近十年高考立体几何试题直观想象素养考查研究:表现及趋势*

葛丽婷 郭玉峰 郎春雨

(1.杭州市杭州中学 310002；2.北京师范大学数学科学学院 100875；3.清华大学附属中学 100084)

1 问题提出

随着《普通高中数学课程标准(2017年版)》(下称《课标(2017年版)》)提出了直观想象素养等六大学科核心素养，2020年初颁布的《中国高考评价体系》对高考试题考查学科核心素养提出了要求.[1]高考数学试题作为高考评价的重要载体之一，也是对学生数学学科核心素养进行考查的重要载体.基于核心素养对高考试题进行分析和评价，有助于学科核心素养在高考试题中的落实和完善.

现有很多研究从定性[2, 3]或者定量[4-6]角度对某一年高考试题中的六大核心素养进行分析.有关直观想象素养的研究包括课堂教学[7,8]、教材习题[9, 10]，以及定性分析高考试题中考查直观想象素养所借助的数学问题背景和数学模型[11]等，但是对于新课标提出前、后直观想象素养的考查趋势、具体表现形式的考查等是需进一步探讨的.同时，无论从课标层面，还是从教学层面，立体几何都与直观想象有着密切的联系.[12-15]因此，本研究以2010—2019年高考数学试题中的立体几何为例，定性和定量分析近十年直观想象素养各具体表现形式及其水平考查情况，分析新课标提出前后近十年来从考查空间想象、几何直观等关键能力向考查直观想象素养的转变，以期对数学高考试题的命制以及教学实践中的落实提供一定借鉴.

2 研究设计

2.1 试题分析框架的确定

本研究试题分析框架的确立，主要基于《课标(2017年版)》中直观想象素养的内涵、具体表现形式以及水平划分的表述.借助几何直观和空间想象感知事物的形态和变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题，[12]根据这一内涵表述，结合直观想象素养的四个具体表现以及三个水平划分，[12]构建了本研究的试题分析框架，见表1.考虑到水平三面向自主招生考试，表1只选取了水平一、二.

2.2 试题编码

2.2.1 对试题的量化计数

第一步，试题划分.按照试题分析框架，用A、B、C、D依次分别表示“利用几何图形描述问题”、“借助几何直观理解和分析问题”、“运用空间想象认识事物”和“建立形与数的联系构建直观模型”四个表现，其中每个表现对应的水平一分别表示为A-1,B-1，C-1，D-1，对应的水平二分别表示为A-2,B-2,C-2,D-2.

第二步，量化计数.结合试题划分，采用小题计数的方法统计2010—2019年高考试题中的立体几何题目的数量.其中考查形式包括选择题、填空题、解答题，解答题中会有2-3个小题，每一小题都记为一道题，共计846题.

2.2.2 对直观想象素养考查情况的量化

借鉴已有文献[9,10,18]，本研究对高考试题中直观想象素养具体表现形式的考查，是对每一年高考试题中所有的立体几何试题进行统计分析，计算得出每一年考查各具体表现形式的试题百分比，从而初步得出对直观想象素养各具体表现形式考查的侧重点.并且，用各具体表现形式考查水

表1 试题分析框架

图1 试题量化过程注：①中Li(i=1,2,3,4) 依次分别表示“利用几何图形描述问题”、“借助几何直观理解和分析问题”、“运用空间想象认识事物”和“建立形与数的联系构建直模型”四个表现上的取值； Lij(i=1,2,3,4)为第i个具体表现形式的第j个水平的权重(根据水平考查情况分别取值1，2，3)；nij则表示这一年(各省)高考试题中的属于第i个具体表现.

图2 2010—2019年立体几何试题在直观想象素养的各具体表现形式上的数量百分比

平的加权平均来衡量试题对直观想象素养各具体表现形式的考查程度，具体步骤如图1所示.

在量化过程中，计算的加权平均值不一定为整数，因此不易与赋值的水平一和水平二进行一一对应.本研究将各计算结果分类如下：

①当水平值为1时，说明无考查；

②当水平值为在1和1.5之间时，说明几乎无考查，考查程度极低；

③当水平值在1.5和2.5(含1.5，不含2.5)之间时，考查程度一般；

④当水平值在2.5和3(含2.5，也含3)之间时，考查程度较高.

为了更加明确一整道试题对直观想象素养具体考查水平情况，本研究将各个具体表现形式的水平值之和衡量试题的综合水平值，从而进一步得出一道试题对直观想象素养的具体考查水平.若存在一个成分的多个水平，则选择最高水平值进行求和.当考查水平值总和处于4-9时，说明大部分试题对直观想象素养的考查水平主要处于水平一，题目主要为基础题，属于中等水平.当试题的水平值为10—11时，说明试题主要为综合题，对直观想象素养的考查水平主要处于水平二.

