基于二次重构的稳健波束形成算法

潘懋舜，李利荣，胡永东，柯 凡，巩朋成

（湖北工业大学 太阳能高效利用及储能运行控制湖北省重点实验室，湖北 武汉 430068）

0 引言

稳健自适应波束形成器可以随着外界环境的变化而相应地调整到合适的值，以保持波束主瓣形状和指向基本不变，并在干扰方位设置信号陷阱，使得阵列接收的干扰能量可以忽略，从而让阵列尽可能接收更多的期望信号。传统的稳健自适应波束形成器仅在条件为理想时输出增益较高，但在实际波束形成中，因为阵列的信息难以完整获取导致阵列模型不完全匹配，使得输出增益急剧下降。另外，当存在严重阵列误差时，部分算法的波束主瓣形状和指向可能被改变，则期望信号将等同于干扰被部分或者完全消除，这种情况被称为信号对消现象[1]。

传统的稳健波束形成算法在处理阵列模型失配的问题上存在着各种问题，例如，对角加载波束形成算法的加载量不易快速准确获取[2]，不确定类集算法的计算复杂度较高以及抗导向矢量较大失配的性能较弱[3⁃6]。针对上述缺点，文献[7]提出了一种构造期望信号相关矩阵，结合信号子空间与协方差矩阵的快速估计导向矢量的稳健波束形成算法，该算法能对抗较大导向矢量失配且计算复杂度低，但其主瓣抗干扰性能较差。文献[8]利用子空间投影方法，能够抵抗一定的导向矢量角度失配，且它适用范围广，实现简单。但该方法抗干扰性能差，不能抵抗较大的角度失配，也不适用于低信号功率的情况，而且该算法必须提前预估子空间的维数。为了得到较理想的协方差矩阵和准确的导向矢量，文献[9]首先提出利用功率谱函数对角度的线性积分重新构造出干扰加噪声协方差矩阵（Interference and Noise Covariance Matrix，INCM），并结合凸优化估计导向矢量，该算法抗失配性能良好，但仍然没减少计算量。文献[10]提出利用干扰相关矩阵得到干扰子空间，利用它与信号的正交性直接剔除接收数据期望信号成分，进而重构出INCM，并结合凸优化估计导向矢量，与文献[9]性能相差不大，但计算量仍然较大。

针对阵列失配的问题，本文提出了一种利用正交投影重构阵列接收信号后，再使用积分重新构造协方差矩阵的算法。该算法利用低分辨功率谱对干扰所在方位区间构造干扰相关矩阵[4]，再对该矩阵进行奇异值分解或者特征分解，得到干扰导向矢量子空间，在接收数据的同时，直接利用导向矢量的正交性将快拍中的期望信号去除，得到重建阵列接收信号及初步协方差矩阵[7]，接着利用该矩阵和Capon 功率谱对干扰所在区间积分构造最终的INCM。利用与INCM 类似的重构步骤得到期望协方差矩阵，并求得该矩阵的信号子空间，选取信号子空间中最合适的特征向量作为估计的期望信号导向矢量。本文通过对求解噪声子空间投影算子等理论的分析和设计相应的仿真实验，验证了本文算法的可靠性。

1 窄带信号模型

设阵列接收模型为等间距线性阵，每个阵元的位置相距d（d=0.5λ，λ为信号波长），共由M个全向阵元构成。考虑窄带信号源与接收阵列距离很远，则每个信号入射方向与线阵上任一阵元的夹角可看作相等。选取信号入射角度集合为{θl,l=0,1,2,…,P}，θ0的方向为期望信号方向，因此入射信号源的总数为l=P+1。则阵列的第k次快拍接收信号为：

式中：x(k)为M×1维接收信号向量；A=[a(θ0),a(θ1),a(θ2),…,a(θP)]H，为M×(P+1)的阵列导向矢量矩阵，a(θ0)为期望信号导向矢量，其余为干扰信号导向矢量；s(k)=[s0(k),s1(k),s2(k),…,sN(k)]H为信号源矢量，(⋅)H代表共轭转置；n(k)为复高斯白噪声，与入射信号互不相关。那么阵元接收的采样协方差矩阵可以表示为：

式中：为期望信号的功率，为第l个干扰的功率，l≠0；E{⋅}代表取期望；I为M维单位矩阵。一般Capon 最优权矢量表示为：

然而在实际中，理想的协方差矩阵R以及无误差的期望信号导向矢量a(θ0)均难以获得，所以计算权矢量时需要使用采样协方差矩阵和名义导向矢量(θ0)替换上述值，则式（3）改写为：

