一类奇异积分算子与BESOV函数生成的交换子的有界性

胡鑫娜，孙杰

摘要：讨论一类奇异积分算子与Besov函数生成的交换子从Lebesgue到Triebel-Lizorkin空间及在Lebesgue空间上的有界性.

关键词：Triebel-Lizorkin空间;Besov函数;交换子;极大函数

[中图分类号]O 174.2[文献标志码]A

Boundedness for Commutators of a Type of Singular Integral

Operators and Besov function

HU Xinna，SUN Jie

（College of Mathematical Science;Mudanjiang Normal University，Mudanjiang 157011，China）

Abstract：In this paper，we discuss the commutator generated by a type of singular integral operators and Besov function is bounded from Lebesgue spaces to Triebel-Lizorkin spaces and to Lebesgue spaces.

Key words：Triebel-Lizorkin spaces;Besov function;commutator;the Maximal function

算子理论是调和分析的核心内容，证明奇异积分算子与适当函数生成的交换子的有界性问题是算子理论研究的重要内容.1976年Coifman，Rochberg和Weiss首次介绍了经典奇异积分算子T与局部可积函数b生成的交换子[b，T][1]，证明了奇异积分算子T与BMO函数生成的交换子有界.自此之后，交换子的问题得到了广泛关注，取得了很多研究结果.[2-3]本文讨论一类奇异积分算子与Besov函数生成的交换子从Ld到Fβ-n/p，∞d及Ld到Lr有界的问题.

1预备知识

2003年Trujillo-González在参考文献[4]中介绍了核满足如下条件的奇异积分算子

定义1[4]设K∈L2（Rn）.若C0>0使

（1）‖K︿‖∞≤C0;（2）|K（x）|≤C0|x|n;（3）存在函数B1，…，Bm∈L1locRn＼{0}和Rn中的一族有界函数Φ={1，…，m}且detj（yi）2∈RH∞（Rnm）;（4）对固定的γ>0及|x|>2|y|>0，有K（x-y）-∑mj=1Bj（x）j（y）≤C0|y|γ|x-y|n+γ，对f∈C∞c（Rn），定义Tf（x）=∫RnK（x-y）f（y）dy.

当m=1，j（y）=1，Bj（x）=K（x）时，上面定义中的算子是经典的奇异积分算子.

定义1中的奇异积分算子与Besov函数生成的交换子定义为

Tbf（x）=[b，T]f（x）=b（x）Tf（x）-T（bf）（x）.

引理1[5]设1≤p≤∞.T是定义1的算子，则存在C>0，f∈Lp（Rn），有‖Tf‖p≤C‖f‖p，其中C与f无关.

引理2（i）当1

（ii）對任意1≤s

引理3[6]设f∈Lp（Rn），当1

supQ1Q1+β/n-1/p∫Qb-bQdy≤supQ1Qβ/n+1/q-1/p∫Qb-bQqdy1/q≤Cb∧·p，qβ.

2结果与证明

2.1奇异积分算子交换子Tb是从Ld到Fβ-n/p，∞d有界的

定义1所定义的一类奇异积分算子是具有标准核奇异积分算子的推广，故得到的结论对具有标准核的奇异积分算子的交换子也是成立的.

定理1设22qq-2，Bj（x）∈Lq′locRn＼{0}，j=1，2，…，m，则Tb是从Ld到F·β-n/p，∞d有界的.

证明固定方体Q=Q（xQ，s）.对于f∈C∞c（Rn），令f=f1+f2，其中f1=fχ2af2=f-f1.由Tbf=Tb-bQf.令A=∑mj=1Cjj-（y-xQ），Cj是待定常数j=1，2，…，m.有

∫QTbf（y）-（Tbf）Qdy≤2∫Qb（y）-bQTf（y）dy+2∫QT（b-bQ）f1（y）dy+

2∫QT（b-bQ）f2（y）-Ady∶=J1+J2+J3.

现估计J1，由Ho··lder不等式及引理4得到

J1≤2∫Qb（y）-bQqdy1q∫QTf（y）qq-1dyq-1q≤CQ1+βn-1qb∧·p，qβMqq-1（Tf）（x）.

再估计J2，当21，由引理1及Ho··lder不等式，有

J2≤CT（b-bQ）f12Q12≤C（b-bQ）f12Q12≤CQ1+βn-1pb∧·p，qβM2qq-2（f）（x）.

最后估计J3，由于b-b2Q≤1Q∫Qb（y）-b2Qdy≤C2Qβn-1pb∧·p，qβ，

那么可以得到b2kQ-bQ≤Ck2kQβn-1pb∧·p，qβ.

