基于Matlab的信号分析与数字滤波器设计

赵子曦

摘要：对于信号的时域分析只能获取部分信息，因此在频域作出信号频谱以辅助分析显得十分重要。在进行频谱分析后，会发现信号包含复杂噪声，因此使用软件设计滤波器去噪。在Matlab的基础上，本文首先采用经典的傅里叶变换对各类信号进行频谱分析，然后用窗函数法设计FIR数字滤波器。在声音信号上的实验证明，本文设计的FIR数字滤波器可以有效压制噪声，提取良好声音信号。

关键词：信号频谱分析; Matlab;滤波器;信号去噪中图分类号：TP311  文献标识码：A

文章编号：1009-3044（2021）29-0114-02

进入21世纪以来，计算机技术飞速发展，大数据、物联网、人工智能（AI：Artificial Intelligence）成为学界、工业界的研究热点，随之对信号分析技术提出了更高的要求，也带来了新的机遇。

在摩尔定律的基础上，计算机有限的算力在复杂数据的处理上显得吃力，而现代数据处理又十分追求更高的效率、更快的速度和更准确的结果。Matlab是工程领域应用广泛的一款成熟软件，它拥有强大的矩阵运算能力和科学数据处理能力，可以处理十分微小的电路信号，因此使用Matlab进行信号分析与处理、数字滤波器设计等对于电路分析、小信号分析、波形重整具有十分重要的意义。

1信号频域分析

1.1离散傅里叶变换与窗函数

实际上，计算机存储的所有数据都是离散的，它们需要运用时域和频域都是离散的离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）进行处理。TD（Time-Domain）连续信号经采样后，通过快速傅里叶变换成为FD（Frequency-Domain）采样。通过数学表达式绘图，不难看出输入DFT进行变换的时域信号和变换后输出的频域信号均为有限长序列，即主值序列。

在实际应用中常采用快速傅里叶变换计算DFT：

连续周期、连续非周期、离散周期、离散非周期信号的频谱与 DFT之间的关系：时域上的信号是非周期的，则频域上的信号是连续的;时域上的信号是周期的，则频域上的信号是离散的;反之亦然。

在对信号进行处理的过程中，会出现各种各样的错误，最典型的有混叠现象、泄露现象、栅栏效应。

混叠现象：连续信号的采样参数设置与采样定理相悖，信号频谱受到此影响而改变出现的高低频率成分混叠现象。因此，当使用采样信号求解原始信号的过程中，频域信息无法正确反解，形成严重的失真。泄露现象：当取样长度不是全函数长度时，会发生泄露效应，函数对应频率附近出现谱线。栅栏效应：对信号的采样，实际上是先把连续信号利用泰勒公式在频域上进行表示，后由离散傅里叶变换计算频谱再采样。那么就存在基频以及n倍基频，这些频率点就像是“栅栏”，把连续信号分隔成细微的部分，这种现象就是栅栏效应。

在这三种干扰中，其中最为严重的失真就是频谱混叠，而由于计算机无法截取全部长的信号，所以应用采样定理。为了避免采样定理过程中存在的常见干扰和信息损失，一般使用窗函数来截取信号，即通过加窗可以更好地对信号进行频域分析。

1.2频域信号分析

利用FFT，分析连续周期方波信号的频谱：通过改变采样率与时间截断长度，分别研究频谱的混叠与泄漏。

2数字滤波器设计

2.1数字频率、模拟频率与FIR滤波器

传统的硬件滤波一般对应模拟频率f：每秒经历多少个周期，单位Hz，即1/s;模拟角频率Ω：每秒经历多少弧度，单位rad/ s，而软件滤波对应数字频率ω，即每个采样点间隔之间的弧度，单位rad。二者的关系为Ω=2pi*f;ω=Ω*T，如果需要归一化，那么 ω除以2*pi 即可。

在模拟频率、数字频率之间映射完成之后，使用窗函数法（傅里叶级数法）设计理想的数字录波器。给定一组频率响应 H（jΩ），则由 IDTFT 可得出滤波器的单位脉冲响应：

