山西省2021年中考数学试题分析对教学的启示

宋新莲

(吕梁英杰中学，山西 吕梁 033000)

2021年山西中考数学试题以《义务教育数学课程标准(2011年版)》的具体目标和要求为依据,考查学生能力和素养,引导师生关注生活中的数学,体会数学的价值。

一、试题特点

1.落实课程目标,注重考查“四基”

试题以《义务教育阶段数学课程标准(2011年版)》为依据,立足于学生的基础知识、基本技能、基本思想与基本活动经验突出对数学核心知识的考查，其中知识性、技巧性试题的难度明显下降,题型为学生最常见的基础性试题,关注了学生对基础知识、基本技能的理解和掌握如第16题,第17题。

2.注重跨学科整合及阅读能力的考查

十几年前,我国中考、高考就设有“文综”“理综”,可由于种种主客观原因,一直名不副实。华东师范大学杨向东教授对此提出异议,认为不跨学科教学,就难以培养核心素养。核心素养强调“关键能力”和“必备品格”,包括培养学生解决实际问题的综合能力。要达到此目的,必须打破学科界限。如第20题,以“图算法”为背景将物理与数学有机整合,体现数学的工具性。试题以“阅读—评价—验证”的形式呈现,阅读内容选自一篇真实的科普材料,材料列举了物理学科中的两个例子说明什么是图算法。第一个是摄氏温度与华氏温度之间的换算问题,第二个是有关并联电路的电阻。此题所涉及的两个任务中,第二个任务是分别运用物理公式和几何知识验证图算法的正确性,考查了学生用数学知识解决物理问题的能力,是典型的跨学科试题。

3.创设真实的任务情境,强调问题解决,考查学生的应用意识和创新能力

问题解决是体现学生核心素养的重要手段,如第21题,计算公园导览指示牌；第18题,用方程思想解决从“风景区”到“太原机场”路线的选择,都以实际生活中的应用为背景,考查学生参与社会所需要的知识与技能,引导学生利用数学模型解决生活实际问题,引导学生关注生活,发展学生的应用意识和创新能力。

4.弘扬数学文化,考查数学思想

数学文化是指数学的内容、方法、思想和精神,以及在其形成和发展过程中的人文、历史及与之相关的社会文化。数学文化是人类文化的重要组成部分,弘扬数学文化可以激励学生爱数学、学数学的积极性。今年我省中考数学试题继续加大了对阅读素养的考查,引导教师和学生关注数学文化。如第8题以勾股定理为背景,再现数学家的发现,引导学生阅读数学课外资料,关注数学文化,提升学生独立思考、获取信息、反思质疑和迁移运用的能力,同时也考查探究能力。第19题以“传承中华经典,庆祝建党百年”为主题,以教育部印发《关于举办第三届中华经典诵写讲大赛的通知》为背景,考查学生的数据分析能力、用列表法或画树状图法求随机事件的概率。试题选材新颖,高度体现了山西省中考命题改革“一核·六维·四手段”的命题思想,创设了真实的问题情境,情境与任务高度融合。试题在考查学生数据分析能力的同时,渗透中国传统经典文化,引导学生关注中国文化,激发爱国热情。同时,试题在关注学生运用数据分析观念解决问题的同时,引导学生思考“能否用扇形统计图反映有意向参与各类比赛的人数占被调查总人数的百分比”,打破了以往统计试题中,被调查对象各部分所占百分比等于1这一传统考查形式,关注学生能否理性作出理性的思考与判断,即“本试题中有意向参与比赛的人数占调查总人数的百分比之和大于1,故而不能用扇形统计图描述数据特征”,发展了学生的批判、质疑、反思与评价能力。