理论上，在快拍数取无穷大时，式（4）的值接近于理想值，但在实际应用中，利用有限的快拍数不能得到理想协方差矩阵，并且期望信号的存在，使得高输入SNR的条件下算法输出增益降低。近些年出现的INCM 重构类算法有效剔除了协方差矩阵中的期望信号，使得上述权值矢量计算更加准确，但估计期望导向矢量的运算量很大，这也是该类算法亟待解决的问题。本文所提算法在INCM 重构类算法的基础上[10⁃11]，减少了期望导向矢量的估计时间，相比传统INCM 重构类算法性能更优。

2 等效信号子空间

本节是基于线性代数和子空间理论的一种理论应用推导[12]。

假设空间中不包含噪声，则阵列接收信号模型变为：

可知x(k)为信号导向矢量矩阵A=[a(θ0),a(θ1),a(θ2),…,a(θP)]H中列向量的线性组合，由线性代数理论可知，x(k)属于阵列信号导向矢量{a(θ0),a(θ1),a(θ2),…,a(θP) }张成的子空间，即：

式中：C 为复数域；把上述导向矢量a(θj)线性表示的集合称为信号子空间。

在存在噪声的环境中，由子空间投影理论知，x(k)可表示为它本身在信号子空间和噪声子空间的投影之和，即：

3 基于重构信号的INCM 重构算法

与以往的协方差矩阵重构算法不同，本文从重建阵列接收信号的角度来构造INCM，比传统INCM 重构类算法更精确，并且利用与重构INCM 相同的理论，得到期望协方差矩阵，并求得该矩阵的信号子空间用于估计期望信号导向矢量。仿真结果表明，同等条件下本文算法性能更优。

3.1 干扰加噪声协方差矩阵重构

对于一个接收阵列模型而言，其入射信号的数量是有限的，故它们的位置相对于整个入射区间是稀疏分布的。利用低分辨功率谱搜索能得到各信号所在的大致方位角扇区，并将整个区域Θ划分为两个互补的信号角扇区ΘI和非信号角扇区而信号角扇区ΘI包含多个信号，故可划分为互不重叠的信号角扇区，且每个角扇区仅包含单个信号。定义Θs和Θi分别为期望信号角扇区和干扰角扇区，且ΘI=Θs+Θi。根据已知阵列的结构，定义矩阵Qi为：

式中：Θi表示包含干扰的角扇区(θ)表示阵列导向矢量。可知Qi包含了干扰区域的空间信息，将Qi特征分解得到：

式中：Σ=diag[γ1,γ2,…,γM]，Y=[y1,y2,…,yM]分别为对角矩阵和酉矩阵。由本文第2 节介绍的等效信号子空间理论可知，Y中前L个较大特征值对应的特征向量组成的子空间Y1=[ ]y1,y2,…,yL，L

式中：j=1,2,…,P，P代表干扰信号的总数。因此，可以利用只剔除接收信号中的期望信号而保留干扰信号。式（15）的值与零的接近程度等价于a(θi) 与子空间Y1的正交程度，而这由L的选取决定，一般L的选择要保证Y1≠I。本文的仿真实验根据经验选择L=5。因此，利用式（15）可以直接从接收信号的快拍中消除期望信号分量，达到重构阵列接收信号和无期望信号的协方差矩阵的目的，即：

3.2 期望信号协方差矩阵重构与导向矢量估计

本小节利用已知先验信息，构造期望信号相关矩阵，利用干扰在该矩阵的等效信号子空间投影为零，重建只含期望成分的阵列接收信号，利用重构的阵列接收信号得到期望协方差矩阵，从而得到期望信号导向矢量。

取期望信号所在的角扇区Θs=[θ0-Δθ,θ0+Δθ]，Θs⊆ΘI，Δθ为包含期望信号的区间宽度。利用该区间和阵列导向矢量构造一个包含期望信号的导向矢量相关矩阵Qs，显然，它基本包含了全部的期望信号成分，且假定该区间无干扰成分，则该矩阵的计算表达式如下：

4 仿真分析

为了考察本文算法的综合性能，将本文算法与下列算法比较：对角加载（DL）、基于特征子空间波束形成（EIG）、导向矢量校正方法（RCBD）[4]、协方差矩阵重构（INCR）[6]。在仿真实验中，设阵列接收模型为一个相邻阵元间距为d=λ2 的线阵，阵元数为M=10，其中，λ是信号的波长；噪声矢量设定为服从N(0,12)的高斯分布。信号与信号、信号与噪声之间彼此无影响，是独立的。此外，为了减小实验误差，在保证每次实验相互独立的情况下，将实验重复100 次，实验结果为100 次实验值相加的平均值。

