经历抽象，完成概念建构

○申武广

众所周知，《倍的认识》一课旨在帮助学生初步建立“倍”的概念。教材通过创设“小兔吃萝卜”的情境，比较胡萝卜、红萝卜和白萝卜之间的根数关系，观察和思考“3倍和5倍”的含义，进而引出“倍”的概念。但笔者调研发现，学过例题之后仍有部分学生对“倍”的认识存在诸多误区。如何帮助学生很好地建立“倍”的概念呢？

一、借助画圈，初步感知

课始，学生根据教材情境图提出数学问题。

师：刚才同学们提出了“红萝卜是胡萝卜的几倍”这个问题，有谁会做吗？

生：3倍，因为红萝卜里面有3个胡萝卜的根数。

生：胡萝卜有2根，红萝卜有6根，6里面有3个2。

师：说得好！为了看得更清楚，你有什么办法吗？

生：我把2个胡萝卜画一个圈，红萝卜每2个画一个圈，一共3个圈。

师：那么白萝卜的根数是胡萝卜的几倍呢？请同学们在书上圈一圈，再判断关系。

生：白萝卜的根数是胡萝卜的5倍，因为有5个胡萝卜的根数。

师：你是怎么圈白萝卜的？

生：2个2个地圈。

师：看来画圈这种方法挺好的。接下来，我们来总结一下，不管是2倍，还是5倍，要判断某种萝卜的根数是胡萝卜的几倍，需要看什么？

生：只要看这种萝卜包含几个胡萝卜的根数。

“倍”对于多数学生来说并不陌生，当提出倍数问题时，教师顺势让学生讲讲其中的道理，然后借助画圈，形象直观地表示出“几倍”，感悟“倍”就是“几个几”，促使学生头脑中建立起“倍”的直观形象。然后再运用画圈的方法，表示出白萝卜和胡萝卜的关系。可以说，画圈是学生建立“倍”关系的一种重要的直观操作方法。

二、问题引领，比较变化

（课件展示：增加一根胡萝卜。）

师：胡萝卜的根数多了，它们的关系变了吗？

生：变了，红萝卜的根数是胡萝卜的2倍。

生：因为胡萝卜是3根，红萝卜是6根，有2个3根，所以是2倍。

师：奇怪了！我们只让胡萝卜增加了一根，为什么倍数就变了呢？

生：因为原来有2根，红萝卜6根，含有3个2根，是3倍的关系；而后来变成3根，红萝卜6根，含有2个3根，是2倍的关系。

师：红萝卜的根数是胡萝卜的几倍，关键看什么？

生：关键看胡萝卜的根数。

师：比较这两次，有什么相同和不同？

生：红萝卜的根数相同，胡萝卜的根数不同。

师：是的，这个胡萝卜不管是几，我们都是看作1份，一般叫标准量；红萝卜有这样的几份，就是几倍，它叫做比较量。

（课件展示：飞走一根红萝卜。）

师：同学们，红萝卜少了一根，白萝卜和红萝卜根数有什么关系吗？

生：白萝卜的根数是胡萝卜的2倍。

生：红萝卜现在5根，白萝卜有10根，包含2个5，所以是2倍。

师：刚才我们知道，红萝卜的根数是胡萝卜的2倍。变化前后有什么相同和不同吗？

生：不同的是，标准量和比较量的根数都不一样。

生：相同的是，下一行的根数是上一行的2倍。

生：比较量都含有2份。

学生初步感知“倍”之后，还需要继续深入理解。本环节改变胡萝卜和红萝卜的根数，在比较变化中让学生领悟概念的本质。当增加了胡萝卜的根数时，红萝卜和胡萝卜的倍数关系就发生了变化，学生会发现红萝卜不变，胡萝卜变了，倍数关系也会变，根本原因在于1份量（或标准量）变了。当减少红萝卜的根数时，都出现了2倍的关系，学生追根究底，发现共同之处，倍的关系确立要同时看两种量，从而为抽象概括出“倍”奠定基础。

三、多元表征，抽象概括

（用若干个正方形和圆形表示2倍关系。）

师：虽然大家所画的图形个数都不一样，但要满足2倍的关系，需要符合什么条件？

生：只要让圆形包含2个正方形的个数即可。

师：像这样的情况能写完吗？

生：写不完！

师：是啊！但是有一种方法可以把所有的情况都表示出来。（课件出示一条线段。）师：这条线段表示几个？

生：表示1个。（迟疑）不一定，也可以表示许多个。

生：表示1份。

师：是的。那么圆形这一行怎么表示呢？

生：两条线段。（课件展示。）

生：也就是2份。

师：同学们看这种表示方法，不管正方形和圆形多少个，正方形作为标准量总是1份，圆形作为比较量总是2份，所以它们是2倍的关系。

师：从数目来看，（课件展示对应线）圆形的个数是正方形的2倍，也就是圆形包含2个正方形的个数，可以用除法算式来表示，我们一起来看看。

（ ）÷（ ）=2

考虑到小学生的思维特点，为了能够抽象概括数学概念，把握概念的本质属性，我们非常注重概念的多元表征。本环节以2倍为例，先让学生用图形表示，数量多少不一，大大丰富了“倍”的直观认知，是学生理解“倍”的感知材料；接下来的线段图表示为学生抽象“倍”建立了桥梁。同时，教师有意引导学生观察数量，联系学过的除法算式，将“倍”的数学表达式表示出来，让学生完整地认识“倍”，实实在在经历了必要的抽象过程，收到了良好的教学效果。