5.重视对“综合与实践”的考查

“综合与实践”是一类以问题为载体、以学生自主参与为主的学习活动,是教师通过问题引领、学生全程参与实践过程相对完整的学习活动。在学习过程中,学生将综合运用“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”等知识和方法解决问题。“综合与实践”是义务教育数学教学的内容之一。如第22题,试题以“折纸”实践操作为主,由易到难,引导学生在动手实践的基础上进行猜想、验证、求解。此题解法多样,体现思维的开放性,学生可以从不同角度去思考、探究,寻求解决问题的策略和方法。考查了学生直观想象、合情推理、演绎推理、创新思维能力和综合运用所学知识解决问题的能力,是典型的“综合与实践”试题。在“六个维度”中属于“落实活动建议”的试题,全面考查学生的综合与实践能力。

6.考查学生阅读能力及表达、交流与共享能力

阅读及表达、交流与共享既是学生学习能力的体现,又是学生沟通数学知识之间、数学与其它学科、数学与实际生活的工具。试题创设各种问题解决的情境,考查学生的表达、交流与共享能力。如第16题(2);第19题(3),描述数据、分析数据、得出结论的过程第20题,分别以阅读与思考的形式考查学生阅读、推理、表达等能力。

二、数据分析

1.总体情况

参考人数平均分最高分优秀人数优秀率及格人数及格率 4477265.512034467.74%2336652.5%

2.试题难度

试题难度0.55;

试卷质量分析

1.客观题难度及质量分析

均分、难度分布情况

题号12345678910 难度0.930.960.780.770.530.70.820.870.620.33

从客观题难度系数分布折线图看,整体上呈现由易到难的分布趋势,难度分布较为合理，其中第5小题难度系数在0.53,属于难度中等偏下试题,说明这道题会做的同学约占到55%左右。

2.解答题难度及质量分析

从主观题难度系数分布折线图看,整体上呈现由易到难的分布趋势,难度分布较为合理，其中第20题难度系数为0.4,说明学生的阅读与动手探究能力较差,学生最大的问题就是读不懂,不能静下心来读题,脑子里一片空白,阅读能力很差,阅读材料后提取不出有用信息,导致不知如何下手;其次是部分学生识别基本图形的能力差，第22、23题难度系数分别是0.19、0.28,从试卷答题情况来看,学生几何推理能力较差,几何基本图形识别与构造经验匮乏。

小题满分最高分最低分平均分标准差难度区分度得分率 11-1515158.414.790.560.7856.06% 1610106.983.270.690.7869.8% 17663.842.640.640.9764% 18773.653.090.520.9952.14% 1910106.623.50.660.8666.2% 20883.272.550.40.840.87% 21884.233.630.52152.87% 2213132.542.540.190.4419.53% 2313133.742.850.280.5228.76%

三、学生的典型答案

第16题答题情况

第2小题:任务一填依据,依据正确的有:乘法分配律、分配律、分配运算律，或用字母表示乘法分配律公式a(b+c)=ab+ac或者a(b-c)=ab-ac。字母可以不用abc表示。典型错误有:乘法运算律、乘法结合律、交配律、公配律、分配、分配率,不等式的性质,去括号、去括号法则，乘法分配律的逆运算等,其中去括号和去括号法则比较多。

关于错误的理由,出现的正确答案有:

1.不等式两边都乘以负五分之一(或者不等式两边都除以-5)，不等号的方向没有改变。

2.不等式两边都乘以一个负数(或除以一个负数)，不等号的方向没有改变。

3.不等式两边都乘以或除以一个不为零的负数，大于号应变成小于号(没有把>变成<)。不等号的符号方向没有改变等等。

4.不符合不等式的性质。

5.不遵循不等式的性质。

6.一次项的系数是负的,把系数化为1时应变号。

典型错误:

1.两边全是负数,应改变不等号的方向。

2.未知数前的常数项是负数,应改变不等号的方向。

3.x前面是负数要变号。

4.不等式中去负号(去系数、去系数的负号、去掉-5)要变号。

5.两边同乘负号不等式要变号。

6.有分式、方程、移项等等字样的。

7.两个负数相除,负负得正,大于号应变小于号；左边是负数或者X是负数,变成正数时要变号等。

第17题答题情况

典型错误:

