基于二进小波的多阈值图像去噪方法

刘美琪 吐尔洪江?阿不都克力木

摘要：在D.L.Donoho等人提出的阈值图像去噪的基础上，提出了一种基于二进小波的多阈值去噪算法。针对传统软硬阈值函数的缺陷，本文提出了一个新的阈值函数，并给出了通用阈值的一种改进形式，为分析此方法的去噪性能，对同一图像叠加不同水平的高斯噪声的情况进行了实验。相比传统的阈值去噪算法，改进的算法不仅改进了硬阈值函数在阈值处不连续的缺点，而且克服了软阈值模型中原系数与经过阈值处理后的系数之间有恒定偏差的缺点。通过实验仿真，在图像去噪中具有更高的信噪比，取得了更好的视觉效果，具有更好的实用性。

关键词：二进小波变换;小波系数;多阈值;峰值信噪比中图分类号：TP311  文献标识码：A

文章编号：1009-3044（2021）29-0102-03

在图像的生成和传输过程中经常会被各种噪声干扰和影响，因而导致图像的质量有所降低，在进行图像边缘检测和图像分割过程中，图像由于存在噪声造成图像信噪比下降，这不仅对图像的主观质量造成影响，而且对后续的图像处理也造成不便，因此为了更好地抑制噪声和改善图像质量，必须对图像进行去噪处理[1-3]。

由于小波变换的多分辨率及其能量集中特性使之成为图像去噪领域研究的一个热点。目前常用的滤波方法有中值滤波、维纳滤波、小波软硬阈值滤波法等。在传统的去噪方法中有着保护图像特征和抑制噪声之间的矛盾[4]。而随着小波理论的发展，不同的小波阈值去噪方法被许多学者提出，文献[5-6]对所有系数采用同一阈值，而没有考虑不同尺度小波系数之间的关系，而且该方法中使用的正交小波变换缺乏平移不变性，会容易使去噪后的图像出现Gibbs效应。文献[7]针对硬阈值函数在阈值处不连续的缺点，提出一个新的阈值函数，但效果没有很明显，重构后图像与原图也不是很逼近。

本文引入具有平移不变性的二进小波变换，并对不同尺度的系数采用不同的阈值，这充分考虑了小波系数之间的相关性，而且提出新的阈值函数，不仅改进了硬阈值函数在阈值处不连续的缺点，而且克服了软阈值模型中原系数与经过阈值处理后的系数之间有恒定偏差的缺点。实验结果表明，该方法较好地实现了图像的去噪。

1二进小波变换

二进小波变换是在连续小波变换的基础上对尺度因子进行二进制离散而保持平移因子连续变化得到的一种半离散小波变换[8-9]。二进小波变换没有进行采样操作，因此其具有平移不变性。在图像去噪等众多领域中平移不变性十分重要，它很好地保证了图像原来重要细节信息的位置在二进小波变换域中不会发生较大偏移，非常有效地避免了非线性变换造成的视觉形变[10]。在实际应用中，几乎都是在图像取离散的形式下进行图像处理的，因此引进二进小波变换的离散算法很有必要，Mallat在二进完全重构条件下构造了一类可实现快速二进小波变换的àtrous算法，它与Mallat算法具有相同的算法结构。将一种改进形式的一维àtrous算法[9]推广得到如下二维àtrous算法[11]，用于图像的分解与重构。

定理1：二进小波分解与重构。

二进小波分解公式：

2二进小波滤波器

为了应用àtrous算法对图像进行分解和重构，需要构造满足二进小波重构条件的二进小波滤波器来达到较好的图像处

理效果。下面给出二进小波滤波器的定義：

定理2：若分解滤波器（h，g）和重构滤波器（，）的Fourier变换满足二进小波重构条件?（ω）（ω）+ ?（ω）（ω）= 1，则称{h，g，，}为二进小波滤波器。

本文采用T.Abdukirim构造的B-样条二进小波滤波器[1]：

低通滤波器：

高通滤波器：（ω）= （-1）τ e-i 2 ω （sin（ω ））r，

其中τ ={       r =2n   r =2n +1

3阈值函数去噪

在阈值去噪的过程中，阈值函数是对系数进行不同处理的策略。硬阈值函数较好地保留了图像边缘等特征，但会伴随振铃效应等视觉失真现象，而软阈值函数处理得相对平滑，但会造成边缘模糊现象[5]。

针对二者的缺点，提出一种新的阈值函数：

观察该阈值函数模型可以发现当α 等于π 时，该模型的作用与软阈值模型相当;当阈值λ 很小时，该模型的作用与软阈值模型相当。可见改进的阈值函数是介于软硬阈值函数之间的一个灵活选择。改进后的算法不仅解决了硬阈值函数在阈值处不连续的缺点，而且当时是高阶可导的，便于进行各种数学处理。且随着的增大，逐渐接近，克服了软阈值模型中与之间有恒定偏差的缺点。