3 数据结果分析

3.1 2010年—2019年试题对直观想象素养各具体表现形式考查情况

3.1.1 直观想象素养各具体表现形式的试题考查数量

从纵向看，近十年绝大多数年份的高考立体几何试题对直观想象素养各具体表现形式考查的数量规律是：借助几何直观理解和分析问题>建立形与数的联系构建直观模型>运用空间想象认识事物>利用几何图形描述问题(具体见图2).

从横向看，新课标提出以前，2010—2016年立体几何试题对直观想象素养各具体表现形式考查的试题数量波动比较稳定.新课标提出以后，各具体表现形式考查的试题数较2016年及其以前立体几何试题而言是有所增加的.并且，考查“A-利用几何图形描述问题”这一具体表现形式的试题数量增加最多，增加了38%.

3.1.2 直观想象素养各具体表现形式的考查程度

从表2看出，近十年立体几何试题对“A-利用几何图形描述问题”、“B-借助几何直观理解和分析问题”、“C-运用空间想象认识事物”和“D-建立形与数的联系构建直观模型”表现形式考查程度的加权水平值分别处于1—1.5之间、2.1—2.7之间、1.7—2.0之间和1.9—2.1之间.

表2 2010—2019年直观想象素养各具体表现形式的考查程度

可见，新课标提出以来，“利用几何图形描述问题”的考查无论是试题数量还是考查程度在数据上都有所增加，但是较其他三个表现形式而言仍有一定差距.实际上，近几年绝大部分的题目已经给出图形，并且已有研究也表明高考试题对直观想象此表现形式的考查主要是以函数图象为载体.高考试题本身存在不同的目的和功能，试题的题型要由考核目的和考核层次决定.[19]因此，立体几何高考相关试题对直观想象此表现形式的考查较少以及考查程度较弱也是符合高考试题命题意图的.

3.1.3 自主命题和非自主命题省份立体几何试题对直观想象素养各具体表现形式考查程度的比较

结合图3和图4可以看出，新课标提出以后，自主命题省份对“A-利用几何图形描述问题”和“C-运用空间想象认识事物”这两个表现形式的考查程度都有所增强.非自主命题省份对“B-借助几何直观理解和分析问题”这一表现形式的考查程度有所增强.

图3 2010—2019年非自主命题省份立体几何试题对各具体表现形式考查程度

图4 2010—2019年自主命题省份立体几何试题对各具体表现形式考查程度

图5 2010—2019年立体几何解答题考查直观想象素养的各具体表现形式数量百分比

关于“D-建立形与数的联系构建直观模型”这一表现形式考查程度的加权平均值，近十年非自主命题省份立体几何试题集中在2—2.5之间，自主命题省份立体几何试题在2左右.实际上这一定量分析的结果和试题中具体类型的立体几何试题有着密切的联系.在近十年的试题中，每一年必考的立体几何解答题属于对此表现形式考查的典型试题，通过建立空间直角坐标系的形式进行考查.从图5也可以看到，新课标提出前后，立体几何解答题考查“D-建立形与数的联系构建直观模型”这一具体表现形式的试题数集中在50%-60%左右，并且对此表现形式的考查程度也较强.

图6 2010—2019年立体几何解答题对直观想象素养的各具体表现形式考查程度

各省市每年必考的立体几何简答题，题型稳定，线面关系的论证和空间角的求解，对“建立形与数的联系构建直观模型”这一表现形式考查的试题数量总体上会较多.同时从图6中也可以看出，立体几何解答题对直观想象素养的“建立形与数的联系构建直观模型”以及“借助几何直观理解和分析问题”表现形式考查程度相对较高.由于“形与数”之间建立联系为几何直观作了铺垫，而且此类简答题都是题目中已给出相关图形，所以伴随着对“借助几何直观理解和分析问题”这一表现形式的考查试题数量较直观想象其他表现形式偏多，考查程度也最强.

图7 2010—2019年立体几何相关各试题对直观想象素养考查水平统计图

3.2 2010年—2019年试题考查直观想象素养水平情况

为了进一步分析和比较试题对直观想象素养水平考查情况，对近十年的立体几何试题进行分析和统计得到图7.可见，整体上近十年立体几何试题的综合水平值为10-11的试题数量较少，都小于25%.说明大部分立体几何试题对直观想象素养的考查水平值总和处于4-9，对直观想象素养的考查水平主要处于水平一，题目主要为基础题.但是，新课标提出以后，综合水平值为10-11的立体几何试题有明显的增加，说明近年来考查直观想象素养的立体几何试题对直观想象素养的考查水平越来越接近水平二，新课标提出以后高考试题的命制越来越符合新课标对考试评价提出的要求以及教育部对高校招生工作以及命题提出的要求.