1.解:设最小数为xx·x+8=65 (没有加括号)

2.解:设最小数为x,则最大数为x-8 (大小数不分)

3.解:设最小数为x

x·(x+8)=64或x·(x+8)=56(两种情况都是常数写错)

4.解:设最小数为xx(x+7)=56(最大与最小数差8,方程错误)

5.解:设最小数为x,最大数为(x+1)+7

x·(x+1)+7=65(没有加括号)

6.解:设最小数为x,那么最大数为(x+8)

x+(x+8)=65(列方程错误)

8.解:设最小数为x,那么最大数为(x+8)

x·(x+8)=65x=±5 (解方程错误)

9.解:设最小数为x,最大数为Y

则xy=65(一个二元方程没法求未知数)

10.解:设最小数为x,那么最大数为(x+8)

x·(x+8)=65

x2+8=65(去括号时丢未知数)

11.解:设最小数为x,那么最大数为(x+8)

x·(x+8)=65x2+8x=65

x2+8x+16=65-16或(x+4)2=49(配方错误)

12.解:设最小数为x,那么最大数为(x+8)

x·(x+8)=65x2+8x=65

(x+4)2=81x±4=9(解方程错误)

13.解:设最小数为x,那么最大数为(x+8)

x·(x+8)=65x2+8x=65

14.解:设最小数为x,那么最大数为(x+8)

x·(x+8)=65解得:x1=13,x2=-5(解方程错误)

15.解:设最小数为x,那么最大数为(x+8)

x·(x+8)=65解得:x1=5,x2=-13

答:最小数为-13 或 答:最小数为x(最后答题错误)。

答:最小数为5 (分式方程没有检验)。

17.解:设最小数为x,那么最大数为(x+8)

x·(x+8)=65解得:x=5,(丢解)

答:最小数为5。

18.解:设最小数为x,最大数为Y

答:最小数为5。

其他解法:

1.解:设最小数为x,那么最大数为(x+8)

x·(x+8)=65解得:x1=5,x2=-13

答:最小数为5。

经检验,x=5 是方程的解。

答:最小数为5。

3.解:设最小数为x,最大数为Y

答:最小数为5。

4.解:设最大数为x,那么最小数为(x-8)

x·(x-8)=65解得:x1=13,x2=-5最小数为 13-8=5

答:最小数为5。

5.解:设最小数为x,最大数为Y

答:最小数为5。

第18题答题情况

典型错误:

1.数量关系分析不清;

2.设未知数和列方程数量不对应;

2.不会解分式方程;

3.解出分式方程不检验;

4.计算错误;

5.前后单位不统一。

其他解法:

4.设走路线一到达太原机场的平均速度为x千米/分钟

25÷1=25(分钟)

5.设走路线一到达太原机场的平均速度为x千米/小时

6.设走路线一到达太原机场的平均速度为x千米/秒

7.设走路线一到达太原机场的平均速度为x米/秒

8.设走路线一到达太原机场的平均速度为3x千米/分钟，走路线二到达太原机场的平均速度为5x千米/分钟

9.设走路线一到达太原机场的平均速度为3x千米/小时，走路线二到达太原机场的平均速度为5x千米/小时

10.设走路线二到达太原机场需x分钟

18+7=25 (分钟)

11.设走路线二到达太原机场需x小时

12.设走路线二到达太原机场需x秒

1080+420=1500(秒)

13设走路线二到达太原机场的平均速度为x千米/分钟

14.设走路线二到达太原机场的平均速度为x千米/小时.

