抽油杆三维力学模型的建立与应用

薛 军，陈春坤，杨振迎，王 刚，李 艳，李 莎

（中国石油长庆油田分公司第九采油厂，宁夏银川 750006）

长庆油田某厂水平井开井111 口，日产液9.77 m3，日产油3.23 t，含水56.1%，平均生产参数：冲程2.8 m、冲次4.4 min-1、泵径39 mm，平均泵效39.19%，平均泵挂1 577 m，动液面1 331 m。2018 年以来，水平井由于杆柱故障上修134 井次，累计影响油量852 t。其中杆断87 井次，占比64.9%，影响油量625 t；2021 年截止8月底，水平井共上修70 井次，维护作业频次0.95 井次/井·年，远高于全厂平均频次（0.53 井次/井·年），其中抽油杆断上修31 井次，占比44%，影响油量205 t，是影响水平井产能发挥的主要因素。

其中杆断位置主要集中在泵上600 m（46 井次、57.5%），即水平井杆柱组合中和点区域及以下。在上下冲程，中和点区域及以下抽油杆柱受到大小、方向随时间呈周期性变化的载荷作用，增加了杆柱疲劳。杆断井泵径主要为44 mm 和56 mm；冲次在5 min-1以上的43 井次（53.8%），其中断杆服役时间小于3 年的37 井次（86.0%），泵效低于50%的27 井次（67.8%）。

因此有必要建立抽油杆柱受力模型进一步分析井眼轨迹、泵径、冲次、杆柱组合与水平井杆断之间的关系，从而为水平井生产参数调整和加重杆的使用提供依据，为水平井杆断防治提供参考。

1 抽油杆三维力学模型的建立

1.1 井眼轨迹的计算

钻井过程中只能每隔一定长度测量一次井身参数，为确定相邻两个已知测点之间任意一点处的井斜角和方位角，采用分段插值精度高的、节点处光滑连续的三次样条函数[1]。

三次样条函数：函数S（x）∈C2[a，b]，且在每个子区间[xk，xk+1]上是三次多项式，其中a=x0＜x1＜...＜xn=b是给定节点，则称S（x）是节点x0，x1，...，xn上的三次样条函数。即将原始长序列分割成若干段，每段构造一个三次函数，使得分段的衔接处具有二阶导数连续的性质（光滑衔接）[2-4]。

根据测得的井斜数据，将井斜角和方位角看作随井深变化的函数。

设已知井段[a，b]，给定一组有序测点：井深：a=x0＜x1＜...＜xn=b

井斜角：α0，α1，α2，...，αn；方位角：φ0，φ1，φ2，...，φn

由此构造三次样条函数S（x）和Q（x），满足以下条件：

（1）在区间[a，b]的每个子区间[xk，xk+1]上，S（x）和Q（x）是三次多项式；

（2）S（xk）=αk；Q（xk）=φk（k=1，2，3，...，n）；

（3）在区间[a，b]上，S（x）和Q（x）具有连续的二阶导数。

利用MATLAB 编程求解得到三次样条井斜角函数S（x）和三次样条方位角函数Q（x），由此得到任意井深对应的井斜角和方位角，即可得到完整的、光滑的井眼轨迹。

1.2 抽油杆受力模型的建立

1.2.1 上、下冲程抽油杆受力分析 在上冲程的过程中，游动阀关闭，固定阀打开，柱塞和液柱在抽油杆的带动下向上运动，抽油杆的受力（见图1）。上冲程抽油杆柱受力均沿轴线方向向上，始终处于拉伸状态。

