值模拟计算中是比较适合的。它具有结果准确,且收敛速度快的特点。这种方法可以大致上做到拟合人体组织的介电特性曲线,通过一定数量的实验数据以及科学家所做出的数学模型,即可求出模型中的未知参数,这对于建立媒质宽带电磁参数数学模型有重要的意义。可以有利于人们对无法测量频率的数据进行预测,更可以用来进行更加深层次的研究[5]。除了人体组织介电特性,此种方法也可以对其他研究内容起到一定的作用。

引用

[1] 彭艳,逯迈,陈小强,等.基于修正四阶Cole-Cole模型的太赫兹波段生物组织介电特性估算方法探索[J].中国生物医学工程学报,2015,34(2):243-247.

[2] 王力,马青,陈林,等.人血液介电谱Cole-Cole数学模型的解析[J].中国生物医学工程学报,2010,29(2):253-258.

[3] 李亚鹏.随年龄变化的生物组织介电特性的数值模拟与研究[D].兰州:兰州交通大学,2016.

[4] Mai Lu,Shoogo Ueno.Comparison of Specific Absorption Rate Induced in Brain Tissues of a Child and an Adult Using Mobile Phone[J].Journal of Applied Physics,2012(57):2103-2116.

[5] 朱建波,史学涛,尤富生,等.生物组织活性与介电性关系的探索研究[J].医疗卫生装备,2013,34(1):1-3.