实验一：算法的波束图对比

参数设置如下：期望信号入射角为θs=0°，角度误差为5°，输入SNR 分别为5 dB 和20 dB，采样快拍数为200，两个干扰信号入射角为-40°，50°，其干噪比（Interference and Noise Ratio，INR）均为30 dB。期望信号分布区间为Θs=[θs-5°,θs+5°]，干扰信号分布区间为Θ1=[θ1-5°,θ1+5°]，Θ2=[θ2-5°,θ2+5°]。

图1a）表示输入SNR=20 dB 时各算法波束图。从中可以看出，本文算法与EIG 算法、RCBD 算法的主瓣波束均能指向真实的期望信号方向，但本文算法高抗干扰能力与DL 算法接近。由于EIG 算法、RCBD 算法是基于信号子空间的算法，当期望信号较强时，对干扰的抑制能力较弱。INCR 算法的主瓣波束指向与真实方向仍存在较小误差，而DL 算法虽然能准确的在干扰位置形成较深的零陷，但主瓣指向与真实的期望信号方向存在较大偏差，说明期望信号被部分抑制。

图1b）表示输入SNR=0 dB 时各算法波束图，从中可以看出，本文算法与INCR 算法、DL 算法波束形状基本不变，但EIG 算法和RCBD 算法的零陷加深了，说明它们在较低信噪比条件下的抗干扰能力较强。

图1 干扰位置分别为-40°，50°的波束图对比

实验二：输入SNR 和输出SINR 关系

参数设置：图2输入SNR的变化范围设为-20～50 dB，其他参数与实验一相同。

图2表示各算法输入SNR和输出SINR关系图。图2a）表示无导向矢量失配时各算法输出SINR 关系图，EIG、DL、RCBD 算法因为协方差矩阵含期望成分，所有在高SNR 情况下的不再上升。图2b）表示考虑存在导向矢量失配时输入SNR 较低的条件下，RCBD 算法的输出SINR比其他算法低，因为期望信号导向矢量估计不够准确。当输入SNR 较高时，本文与INCR 算法的输出SINR 较高，但本文算法略高，因为本文算法构造的INCM 更准确，而DL、EIG算法的输出SINR明显下降。

图2 输入SNR 与输出SINR 关系图

实验三：输出SINR 与快拍数关系

参数设置：图3a）采样快拍设为[0，50]，图3b）采样快拍设为[0，300]。其他参数设置与实验一相同。

图3a）表明：当快拍数低于50，仅存在角度失配且快拍数较低的情况下，本文算法的输出SINR 比其他算法高，说明本文算法能估计出准确的导向矢量，经过重构得到的干扰加噪声协方差矩阵比较理想。图3b）表明：当快拍数高于50 时，本文的输出仍然高于其他算法，DL 算法的协方差矩阵没有剔除期望信号，且期望导向矢量失配，因此输出性能最低；而EIG 算法虽能够改善期望导向矢量失配，但改善程度有限，且协方差矩阵仍包含期望成分，因此输出性能仅高于DL 算法。

图3 采样快拍与输出SINR 关系图

实验四：角度误差与输出SINR 关系

参数设置：导向矢量的角度误差区间设定为[-8°，8°]，其他参数与前述实验一致。

从图4 中可以看出：本文算法与RCBD 算法、INCR算法均能较好地抵抗角度失配，但本文输出SINR 更高。当失配的角度比较大时，DL 算法、EIG 算法的输出性能急剧下降，抗导向矢量角度失配性能较差，而EIG 算法不能处理较大的角度失配。

图4 角度误差与输出SINR 关系图

5 结语

针对传统的稳健波束形成器的不足之处，如计算复杂度较高、抗导向矢量较大、失配性能较弱等，本文提出了一种利用正交投影重构阵列接收信号后，再使用积分重新构造协方差矩阵的算法。该算法利用低分辨功率谱对干扰所在方位区间构造干扰相关矩阵，再对该矩阵进行奇异值分解或者特征分解，得到干扰导向矢量子空间，在接收数据的同时，直接利用导向矢量的正交性将快拍中的期望信号去除，得到重建阵列接收信号，然后计算得到初步INCM，接着利用该矩阵和Capon功率谱对干扰所在区间积分构造最终的INCM。利用与INCM类似的重构步骤得到期望协方差矩阵，并求得该矩阵的信号子空间，选取信号子空间中最合适的特征向量作为估计的期望信号导向矢量。由仿真实验结论可知，本文算法的抗导向矢量角度失配性能较强，即使出现较大的偏差，也能确保主瓣波束指向无偏差，在干扰位置形成的零陷无偏差。