基于循环谱的改进型二进制CPM信号符号速率估计*

王 旭，王春燕，王文静，魏国华

(1.北京理工大学 信息与电子学院，北京 100081;2.上海无线电设备研究所,上海 201109)

0 引 言

通信对抗领域中采用的数字调制类别主要有连续相位调制连续相位调制(Continuous Phase Modulation,CPM)和非连续相位调制[1-2]。其中，CPM信号的调制特性会受到多个调制参数的影响，主要包括成形滤波器形状、相关长度、调制指数等，不同的参数组合会调制出具有不同特性的CPM信号。因此，在没有任何先验知识的情况下，CPM信号的符号速率盲估计问题一直是该领域的研究热点。针对该问题，目前已提出的算法主要可分为两类。第一类是分析码元交替时的信号奇异点，通过自相关运算或小波变换提取信号瞬时相位跳变点，进而完成对符号速率的估计。后来又相继提出了一些改进算法[3-5]。但是，小波变换的多尺度盲点等问题导致该类算法存在抗噪声性能较差且时间复杂度和空间复杂度都较高的缺点。第二类以循环平稳理论为基础[6]，该类算法均表现出优异的抗噪能力。其中文献[7]提出了调制指数、载波频偏和符号速率的参数联合估计算法，直接利用三维搜索得到参数的估计结果，但是在搜索精度要求高时，该算法的复杂度较高且计算量大，实时性无法保证。继而，文献[8-9]提出利用循环谱不同截面上离散谱线与调制参数的关系，只对符号速率进行估计，避免了三维搜索，有效降低了算法的计算量和复杂度。但是，该类算法的符号速率估计精度会严重受限于离散傅里叶变换(Discrete Fourier Transform，DFT)产生的栅栏效应，有待进一步改进。

基于此，本文针对二进制CPM信号，摒弃传统双侧频移的循环谱计算思路，提出了一种基于单侧频移的循环谱计算方法，同时利用符号速率的粗估结果降低计算量，最后联合谱峰搜索结果和其左右两侧相邻谱线进行循环谱内插，进一步提高估计精度。理论分析及仿真验证了该算法的有效性。

1 二进制CPM信号模型

发射端二进制CPM信号的表达式定义[5]为

s(t,∂)=Acos(2πf0t+φ(t,∂)+φ0)。

(1)

(2)

式中:hi为调制指数，以下讨论hi取固定值时的情况；g(τ)为脉冲成形时域响应函数。常用的脉冲成形滤波器有矩形滤波器(Rectangular filter，REC)，高斯滤波器(Gaussian filter，Gauss)，以及根升余弦滤波器(Square Root Raised Cosine filter，SRRC)，其时域相位响应函数可统一表示为

(3)

式中:L为相位约束长度，当L=1时，称为全响应CPM信号；当L>1时，称为部分响应CPM信号。

由式(1)可得CPM信号的瞬时相位为

ϑ(t)=2πf0t+φ(t,∂)+φ0。

(4)

由式(2)和式(4)可简单推导出信号的瞬时频率为

(5)

由此可见，CPM信号的瞬时相位、瞬时频率与多个调制参数相关。

不失一般性，假设经过一个加性高斯白噪声信道，且发射端相对于未知接收机运动，则未知接收信号可表示为

x(t)=s(t-τ,∂)+n(t)=

ABcos(2π(fd(t)+Δf)t+

φ(t-τB,∂)+φB)+n(t)。

(6)

式中：AB为未知接收信号的幅度，τB为信号空间传播时延，φB为接收信号经本地混频后的信号初相，Δf是由收发双方的本地振荡器频率不一致引入的载波频差，fd(t)是由于收发双方存在径向运动而引入的时变多普勒频率，n(t)是加性高斯白噪声。同时，认为观测信号在观测时隙内满足短时平稳假设，即在观测时隙内fd(t)保持不变，未知接收信号可简化为具有固定载频的二进制CPM信号。

