“找次品”教学“误区”简析

钟淑燕

“找次品”是人教版五年级数学下册第八单元的内容。本单元以“找次品”这一探索性操作活动为载体，让学生通过观察、猜测、试验等方式探索解决问题的策略。同时，进一步理解随机事件（如2个零件中有1个较重的次品，只要把这2个零件放在天平两端，天平一定不平衡。如果3个零件中有1个较重的次品，任意取2个放在天平两端，天平可能平衡，也有可能不平衡），感受解决问题策略的多样性和优化思想，培养观察、分析、逻辑推理的能力，并学习如何用直观的方式清晰、简洁、有条理地表示逻辑推理过程。在教学中，如何清晰地表达数学思维的过程，如何理解解决问题策略的多样化和优化，如何运用“比较—猜想—验证”的策略发现数学结论，如何把复杂问题转化为简单的问题，如何把具体问题推广为一般问题，都是在解决问题过程中需要考虑的。这些蕴含在解决问题过程之中的隐性的“形成性能力”或许恰恰是过去数学教育中容易忽视的，教师在日常教学中能否重视这些能力的培养，直接决定了学生综合能力的高低。并且，这些能力的获得不仅局限于促进数学学习，甚至可以延伸至其他学科，乃至未来学习、生活和工作的方方面面。在设计教学时，我们要注意以下“误区”：

误区一：利用实物天平进行试验，可以使教学过程更直观

某教师在教学时，为了使教学过程直观形象，课堂开始就让学生4个一组用实物天平称“零件”，从3个“零件”中找出较轻的“次品零件”。学生在试验过程中，每一次称时，都需要对天平进行调节与处理，一个简单的试验，耽误了一半的课堂时间，而且有的小组看不清楚，实验效果也不明显。很多教师在教学本课之初，受课本情境图的影响，或多或少都走过类似的误区。由此，教师在教学时，都需要考虑一个问题：我们需要的工具应该是一架什么样的天平？

“找次品”问题中的天平，只能通过零件之间的称量进行比较，并不是一定要通过天平称，而是利用天平平衡的原理通过逻辑推理确定出次品。所以，在教学时，教师所用的天平并不是一架实物天平，而是一种抽象的数学化形式的天平。在解决问题的过程中，实际上是用头脑中建立的天平表象，反复地进行“如果平衡，那么……”“如果不平衡，那么……”的逻辑推理过程。当物品总量比较多时，步骤相应增加，很容易表述不清，如果仅用文字表达式，由于前后步骤之间的层层套叠关系，表述起来也显得冗长烦琐。教师可以引导学生使用直观图或流程图，配以相应的文字说明，可以比较简洁而又清晰地表示出逻辑推理的整个过程，让人一目了然。如：9个零件怎样称的次数最少找出次品呢？先可以这样分3份，即（4，4，1）：

还可以平均分成3份，即（3，3，3）：

让学生利用天平模型来直观演示和操作，这样不仅可以节约课堂教学时间，同时又训练了学生的逻辑推理，提升了学生的数学思维能力，为后面脱离具体的实物操作，实现从具体形象思维到抽象逻辑思维的过渡奠定了良好的基础。而如果用实物天平进行试验，不仅麻烦费时，也不会出现“假如平衡，那么……”“假如不平衡，那么……”的情况，只会出现其中一种，要么平衡，要么不平衡，達不到预期的教学目的。

误区二：“至少”“能保证”次数等于“运气好”的偶然次数

“至少称几次能保证找出次品”是理解的难点。在教学时，教师要帮助学生理解“至少”“能保证”的含义是关键，而不少教师则很纠结于如何向学生说清二者的含义，“至少”表示最少，但为了“保证找出次品”又要考虑不凑巧的情况——所需次数更多。要往“最少”想，又要考虑次数更多的情况，似乎有点矛盾，怎么向学生说清楚呢？如，找5个零件的次品问题中，第一次可以“1┬1”，也可以“2┬2”，如果在天平两端各放1个零件，假如不平衡，1次可以找出次品，假如平衡，2次可以找出次品;如果是第二种方法，在天平两端各放2个零件，假如天平平衡，次品就是外面的那个，1次就能找出次品。假如不平衡，次品就在翘起的2个中。再把翘起的托盘中的两个零件放在天平两边，翘起的那个就是次品。教师根据学生的椎理，板书“5（221）→2（11）”，称2次才能找出次品。呈现两种称法的两种结果，让学生思考：找出5个零件中的次品，至少要称几次才能保证找到次品？此时学生会出现争议：有的学生认为1次，有的学生认为2次。结合争议与思考，学生很容易理解，虽然1次比2次少，而称1次就找到次品是“运气好”，“运气不好”就找不到次品，属于偶然情况。而这里要求的是保证找到次品所用的最少次数，不能只考虑偶然情况，所以要“至少”称2次才能“保证找出次品”。进一步让学生明确“能保证”就是指每一条“可能的路径”都要考虑到，不能仅停留在“运气好”的情况;“至少”就是指在保证一定能找出次品的各种方法中，称量次数最少的那种方案。

“找次品问题”是数学中一类经典智力问题，吸引着众多数学爱好者孜孜不倦地寻求一般性解决方法。“找次品问题”又细分为许多类型，有的类型解决起来相当复杂，在探究过程中，教师要认真思考，引导学生“从简单问题入手”，会用符号记录问题解决的过程，将思维过程外显化，便于学生、教师之间的沟通交流，使不同层次的学生以符号语言为依托，为研究更为复杂的“找次品问题”提供了有效的交流保证。