15.设走路线一到达太原机场需x分钟,其平均速度为y千米/分

16.设走路线一到达太原机场需x小时,其平均速度为y千米/小时

第19题答题情况

典型错误:

1.将“参与本次问卷调查的总人数”与“有意向参与各类比赛的总人数”混淆;

2.对能否用扇形统计图反映的理由表述语言不条理,重复啰嗦,不能简明扼要地表述自己的理由;

3.误认为第(4)小题是抽取不放回,导致列表或画树状图整体错误,部分学生列表或画树状图时细节方面不规范。

第21题答题情况

(一)辅助线的正确做法有:

1.过点A作AH⊥EF于点H,交直线DG于点M。过点B作BN⊥DG于点N,BP⊥AH于点P。

2.过点A作AH⊥EF于点H,交直线DG于点M。BP⊥AH于点P,过点C作CN⊥BP于点N。

3.过点B作BN⊥DG于点N,延长NB,过点A作AM⊥NB延长线于点M.

4.过点A作AH⊥EF于点H,交直线DG于点M。BP⊥AH于点P,过点M作MN∬BC,交BP于点N。

辅助线典型错误有:

1.彻底不会,没做。

2.辅助线画图正确,但不会用语言准确表述辅助线。

3.用语言描述辅助线之后,不在图上画出。

(二)求AP(即点A到点B的垂直距离)长度正确做法:

应利用∠ABC-∠BCD=∠ABP=45°,在直角三角形ABP里利用45°的正弦值求得70.7。

典型错误:

1.没有求得∠ABP=45°而直接的想当然说AP=BP。

2.计算错误。

(三)求BN(即点B到DG的距离)长度正确做法:

应在直角三角形BCN中,利用∠BCN=75°的正弦三角函数值求得BN=77.6。

典型错误:

1.在直角三角形BCN中,利用∠BCN=75°的正弦三角函数值。

2.计算错误。

(四)求点A到地面EF的距离正确的方法:

应是点A到点B的垂直距离+点B到DG的距离+DE=77.6+70.7+5=153.1,并且有答的步骤。

典型错误:

1.计算错误

2.不答

四、亮点试题分析

第20题:

方法一:

过点A,B作直线BC的垂线,垂足为M,N

易证△AOM∽△BON, △ACM∽△BCN

在Rt△AOM中,

设CM=3x,CN=2x

方法二:建立如图所示的平面直角坐标系

设直线AB的解析式为y=kx+b

令x=0,得,y=3

OC=3

方法三:

在Rt△OBF中,

∵∠EBF=30°,OB=5

在Rt△OCE中,设OC=2x,则OE=x,CE=2x

∵△AEC∽△AFB

解得x=1.5

∴2×1.5=3

方法四:

过点C作CE∥OA

∴△BCE∽BAO

易证△COE是等边三角形

∴OE=OC=CE

设OC=x,则CE=OE=BE=5x

∴x=3

∴OC=3

方法五:

在Rt△OBE中，

在Rt△OBE中,

∵S△AOB=S△AOC+S△BOC

方法六:

∵OA平分∠EOM，AE⊥OE,AM⊥OM，

∵S△AOB=S△AOC+S△BOC

∴OC=3

第22题

方法一:

证明:过点D作DQ⊥BC于点Q,连接FQ

∵BE⊥AD

∴∠BED=90°

在□ABCD中,AD∥BC,

∴∠EBQ=90°

∵DQ⊥BC

∴∠BQD=90°

∴四边形BEDQ是矩形

∴DE=BQ

在Rt△CDQ中,点F是CD的中点

∴∠EDQ+∠FDQ=∠BQD+∠FQD

∴∠EDF=∠BQF

∴△EDF≌BDF

∴EF=BF

方法二:

∵四边形ABCD是平行四边形

∴AB∥CD，AB∥CD

∵点F，Q分别是AB，CD的中点

∴DF∥AQ，DF=AQ

∴四边形ADFQ是平行四边形

∴AD∥FQ

∴∠QOB=90°

在Rt△ABE中，点Q是AB的中点，

∴EQ=1/2AB=BQ

∴FQ垂直平分BE

∴FE=FB

方法三:

过点F作FQ⊥BC于点Q，延长QF，AD，交于点G

在□ABCD中，AD∥BC，

∴∠G+∠GQB=180°

∴∠G=90°

∵点F是CD的中点

∴CF=DF

∠DFG=∠CFQ

∴△DFG≌△CFQ

∴GF=QF

∵BE⊥AG

∴四边形BEGQ是矩形

∴EG=BQ

∴△EGF≌BQF

∴EF=BF

(2)方法一:

连接CC’，交BF于点Q

由折叠可得，BF垂直平分CC’

即点Q是CC’的中点

∵点F是CD的中点

∴FQ是△CC’D的中位线

∴FQ∥DG

在□ABCD中，AD∥BC，AB=CD

∴四边形DGBF是平行四边形

∴DF=BG

方法二:

延长DG至Q，使GD=DC’

∴DC’+C’G=GQ+C’G

∴DG=C’Q

由折叠可得FC=FC’，BC=BC’

∴∠1=∠2

在平行四边形ABCD中，AD∥BC，AD=BC,∠C=∠C’

∴∠ADC+∠C=180°，AD=BC’

即∠3+∠1+∠C=180°

又∵∠2+∠FC'B+∠4=180°

∴∠3=∠4

∴△ADG≌△BC’Q

∴AG=BQ，∠Q=∠AGD

又∵∠AGD=∠BGQ

∴∠BGQ=∠Q

∴BQ=BG

∴AG=BG

方法三:

∵四边形ABCD是平行四边形

∴∠A=∠C，AD=BC，AB∥CD，AB=CD

由折叠可得，FC=FC’,∠3=∠4

∵点F事CD的中点

∴DF=CF

∴DF=C’F

∴∠1=∠2

又∠CFC’是△C’DF的外角

∴∠CFC’=∠1+∠2

即∠3+∠4=∠1+∠2

∴∠1=∠4

又∵AB∥CD

∴∠1=∠AGD

∴△ADG≌CBF

∴AG=CF

∴AG=BG

方法四:

分别延长DG,CB交于点M

在平行四边形ABCD中，AD∥BC，AD=BC

∴∠4=∠M，∠ADC+∠C=180°

即∠1+∠4+∠C=180°

由折叠可得，FC’=FC，∠C=∠FC’B

∴∠1=∠2

∵∠2+∠3+∠FC’B=180°

∴∠3=∠4

∴∠3=∠M

∴BC’=BM

∴BM=AD

∴△ADG≌△BMG

∴AG=BG

方法五:

过点A作BC’的平行线,交DG的平行线于点M

∴∠M=∠3

同方法四可证∠3=∠4

∴∠4=∠M

∴AD=AM

由折叠得BC=BC’

平行四边形ABCD中，AD=BC

∴AM=BC’

又∠BGC’=∠AGM

∴△AGM≌△BGC’

∴AG=BG

第23题:

(2)方法一:

①BD=BC时,BDEC是菱形

如图1,连接BE,与CD交于点P,则点P是CD,BE的中点,且BE⊥CD

过点P作x轴的垂线，垂足为M

则AM=PM=4，∴点P的坐标为(-2,-4)

设点E1的坐标为(x1,y1)

解得，x1=-6,y1=-8

∴点E的坐标为(-6，-8)

②CD=BC时,过点D作DF⊥y轴,

如图2,连接CE2,交BD于M2

设E2(x2,y2)

方法二:

① 如图1,求点P坐标与方法一相同,分别过点P,E1作x轴的垂线,垂足为M,N

∴BN=8,NE1=8

∴E1(-6，-8)

②如图2，求点P’坐标与方法一相同，分别过点P’,E2作y轴的垂线，垂足为，M’,N’.