令Cj=∫Rnf2（y）Bj-（y-xQ）b（y）-bQdy.j=1，2，…，m.证明Cj有限.由f∈C∞c（Rn），设suppfQ0=（xQ，d），d>0.存在方体Q*，中心为xQ，使suppf∪2QQ*.Bj（x）∈Lq′locRn＼{0}，j=1，2，…，m，根据引理4，由Ho··lder不等式有

|Cj|≤∫Q*＼2Qf2（y）Bj-（y-xQ）b（y）-b2Qdy<∞.

由z∈（2Q）c，y∈Q，则|y-z|～|z-xQ|有

J3≤2∫Q∫（2Q）cK（y-z）-∑mj=1Bj（xQ-z）j（xQ-y）b（z）-bQf（z）dzdy.

由定义1中条件（4）可以得到J3≤C∫Q∫（2Q）c（xQ-z）-（y-z）γy-zn+γb（z）-bQf（z）dzdy.

插项有J3≤C|Q|∑∞k=2∫2kQ＼2k-1Q2-ky2kQ-1b（z）-bQ+b2kQ-b2kQf（z）dz.

再由引理4得到J3≤CQ1+βn-1pb∧·p，qβ∑∞k=22k（-γ+β-npMq′（f）（x）+∑∞k=22k（-γ+β-npkM（f）（x）.

最后当0<β-np

J3≤CQ1+βn-1pb∧·p，qβMq′（f）（x）+M（f）（x）.

综上，由于d>2qq-2以及22qq-2>qq-1=q′.且0<β<1，由引理2得

TbfF·β-np，∞d≤Cb∧·p，qβfd.

定理1得证.

2.2Tb是Ld到Lr有界的

证明满足定义1中条件（1）到（4）的一类奇异积分算子的交换子Tb是Ld到Lr有界的，即在Lebesgue空间上的有界性.

定理2设0<β<1，1

证明利用变量替换，有

Tbf（x）≤∫Rnb（x）-b（x-t）K（t）f（x-t）dt≤C0∫Rnb（x）-b（x-t）tnq+βf（x-t）t1-nq-βdt.考虑Tbf的Lr范数

Tbfr≤C∫Rn∫Rnb（x）-b（x-t）tnq+βf（x-t）t1-nq-βdtrdx1r∶=S1.

q>1，对变量t用Ho··lder不等式

S1≤C∫Rn∫Rnb（x）-b（x-t）qtn+q βdtrq∫Rnf（x-t）tn-nq-βqq-1dtr（q-1）qdx1r.

由于pr>1再对x用Ho··lder不等式

S1≤C∫Rn∫Rnb（x）-b（x-t）qtn+q βdtpqdx1p∫Rnf（x-t）qq-1tn-q βq-1dt（q-1）prq（p-r）dxp-rpr.

应用广义Minkowski不等式有

S1≤Cb∧·p，qβ∫Rn∫Rnf（x-t）qq-1tn-q βq-1dt（q-1）prq（p-r）dxp-rpr.

令α=q βq-1，取g=fqq-1，由1r=1d-βn+1p和qq-1

S1≤Cb∧·p，qβgq-1qd（q-1）q≤Cb∧·p，qβfd.

定理2得证.

3結论

本文讨论了一类奇异积分算子与Besov函数生成的交换子从Lebesgue到Triebel-Lizorkin空间及在Lebesgue空间上的有界性问题，推广了经典奇异积分算子交换子的相关结果，对后续交换子的研究具有一定的推动作用.

参考文献

[1]Coifman R.，Rochberg R.and Weiss G..Facorization theorems for Hardy spaces in several variables[J].Ann of Math.，1976，103（3）：611-635.

[2]Paluszyński M..Characterization of the Besov spaces via the commutator operator of Coifman，Rochberg and Weiss[J].Indiana Univ.Math.J.，1995，44：1-17.

[3]孙杰.Hardy算子与加权BMO函数生成交换子的加权估计[J].牡丹江师范学院学报：自然科学版，2019（4）：15-18.

[4]Trujillo-González R..Weighted norm inequalities for singular integrals operators satisfying a variant of Hormander condition[J].Comment Math.Univ.Carolin.，2003，44（1）：137-152.

[5]Grubb D.J.，Moore C.N..A variant Hormander's condition for singular integrals[J].Colloq.Math.，1997，73（2）：165-172.

[6]Gao X.L.，Ma B.L..The boundedness of commutators of singular integral operators with Besov functions[J].Scientific Horizon，2010，8（3）：245-252.

[7]周民强.调和分析讲义[M].北京大学出版社，2003，67-71.

编辑：琳莉