图1 抽油杆柱上冲程受力示意图

在下冲程的过程中，游动阀打开，固定阀关闭，抽油杆的受力（见图2）。下冲程抽油杆柱除重力外，其余力均沿轴线方向向上，因此上部分杆柱受拉，下部分杆柱受压[5]。

图2 抽油杆柱下冲程受力示意图

1.2.2 井眼轨迹引起的抽油杆柱弯曲应力 在水平井复杂的井眼轨迹下，杆柱会发生初弯曲，从而产生弯曲应力，弯曲应力越大，杆柱变形越严重[6-10]。

由平均角法，该段全角变化率Ki（狗腿度）为：

式中：Ki-第i 段全角变化率，rad/m；αi、φi、Li-分别为第i 个测斜点的井斜角、方位角和测深，rad，rad，m。

该段曲率半径Ri为该段全角变化率Ki的倒数，即：Ri=

该段抽油杆受井眼轨迹影响的弯曲应力为：

式中：σwi-第i 段杆柱受井眼轨迹影响的弯曲应力，MPa；dri-第i 段杆柱直径，mm；E-杆柱弹性模量，E=210 GPa。

1.2.3 油管对抽油杆柱的支持力 抽油杆柱在上下冲程均受到油管的支持力，通过力的分解计算得到支持力，支持力越大，杆柱所受摩擦力越大。

由几何关系知，狗腿平面内狗腿角β 与井斜角和方位角有如下关系：

式中：α1、α2、φ1、φ2为微元段两端的井斜角，方位角，rad。

N1由力的平衡原理可得：

N2由抽油杆柱重力和浮力分解所得，即：

由此，油管对抽油杆柱的支持力Nrt为：

1.2.4 抽油杆柱任意点载荷计算 以沿抽油杆轴线方向向下为正方向，根据井眼轨迹数据，将抽油杆柱分成若干小段，自下而上采用分段迭代的方法计算抽油杆任意点载荷。

下冲程：P0down=-Pcp-Pv

1.2.5 抽油杆柱中和点计算 抽油杆柱在下行过程中，轴向力为零的点为抽油杆柱中和点。中和点以下杆柱容易发生正弦屈曲，甚至螺旋屈曲，在交变载荷作用造成杆柱结构性损害，因此应该降低中和点位置，使杆柱受压段缩短[11]。

根据力的平衡原理可得：Pr'=Pd+Pcp+Prl+Pv+Prt

代入推导可得杆柱中和点计算公式：

2 影响因素敏感性分析

以X193 油藏SP10-9 井眼轨迹为例，取以下生产参数：冲程3.0 m、冲次5.0 min-1、泵径44 mm，杆柱组合由下至上为Ф22×15%+Ф19×50%+Ф22×35%，泵挂1 631 m，动液面1 465 m，含水31.7%。

2.1 泵径

分别取泵径28 mm、32 mm、38 mm、44 mm、56 mm，代入抽油杆柱受力模型，分析泵径对抽油杆柱受力的影响。随着泵径的增加，杆柱所受支持力增加，尤其是在造斜段，增幅明显大于其他井段（见图3）。

图3 不同泵径下杆柱支持力

2.2 冲次

分别取冲次为3.0 min-1、3.5 min-1、4.0 min-1、4.5 min-1、5.0 min-1、5.5 min-1，代入抽油杆柱受力模型，分析冲次对抽油杆柱受力的影响。冲次与上、下冲程惯性载荷呈明显正相关关系，且冲次与杆柱悬点载荷关系曲线斜率呈缓慢上升趋势（见图4，图5）。

图4 不同冲次下上冲程杆柱惯性载荷

图5 不同冲次下下冲程杆柱惯性载荷

随着冲次的增加，杆柱最下端所受上冲程液柱惯性载荷、下冲程液体通过游动阀阻力呈增加趋势。其中液柱惯性载荷数量级较小可忽略不计，冲次每增加0.5 min-1，在液体通过游动阀阻力作用下，中和点平均上移10.8 m。

2.3 杆柱组合

分别取底部Ф22 mm、Ф25 mm 和Ф32 mm 加重杆比例为15%～35%，计算对应杆柱组合下中和点位置。随着加重杆比例、杆径增加，中和点位置下移；其中加重杆杆径对中和点位置影响较大，组合比例对中和点位置影响较小（见图6）。

图6 不同底部加重杆比例下杆柱中和点

3 实例验证

SP10-9 井为X193 区一口高产水平采油井，造斜点为1 000 m，井眼曲率（见图7）。该井自投产后有三次杆断井史，杆断数据明细（见表1）。

表1 SP10-9 井三次杆断数据统计表

图7 SP10-9 井井眼曲率

将井眼连斜数据及三次杆断数据代入抽油杆柱受力模型，计算杆柱弯曲应力及三次杆断杆柱支持力，杆柱弯曲变形最严重区域在造斜段，同时杆柱中和点也在该井段，说明该段为杆断危险井段；而实际杆断位置也在该井段，从而有效验证了模型可行性（见图8）。

图8 SP10-9 井杆柱弯曲应力及杆柱支持力

4 结论与认识

（1）根据井斜数据构造三次样条插值函数，利用MATLAB 编程求解得到了完整的、光滑的井眼轨迹；建立了考虑三维空间井眼轨迹、生产参数、杆柱组合、抽油泵及产出流体影响的水平井抽油杆柱受力模型。

（2）通过井眼轨迹、杆柱受力模型和中和点计算，可以分析和确定杆断风险区（杆柱弯曲应力集中区域和中和点区域以下），为水平井加重杆设计和超高强度抽油杆配套位置提供参考。

（3）大泵径和高冲次会使得杆柱中和点上移，增加杆断风险，因此应该在合理泵效下开展水平井生产参数调整优化；底部加重杆杆径增加，有利于缩短下冲程杆柱受压长度，降低杆断风险。