2 符号速率估计

2.1 CPM信号的循环平稳特性

自Gardner在文献[6]中提出谱相关的概念以来，至今已逐步建立并不断完善了谱相关理论[10-13]。谱相关理论在利用循环平稳信号的隐含周期性做参数检测的同时，又恰好利用了白噪声的非相关性来抑制噪声，因此谱相关法具有良好的抗噪声性能。

假设未知接收的二进制CPM信号为二阶连续非平稳的实值随机信号[12]，记为x(t)，则其时变自相关函数和循环自相关函数为

Rx(t,τ0)=E{x(t+τ0/2)x(t-τ0/2)} ，

(7)

(8)

式中:α为循环频率，T为信号x(t)的隐含周期，E{·}表示求期望。对式(8)中的自相关延时参数τ0做傅里叶变换可得信号x(t)的循环谱函数[14]为

(9)

文献[12]以二进制带通CPM信号为例，理论推导了调制指数为整数、半整数以及其他情况时的循环谱表达式，并结合理论分析和仿真分别给出了信号的(f,α)双循环谱平面、f=0的α截面以及f=fc的α截面上离散谱线与信号载波fc、符号周期T0的关系。其中，调制参数T0的周期性主要体现在循环谱载波截面处，也即是CPM信号的f=fc的载波截面上，将会在α=K/T0(K取整数)处出现明显的离散谱线，而在其他地方取值较小或者为零，且能量主要聚集在α=±1/T0(一倍码速率)处的离散谱线。此外，文献[9]表明，当载波估计的相对误差不大于实际符号速率的1/20时，载波截面循环谱形状不会发生明显变化，且不会对符号速率的估计精度产生明显影响。

基于文献[12]和文献[9]中的结论，考虑在调制指数h、相位约束长度L、成形滤波器形状均未知的情况下，本文选定计算二进制CPM信号的载波截面循环谱，通过搜索f=fc的α截面上α=±1/T0附近取值最大的离散谱线，进而得到符号速率估计。

2.2 符号速率估计原理

本小节以离散采样信号为例，详细阐述本文所提算法的原理及具体实现。假设未知接收的二进制CPM信号的采样点数为N(0≤t

y(n)=x(nTs)=s(nTs,∂)+n(nTs)，n=1,2,…,N。

(10)

利用快速傅里叶变换(Fast Fourier Transform，FFT)对y(n)做谱分析：

(11)

Y′(k)=‖Y(k)‖。

(12)

离散频域平滑法是计算循环谱的常用方法，其循环谱分析精度由循环谱分析单元(Cyclic Spectrum Analyzer，CSA)的长度决定。传统双侧频移法[9-10]选定2Fs为频移间隔计算循环谱：

(13)

式中:M为平滑点数，k、m分别为传统频率f、循环频率α归一化数字频率，实际应用中均取离散整数。由公式(13)确定的循环频率离散取值为α=2m/NTs，对应栅栏效应的缝隙间隔为2/NTs。可见，相较于DFT谱分析对应栅栏效应的缝隙间隔，传统双侧频移法计算得到的循环谱分析精度下降了一半，有望进一步改进。因此，本文提出选定CSA为Fs进行单侧频移，对应的循环谱计算公式为

(14)

分析可得，公式(14)确定的循环频率离散取值为α=m/NTs，对应栅栏效应的缝隙间隔为1/NTs。显然，与传统的双侧频域平滑算法相比，本文算法计算得到的循环谱分析精度提高了一倍，表现为栅栏效应的缝隙间隔缩小至原来的1/2，与DFT谱分析对应栅栏效应的缝隙间隔相同。

(15)

由式(15)可以看出，循环谱本质上是在对信号的频谱进行一定间隔的搬移后再求互相关。由于实际工程中是对有限长数据进行处理，频率搬移的最小间隔会受到DFT栅栏效应的影响。针对该问题，本文提出利用内插法对循环谱的谱峰搜索结果进行校正，以此来降低DFT栅栏效应对符号速率估计精度的影响。