由于是理想滤波器，故hd[k]是无限长序列。但是我们所要设计的 FIR 滤波器，其 h[k]是有限长的。为了能用 FIR 滤波器近似理想滤波器，需将理想滤波器的无限长单位脉冲响应hd [k]分别从左右进行截断。当截断后的单位脉冲响应hd[k]不是因果系统的时候，可将其右移从而获得因果的 FIR 滤波器。

设计的核心过程为：理想滤波器频率设计->反变换时域无限长信号->信号截断->右移变因果系统。

2.2数字滤波器设计内容

设计FIR数字低通滤波器，截止频率ωc=π/4，在不同窗口长度（N=15，33分别求出h（n）的幅频、相频特性，观察3dB带宽和20dB带宽以及阻带最小衰减，总结窗口长度N、窗函数特性对滤波特性的影响。

窗函数法设计FIR滤波器的技术路线：首先根据阻带最小衰减对照相关表格、窗函数，估算ωs与ωp，计算窗口长度N，N≈ A/Bt，A取决于窗函数类型。利用接着fir1（）函数计算出滤波器系数，最后使用滤波函数filter（）得到滤波后的函数。

3声音信号的滤波

声音信号滤波包含如下操作过程，首先利用电脑声卡进行人声采集，而后在Matlab中导入该信号，并作频谱分析，接着由其频谱特性随机加入正弦噪声，最后选用有限脈冲响应FIR滤波器进行滤波，并将输出信号与原信号对比评价。

声音信号使用苹果笔记本电脑 MacBook Air_Cirrus Logic CS4206A （AB 126）声卡采集，环境声音需大小在30db左右，麦克风格式设置为2通道、32位、44100Hz（录音师音质）。考虑到信号处理量，信号时长一般为8s左右为宜，在这种采集情况下，默认原始信号无噪。

利用 MATLAB 中的audioread函数把语音信号转换成序列，得到信号信息，然后在各个时间点加入正弦信号分量。

对于语音去噪现在已经有一些比较成熟的方法，如小波变换法、小波包变换法以及滤波器法。利用小波的方法去噪设计过程相对烦琐，因此，考虑到FIR滤波器具有线性相位且易于设计实现，本文选用FIR滤波器方法，加上hanning窗来实现去噪功能。

4 总结

本文对信号进行频谱分析，通过利用FFT分析连续周期方波信号的频谱得出：采样率设置为3～4倍方波基频，否则实信号以fs为采样速率的信号在 fs/2处混叠，fft结果中前半部分对应[0， fs/2]，后半部分对应[ -fs/2， 0]。汉明（Hanning）窗使频谱旁瓣互相抵消，消去高频干扰和漏能，有效抑制了频谱泄露现象。窗口长度N越大，滤波器阶数越高，过渡带越窄，且窗函数可以明显改善截断效应。

实验证明，Matlab在信号处理领域已经十分成熟易用，但是其本身仍旧存在几点局限性。第一，文件命名不可以使用函数名和中文字符，否则程序会崩溃或无法正常运行;第二，Mat⁃lab在处理声音信号的时候对硬件要求较高，需要花费的时间也很长，这也是控制声音信号在十秒以内的原因。此外，从原理上来说，计算机无法对连续信号进行分析，每一个实际的连续信号实际上都是采样信号，即各种信号截断、转换都是在DFT的基础上，与实际总是存在误差。

参考文献：

[1] 韩长军.基于MATLAB的语音信号去噪方法应用[J].辽东学院学报（自然科学版），2017，24（1）：72-77.

[2] 吴培希.有关零相数字滤波器的实现[J].信息系统工程，2012（4）：95-96.

[3] 姜衍猛 . 基于 MATLAB 的数据采集与分析系统的研究及设计[D].济南：山东大学，2012.

[4] 张朝晖，袁建美，蒋洪明.用于动态测试的信号分析方法[J].石油大学学报（自然科学版），2002，26（2）：120-124，0.

[5] 杨丽娟，张白桦，叶旭桢.快速傅里叶变换FFT及其应用[J].光电工程，2004，31（S1）：1-3，7.

[6] 尹学爱，马国利，冯伟伟.基于MATLAB的声音信号频谱分析仪[J].教育教学论坛，2018（4）：276-278.

【通联编辑：李雅琪】