4 研究结论及其启示

4.1 研究结论

通过上述分析，近十年立体几何试题对直观想象素养的考查有如下特点：

(1)主要集中在“借助几何直观理解和分析问题”和“建立形与数的联系构建直观模型”两个具体表现形式.

近十年，“借助几何直观理解和分析问题”和“建立形与数的联系构建直观模型”这两个表现形式考查的试题数量主要都大于60%，而“借助几何图形描述问题”这一表现形式考查的试题数量在10%左右且考查试题数量最少.新课标提出以来，2018、2019年高考立体几何试题对直观想象素养各表现形式考查的试题数量逐年增加，对各表现形式考查的程度逐年有所增强.直观想象和立体几何都离不开图形这一载体，题干中未给出相关的图形，在对直观想象素养“借助几何直观理解和分析问题”考查的同时，也会在不同程度上对“建立形与数的联系构建直观模型”，“运用空间想象认识事物”或者“利用几何图形描述问题”这几个表现形式进行考查.同时，2018年的立体几何相关试题中有6题的题目中未给出图形，2019年的立体几何相关试题中有9题的题目中未给出图形，说明新课标提出以后，选择题和填空题对直观想象素养各表现形式的考查日趋全面，使得“利用几何图形描述问题”这一表现形式的考查在新课标提出以后有所增强.

(2)考查“利用几何图形描述问题”表现形式的试题数量有增加趋势，“利用几何图形描述问题”和“借助几何直观理解和分析问题”的考查程度有增强趋势.

尽管2010—2016年对“利用几何图形描述问题”表现形式考查的试题数量在8%上下波动，但新课标提出后对此考查的试题数量急剧上升.从考查程度看，2010—2016年对“利用几何图形描述问题”考查程度的加权水平值在1.05上下波动，“借助几何直观理解和分析问题”这一表现形式加权水平值在2.15上下波动，但是新课标提出后的加权水平值都有明显增加，考查程度都有所增强.

(3)对“借助几何直观理解和分析问题”这一表现形式的考查程度最强.

近十年立体几何试题对“B-借助几何直观理解和分析问题”这一表现形式的考查程度最强，对“A-利用几何图形描述问题”这一表现形式的考查程度最弱.“C-运用空间想象认识事物”和“D-建立形与数的联系构建直观模型”这两个表现形式考查的程度相对稳定.同时，新课标提出后对各具体表现形式的考查程度都有所增强.并且对“借助几何直观理解和分析问题”的考查程度最强.

(4)非自主命题省份高考立体几何试题对直观想象素养各具体表现形式的考查程度强于自主命题省份.

近十年非自主命题省份和自主命题省份高考立体几何试题对直观想象素养各具体表现形式的考查程度，基本上和整体对直观想象素养各具体表现形式的考查程度一致.进一步从图3和图4得知，非自主命题省份高考立体几何试题对直观想象素养各具体表现形式的考查程度强于自主命题省份.2010—2016年自主命题省份的立体几何试题对“利用几何图形描述问题”、“借助几何直观理解和分析问题”以及“运用空间想象认识事物”考查程度相对集中，新课标提出后自主命题省份的立体几何试题对“利用几何图形描述问题”、“借助几何直观理解和分析问题”以及“运用空间想象认识事物”较2010—2016年而言考查程度都有所增强.但在“建立形与数的联系构建直观模型”方面的考查程度相对比较稳定.

(5)对直观想象素养考查水平渐趋水平二.

新课标提出前后对直观想象素养的考查水平存在差异.从试题整体考查的综合水平值看，新课标提出后的直观想象素养考查试题的综合程度有增强，并且考查水平逐年趋近水平二.不同类型试题在考查不同核心素养要求上有不同的功能，[20]正如毕业会考和高考评价功能的差异性，对水平一和水平二考查的试题也存在差异，发挥不同的评价功能.例如，三视图类试题和棱锥或者棱柱外切、内切问题，三视图类试题属于基础题，直观想象各表现形式的考查主要侧重水平一.实际上，这一类试题更符合毕业会考的标准，而非高考试题命制的标准.另外，此类试题具有一定的必考性和题型的稳定性，对近三年整体立体几何试题对水平一和水平二的考查情况产生影响.棱柱外切、内切问题对直观想象素养各具体表现形式的考查更加侧重水平二，与三视图类试题相比，更符合高考评价的标准，试题的水平值之和较大，综合程度更高.随着此类试题近年来在高考试题中出现的频率增大，使得试题的考查逐渐从水平一向水平二偏移，综合程度高的试题数逐年有所增加.