结合循环谱特性的相关研究文献来看，与式(15)相对应的循环谱幅度的解析表达式很难得出，可以将本文中的谱峰位置搜索问题简化为一维参数估计问题，抛物线内插法又恰好是处理该类问题得到优于网格精度的常用方法[14]。因此本文采用抛物线曲线拟合的方法对谱峰附近的循环谱进行近似细化，进而对谱峰搜索结果进行校正。假定循环谱峰值主瓣内的谱线幅度满足抛物线的一般式：

f(α)=c2α2+c1α+c0。

(16)

因此，利用最小二乘法进行抛物线拟合的优化函数为

(17)

其中，

利用式(17)的拟合结果和抛物线性质，得到校正后峰值对应的正循环频率α+：

(18)

(19)

2.3 算法流程及计算量分析

根据2.2节的内容，基于循环谱及内插法的二进制CPM信号符号速率盲估计算法的具体步骤如下：

Step2 带通滤波处理。利用Step 1得到的载频和信号带宽的粗略估计结果设计带通滤波器，主要目的是滤除带外噪声，提高信号质量。

Step3 采用单侧频移平滑法提高循环谱分析精度，使栅栏效应的缝隙间隔缩小至原来的1/2，依据式(15)计算载波截面循环谱。

Step4 谱线提取。分别提取载波截面循环谱搜索区间内的正负循环频率峰值点(离散谱线)，由此得到的符号速率估计结果需再经过Step 5进一步提高精度。

依据算法流程，对本文算法的计算量进行分析。利用式(11)计算N点FFT所需实数乘法次数为Nlb(N)；利用式(15)考虑计算载波截面完整循环谱的情况，所需实数乘法次数最多为(4M+4)N，M为平滑点数；假定选取2d+1根谱线利用式(17)进行内插，将抛物线拟合的最小二乘问题转化为线性方程组求解问题，所需实数乘法次数为22(2d+1)+48。这说明内插法引入的计算量低，利于实时实现。结合以上分析，本文算法所需实数乘法次数为CM0=Nlb(N)+(4M+4)N+22(2d+1)+48，而基于双侧频域平滑的传统循环谱法[9]所需实数乘法次数为CM1=Nlb(N)+4N2，可见本文算法的计算量没有明显增加。

3 仿真及性能分析

为验证本文所提算法的性能，分别选取文献[5]中基于频率脊线提取的小波变换法(Frequency Ridges Extraction，FRE)和文献[9]中基于双侧频域平滑的传统循环谱法(Traditional-Cyclic Correlation Spectrum，T-ccs)作对比。除特别说明之外，仿真实验的部分参数为，采样率fs=16 MHz，符号速率R0=0.2 Mb/s，载频fc=4 MHz，观测数据点数N=8 192，约100个符号数。

针对二进制CPM信号，下面通过仿真说明所提算法在不同信噪比及调制参数条件下的性能，并验证内插法对抑制DFT栅栏效应的有效性。符号速率估计的归一化均方误差(Normalized Mean Square Error，NMSE)均以500次蒙特卡洛仿真实验的统计结果为准。

(20)

式中：C为蒙特卡洛仿真次数。

3.1 信噪比及调制参数对算法的影响

表1 仿真参数

按照仿真条件1进行仿真，算法性能曲线如图1所示。从图1中可以看出，当SNR<-3 dB时，三种算法对应的NMSE曲线基本一致；但当SNR≥-3 dB时，本文所提算法的性能明显优于其他算法；此外，随着信噪比的增大，本文所提算法的性能持续提升至10-7，而FRE算法和T-ccs算法的性能曲线稳定于10-5。这是由于该条件下栅栏效应成为了限制符号速率估计精度的主要因素，而本文所提算法结合内插法削弱了栅栏效应，所以相比于其他算法具有更优的估计性能。

图1 信噪比对算法性能的影响

按照表1所列的仿真条件2进行仿真，图2给出了不同调制参数条件下的算法性能曲线。由图2可见，随着相位约束长度L增大，三种算法的性能都会衰退。这是由于成形脉冲的积分区间变长，不利于符号速率的识别；同时，随着调制指数的增大，三种算法的性能持续提升；特别地，当调制指数h≥10/16时，本文算法的性能提升至10-6，而FRE算法和T-ccs算法的性能仅提升至10-4。实验结果表明，针对不同相位约束长度、不同调制指数的二进制CPM信号，本文所提算法的性能均优于其他算法。