由△P’M’C∽E2N’C，得

方法三:

①当BD=BC时

过点作x轴的垂线,垂足为点M

过点E1作E1⊥DM

∵BD=BC

∴∠BDC=∠BCD

∠BDC是△ABD的外角，

∠BDC=∠1+∠2

∠BCD=∠3+∠4

即∠1+∠2=∠3+∠4

∵OA=OC

∴∠2=∠4=45°

∴∠1=∠3

∵DE∥BC，DN∥y轴

∴∠EDC=∠BCD，∠NDC=∠OCD

∴∠5=∠3

∴∠1=∠3=∠5

BC=BD=DE,∠N=∠DMB=∠BOC

∴△BOC≌△DMB≌END

∴DN=EN=OB=2,BM=DN=OC=6,

∴点E的坐标为(-6，-8)

②如图2,当CD=BC时,

过点E2作x轴的垂线,垂足为Q

∵DE∥AC

∴∠ABE2=∠CAO=45°

五、对今后教学的思考

1.重视“四基”落实

多数学生在基础知识上面丢分比较严重,基础知识掌握的不扎实，成为影响学生的学有水平或学校整体教学质量水平的重要因素，建议在今后的教学中,认真落实课程标准的目标要求,加强对课标规定的“核心知识”的训练力度,一切先从基础知识入手,将基础知识与基本技能落实到位,不敢一味的追求难题，学生的基础知识掌握扎实了,能力自然就会提高。

2.加强对几何基本图形的教学,培养学生的几何直观能力

建议今后加强基本图形的教学,有意识筛选整理教材中的基本图形,将基本图形进行提炼与归类,帮助学生形成知识网络结构,从图形性质、图形变换等不同角度认识内化基本图形,提高学生分解与构造基本图形的能力，如第23题,本质也是几何基本图形的构建。

3.关注时代特征和社会热点,培养学生的应用意识和创新能力

今年试题以“2022北京冬奥会”“太原地铁2号线”“传承中华经典,庆祝建党百年”等为背景设计问题,考查学生的几何直观、数据分析能力、抽象数学模型等学科素养,引导师生关注生活中的数学,体会数学的价值。

这类型试题要求学生有良好的将实际问题转化成数学问题的能力，但教材中的例题,多数背景比较简单,都是直接已知什么、求什么,学生容易分析其中的数量关系，而结合时代背景类试题由于有了实际背景的干扰,给学生提炼数量关系的困难加大,稍微审题不清就会出现错误,所以教学中应经常关注社会生活,注重情感设置,要多选择符合时代背景的实际应用题,引导学生从所熟悉的实际生活和相关学科的实际问题出发,通过观察分析,归纳抽象出数学概念和规律,让学生不断体验数学与生活的联系,在提高学习兴趣的同时,提高学生数学建模能力,发展学生的应用意识，同时要加强思维能力和创新意识的培养。在教学中,要激发学生的好奇心和求知欲,通过独立思考,不断探究新知,发现、提出、分析并创造性地解决问题,使数学学习成为再发现、再创造的过程,教师应选配或设计一定数量的开放性问题、探索性问题,为培养学生的创新意识提供机会,鼓励学生对某些数学问题进行探讨。

4.注重学生审题能力的培养

审题是一种能力，更是一种习惯。审题能力差是考生失分的重要原因,相当一部分学生因为审题不过关而丢分，建议教师在教学中把提高学生的审题能力当作一项重要课题来抓,不要包办学生读题,将读题的权利交给学生。

5.注重阅读能力的培养,培养表达交流能力

考查学生的阅读素养是中考命题改革的六个维度之一,山西省每年都会考阅读材料试题。这类试题要求学生能从陌生的情境中提炼出有用的信息(知识与方法),然后运用有关信息解决所提的问题，建议教师在教学中有意识的开展阅读教学,教材中每一节内容对于学生来说都是新材料,都是学生之前学习没有接触过的内容,所以教师将教材中便于学生自主学习的内容加工成阅读材料,通过学生的自主阅读与合作交流进行学习,切实提高学生的阅读能力。

6.加强综合与实践、综合与探究的能力的培养

第22题考查学生的综合与实践、综合与探究的能力,“综合与实践”是一类以问题为载体、以学生自主参与为主的学习活动,是教师通过问题引领、学生全程参与实践过程相对完整的学习活动。在学习过程中,学生将综合运用“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”等知识和方法解决问题，从而培养学生运用知识解决综合问题的能力。