4.2 启示

4.2.1 注重在教学中落实对数学核心素养的培养

近年来，高考命题具有以学科核心素养为导向的命题形势.从上述研究结论中可以看到随着新课标的提出，考查“利用几何图形描述问题”这一具体表现形式的试题数量以及考查程度都有增加的趋势，立体几何相关试题未给出图形的试题数量亦呈现逐年增加的趋势.高考试题不再追求题目结构的完整，试题综合程度有所增强，对学生的考查不仅仅是侧重基础知识的理解，更是侧重对学科素养的考查，强调对知识的迁移.试题对直观想象素养考查水平也渐趋水平二.因此教学中需要落实直观想象素养的培养，而直观想象素养的培养，是一个循序渐进的过程.

(1)观察直观图与已知的文字描述和数学符号描述之间的关系.

在立体几何教学的初始阶段，设计立体几何问题时，需要我们将问题的文字语言，搭配图形语言一起展示给学生，让学生建立数与形之间的联系.这一过程是学生学习用直观图表达几何对象的过程，若缺失此过程，学生自主建立几何直观模型时易存在画不出来，也想象不出的问题.

(2)利用直观想象，抓住关键位置关系建立直观模型.

2020年全国卷中多次出现不配图形的立体几何问题，这些问题虽然难度不大，但是需要学生能够根据题目的条件，建立几何直观模型，再进行求解，对学生的直观想象素养要求较高.平面几何问题大多数是可以利用尺规进行精确作图的，但是立体几何问题在作图的初始阶段就构成了一定的操作难度.学生存在的难点之一即画出符合题意的立体图形，由于画立体图形的难度较大，在解题中，学生的直观想象素养就比较重要，一方面，学生需要尽可能画出符合题意的图形，另一方面，也要结合空间想象，将该图形中的核心关系想象出来，进行平面化解释，才能顺利理解题目的已知量和所求量之间的关系，进而顺利求解.因此在教学中，要引导学生学会将问题转化为图形.

(3)善于将立体问题平面化，在立体几何问题当中，抽离出其中某个平面中的几何关系，进而顺利解决问题.

立体几何问题中的难点就是在平面上画出的立体图形所表达的位置关系是不精确的，甚至是模糊不清的，这也是造成学生求解困难的根本原因.因此，需要借助直观想象，将立体几何中关键的平面中的几何关系，从立体几何图形中抽离出来，形成精确的平面图形，进而解决立体几何中的问题.

4.2.2 注重在高考试题的命制中落实数学核心素养的评价要求

《课标(2017年版)》是高考命题的依据之一.根据上述研究结论，提出如下命题建议：

(1)均衡高考试题对直观想象素养各具体表现形式以及考查水平的要求.

目前高考立体几何试题对直观想象素养各具体表现形式的考查并不均衡，且主要集中在水平一，这不太符合新课标的要求.例如，2020年全国III卷的第8题三视图问题，采用已知一个三棱锥的三视图，求其表面积的问题，该题存在一定的局限性.高考数学的命题以选拔为基本目标，但是并未将对知识的考查作为唯一的目标，其对知识的考查更多的是基于对考试进一步学习所必需的数学知识储备与数学能力储备的考查，基于对考生作为未来公民所必要的数学素养的考查.[20]当试题只是片面考查某一单一的知识点或者直观想象素养的某一具体表现形式时，则高考试题的评价功能并不能很好地发挥，容易变成对学生机械记忆以及重复训练的知识进行考查，不符合“一核四层四翼”考试评价要求.

(2)重视对数学三种语言的综合考查，更全面考查直观想象各具体表现形式，并符合课标对各具体表现形式考查水平的要求.

这是与球有关的求解问题，球的图形学生都很熟悉，但是要画出空间感却很难，因此需要分析题目条件，根据题目条件设计合理的草图，再根据图形进行求解.画图的过程体现了数学三种语言的转化，同时，考查学生的直观想象素养，是一道优质题目.

(3)试题命制时题型多变，可考虑以开放型试题综合考查学生的直观想象素养水平，以学生运用知识综合灵活解决数学问题作为评价的重要指标，从而对学生的直观想象水平进行有效地评价.

近年来，各省市的立体几何综合问题基本上是传统的给出几何体，进行线面关系的论证和空间角的求解，这一模式化命题慢慢成为固定套路的题目，在学生备考时往往充当了机械化训练的推手，对培养学生直观想象素养的作用微乎其微.为了更好发挥高考指挥棒的“引导”作用，需要打破传统的命题模式，探索多样化的命题方式，从能力立意的角度对学生进行考查.

总之，高考命题需要探索和明确如何落实学科核心素养的考查，不应过分聚焦在知识取向、过分关注标准答案的测评方式和命题模式，实现高考试题命制和考试评价制度改革的有效结合，以便更好发挥高考的评价功能，真正发挥立德树人、引导教学的目标，使得学生真正得到全面发展.