等边三角形案例分析

朱文洪

一、案例背景

人教版八年级上册第13章《轴对称》是整个初中几何至关重要的一章，等边三角形的是《轴对称》第3节的内容。本次上课的学生是昆明市第十中学初二年级的学生，该校学生平均水平在昆明地区是比较高的，上课班级已经完整完成前两节新课及习题课的学习。本次课由两位来自两个名师工作室的老师用不同的班级上同一课，课后由名师工作室学员及负责人及时评课，之后请陈静安教授看录播课并进行线上评课。

二、教学目标

（一）设计相关的探究活动，并且就等边三角形的性质以及判定方法进行深入的研究，以此来强化学生的探究意识，帮助他们养成良好的学习习惯。

（二） 运用之前学习过的数学知识来解决和等边三角形相关的问题。

三、教学过程

活动引入：给每位同学发放一副三角板，请同桌进行交换，使每位同学手上拿着相同的三角板。然后请同学们把自己手上两个全等的直角三角形进行拼搭，要求拼成三角形，每四人一小组进行讨论，说说共有几种不同的拼搭结果，是什么三角形？

同学们展示了三种不同的结果，均为等腰三角形，其中，图3中的三角形三边似乎都相等，有同学测量发现，他的三边确实是相等的，也就是等边三角形，如果不测量，我们能说明它是等边三角形吗？这个图形还有些什么特征呢？这就是咱们今天要学习的。.

（一）问题导入

1.等边三角形的具体特征是什么？它与等腰三角形之间存在着什么内在的联系？

等边三角形最为明显的特征就是三角形的三个边相等。等边三角形可以看作是一种比较特殊的等腰三角形;

2.设计意图：通过回忆及刚才的拼搭发现，让学生充分准备好本节课学习所需要的基础知识，利用问题探索让学生发现，并初步感悟等腰三角形与等边三角形的联系。

（二）探究新知

1.等腰三角形有哪些性质呢？（请同学回答，并引导学生分类整理）

从边的角度：两腰相等;

从角的角度：两个底角相等（等边对等角）;

从高、中线、角平分线的角度：三线合一

对称性：是轴对称图形.

2.类比等腰三角形的性质，你能得到等边三角形的什么性质？

（1）等边三角形的边有什么特点？

边：等边三角形的三边均相等.

几何语言表示：

∵△ABC是等边三角形，

∴AB=AC=BC

（2）通过观察和分析，尝试去分析三角形的三个角有什么特点？（请同学们讨论、得出结论并论证）尝试去证明三角形的任意角为60度。

已知：△ABC是等边三角形。求证：∠A=∠B=∠C=60°.

证明：∵△ABC是等边三角形，

∴BC=AC，BC=AB.

∴∠A=∠B，∠A=∠C.

∴∠A=∠B=∠C.

∵∠A+∠B+∠C=180°，

∴∠A=60°.

∴∠A=∠B=∠C=60°.

得到等边三角形的性质：

等边三角形的三个内角是完全一样的，而且每个角的度数都是60度

几何语言表示：

∵△ABC是等边三角形，

∴∠A=∠B=∠C=60°.

（3）尝试思考等边三角形是否具有三线合一的特殊性质

通过分析，就可以发现等边三角形每条边上的中线、高和所对应顶角的平分线都三线合一。

3.学以致用

例1.如图，等边三角形ABC中，点D是BC边中点，则∠B=_____________，∠ADC=_______________，∠BAD=____________.

练习1.如上图已知在等边三角形ABC中，AD平分∠BAC，AC=8，则BD=_______.

4.探究等边三角形的判定方法

（1）如何将等腰三角形转换成为等边三角形？

猜想：（1）对于一个三角形来讲，它的三个角是完全一样的，此时就可以将其看作是等边三角形。

（2）对于一个等腰三角形来讲如果，它的任何一个角存在60度的状态，那么可以推断该三角形为等边三角形。

请你将这两个命题进行证明：

已知：在△ABC中，∠A=∠B=∠C.求证：△ABC是等边三角形。

证明：∵∠A=∠B，∠B=∠C，

∴BC=AC，AC=AB.

∴AB=BC=AC.

∴△ABC是等邊三角形.

于是得到等边三角形的判定1：三个角都相等的三角形是等边三角形。

（3）对等边三角形的判定方式进行分析与总结

①如果一个三角形，它的三条边相等，那么可以断定该三角形为等边三角形;

②如果一个三角形，它的三角内容完全一样，那么可以推断出该三角形每个角度均为60度，此它为等边三角形;

③如果有一个等腰三角形，其中它的一个角为六十度，那么可以推断出它是等边三角形.

（三）例题解析

如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E.求证：△ADE是等边三角形。

证明：△ABC是等边三角形，

∴∠A=∠B=∠C.

∵DE∥BC，

∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C.

∴∠A=∠ADE=∠AED.

∴△ADE是等边三角形.

设计意图：培养学生应用所学知识解决问题，鼓励创新于多角度多方法思考问题，活跃学生的思维，拓展创造性的能力与意识。

（四）课堂小结

1.等边三角形的性质：

三条边都相等;

三个角都相等，且都为60°;

三线合一;

是轴对称图形，有三条对称轴.

2.等边三角形的判定：

三条边都相等的三角形是等边三角形;

三个角都相等的三角形是等边三角形;

有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.

设计意图：通过小结，使学生梳理本节所学内容，理解等边三角形的性质和判定，掌握类似学习、自主探究的学习方法。综合运用等边三角形的性质和判定解决问题。

四、教学反思及同课异构对比

本次同课异构是借班上课，提前了解了学生的学习进度，开课就先让学生们心情愉快自己动手拼搭三角形，课堂气氛很快活跃起来，借拼搭结论复习等腰三角形相关内容过渡得也非常顺畅，同学们积极参与课堂，认真思考，大胆表达自己的发现和疑惑。

通过对整节课的回顾以及分析，可以发现该课程环节紧凑，思路清晰，做到以学生为教学主体，既放手让学生自主探究，又在基本定理上强调表达规范。尤其是在例题讲解方面，通过一个证明题书写了等边三角形判定及性质应用的规范书写。在板书设计方面，为学生指出了重点内容，可以让学生准确掌握相关知识。总体来说，教学内容充实，学生对知识点和学习方法的掌握比较到位。