图2 L、h对算法性能的影响

为了验证符号过采样率对算法性能的影响，按照表1所列的给定的符号速率取值范围进行仿真实验，其中过采样率r=[fs/R0]，仿真结果如图3所示。可见，在过采样率r<6时，只有FRE算法性能表现出明显的恶化，而本文算法和T-ccs算法均表现出很好的稳健性，由此可知本文算法在采样率一定的条件下可以正确估计出具有较大带宽动态范围的二进制CPM信号的符号速率；随着过采样率不断增大，三种算法对应的NMSE逐渐增大，这是由于仿真实验的采样点数不变，符号速率减小则相应的符号数量减小，表明数据量的大小也会对算法性能产生一定的影响；在不同过采样率条件下，本文算法性能均优于其他算法。

图3 符号过采样率对算法性能的影响

最后，为方便分析验证滤波器形状对本文算法性能的影响，此处引入信噪峰值比[15]的概念。由于该类算法是通过识别离散谱线完成对CPM信号的符号速率估计，所以离散谱线峰值与噪声的幅度比值越大就越容易辨识出符号速率。依照表1所列的仿真条件4进行仿真，图4给出了三种不同成形滤波器条件下的仿真结果。可见，一方面，随着信噪比的增大，离散谱线的峰值比增大；另一方面，在相同仿真条件下，T-ccs算法与本文算法计算得到的循环谱对应的离散谱线峰值比略有不同，但未见明显恶化。由此表明本文算法针对不同的滤波器形状表现出良好的稳健性，可用于实现二进制CPM信号的符号速率盲估计。

图4 成形滤波器形状对算法性能的影响

3.2 DFT栅栏效应对算法的影响

结合3.1节的仿真结果来看，SNR=5 dB时T-ccs算法和本文算法的性能稳定，此时符号速率的估计误差主要受限于栅栏效应。本小节以T-ccs算法为对比，探究不同符号速率、不同符号数量条件下本文算法对FFT栅栏效应的抑制作用，具体仿真条件见表1中的条件5和条件6。

图5给出了仿真条件5和仿真条件6的仿真结果。由图可见，一方面，由于DFT的栅栏效应，相较于T-ccs算法，本文算法在未经谱峰校正之前，符号速率估计的NMSE随符号速率变化同样存在着规律性的起伏，但前者的NMSE性能曲线起伏周期约2 kb/s，后者约为1 kb/s，显然本文所提算法结合单侧频移法计算循环谱，提高了循环谱的分析精度，将栅栏效应的缝隙间隔缩小至原来的1/2，验证了2.2节的理论分析；另一方面，在相同条件下，在采用了内插法对谱峰搜索结果进行校正后，NMSE性能曲线随符号速率变化的起伏明显变弱，证明本文算法有效抑制了DFT栅栏效应对符号速率估计精度的影响。总之，针对不同符号速率、不同符号数量的情况，相较于T-ccs算法，本文算法估计性能更为稳定，具有更高的估计精度，这与第2节所得结论一致。

(a)0.2 Mb/s符号速率

(b)2 Mb/s符号速率图5 不同符号速率时栅栏效应对算法性能的影响

4 结束语

本文针对二进制CPM信号提出了一种改进型的联合循环谱和内插法的符号速率估计算法。在相同条件下，通过选定CSA为Fs进行单侧频移平滑计算循环谱，相较于循环谱的传统计算方法，该方法可提高循环谱的分析精度，将栅栏效应的缝隙间隔缩小至原来的1/2。此外，本文算法结合抛物线内插法对谱峰搜索结果进行校正，以增加较少计算量为代价换取了符号速率估计精度的大幅提高。理论分析与仿真结果一致，验证了该算法具有很好的抗噪性和鲁棒性，以及更高的估计精度。这对通信对抗等非合作接收的实际工程应用具有重要的意义。后续建议结合多进制CPM信号的循环谱特征与其他高阶内插法对非合作接收的CPM信号符号速率盲估计问题展开研究。