新阈值函数的连续性、可导性、渐近性分析如下（这里f（x）代替新阈值函数中的，x代替新阈值函数中的）。

①连续性分析：

lim f（x）= limsgn（x） =0，

lim f（x）= 0，

即lim f（x）= lim f（x） ，f （x）在x =λ 连续。

②可导性分析：

?f   =1 （λ+ λcosα）- ，?f   =0，

当α= π时，   =    新的阈值函数满足可导性。

③渐近性分析：

同样x <0时，有f（x）→ 1（x →-∞）。

同时，

f（x）- x = sgn（x）[（x +λcosα）（x -λ）]12- x →0（x →∞） ，

所以改进的阈值模型以y = x为渐近线。

大量研究表明，通用阈值具有对小波系数“过扼杀”的倾向，将小于阈值的系数全部置为0可能会丢失部分表示图像信息的系数[11]。

通用阈值[12]：λ= σ ，通用阈值的一种改进形式：

其中，σ为噪声方差，N为图像大小。随着尺度j 的增大，λj的值逐渐减小，使其与噪声在小波变换各尺度上的传播特性相一致。其中σ可取σ2= median| d，k |/0.6754。

二进小波变换的阈值去噪算法如下：

①图像的二进小波分解：对含噪图像 f（m，n）（m，n =1，2，...，N），选择合适的小波滤波器用二进小波分解公式进行J层分解，得到一个低频系数aJ，m，n和一组高频系数d，m，n （i =1，2，3）;

②高频系数的阈值处理：将高频系数 ，取阈值函数对其处理，得到估计系数d?ji，m，n （i =1，2，3）;

③图像的二进小波重构：将估计系数联合低频系数aJ，m，n用二进小波重构公式进行重构得到去噪后的图像.

4实验仿真与分析

实验采用大小为240×320的圖像belmont2作为测试对象，对其叠加不同水平的 Gaussian 噪声，采用T.Abdukirim构造的

B-样条二进小波滤波器[1]：

对图像进行分解，对分解后的高频系数分别采用传统的软、硬阈值以及本文提出的多阈值去噪方法进行阈值化。采用峰值信噪比（PSNR）作为去噪效果的客观评价标准，计算公式

图1为噪声水平为20的图像情况，其中（a）为原图像，（b）为含噪图像，（c）为硬阈值去噪图像，（d）为软阈值去噪图像，（e）为本文方法去噪后图像。

从图1可以对比发现，改进的阈值函数去噪效果要比软硬阈值函数去噪效果要好，且用二进小波变换处理图像比用正交小波变换处理图像更有效地解决了图像的Gibbs效应，且从数据对比可以看出，改进的阈值函数的信噪比PSNR都大于软硬阈值的PSNR。另外去噪的处理效果和计算结果都与阈值函数中的阈值设置有关，且从图中可以看出对不同尺度使用不同阈值的处理效果要比在不同尺度使用同一阈值效果要好，如果阈值设置适中，其去噪性能也会有不同程度的提高。

5结束语

该文针对图像去噪中的多阈值去噪方法进行研究，分析了传统阈值去噪的缺陷，并在已研究的基础上提出一种新的基于二进小波变换的多阈值去噪方法，实验结果表明，该方法比传统的阈值去噪方法有更好的效果。如何根据小波分解后三个高通部分的特点为其设置不同的阈值函数进行图像去噪，这将有待进一步的研究。

参考文献：

[1]吐尔洪江·阿布都克力木.小波信号处理基础[M].北京：北京邮电大学出版社，2014.

[2] S.G. Mallat. A Wavelet Tour of Signal Processing[M].Beijing：

China Machine Press.2002.

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[5]李智，张根耀，王蓓.基于一种新的阈值函数的小波图像去噪[J].计算机技术与发展，2014，24（11）：100-102，106.

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[7]李世博.基于小波变换的图像阈值去噪的改进方法[J].电脑知识与技术，2007，3（2）：532-533.

[8]吐尔洪江·阿布都克力木，阿布都许库热·阿布都克力木，张海英 .二进小波的构造方法研究[J].纯粹数学与应用数学，2012， 28（2）：149-154.

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[10]费佩燕，郭宝龙，章正宇.基于二进小波变换的图像去噪技术研究[J].西安电子科技大学学报，2003，30（4）：492-496.

[11]吐尔洪江·阿布都克力木，阿布都许库热·阿布都克力木，艾热提·阿不力克木.基于二进小波变换的图像阈值滤波法的性能分析[J].新疆师范大学学报（自然科学版），2013，32（2）：1-7.

[12] Donoho D L.De-noising by soft-thresholding[J].IEEE Trans? actions on Information Theory，1995，41（3）：613-627.

【通联编辑：李雅琪】