牢记一个性质 巧解叠加双曲线

雷添淇

近年来，中考数学中涌现了一类将两个反比例函数图象“叠加”，使双曲线成对出现，设置“双动点”或“多点联动”的问题，下面向同学们介绍此类题的解题思路.

引例 点[A]，B分别在两个反比例函数[y=k1x]和[y=k2x]的图象上，若点[A]，B所连线段与坐标轴平行，求证：线段AB与原点所构成的三角形的面积等于[12k1-k2].

证明：已知点[A]，B分别在反比例函数[y=k1x]和[y=k2x]的图象上.

如图1，当AB[⫽]x轴时，延长[AB]交[y]轴于点[C]，因为[S△AOC=12k1]，[S△BOC=12k2]，所以[S△AOB=12k1-k2].

同理，如图2，当AB[⫽]y轴时，或无论[k1⋅k2>0]与[k1⋅k2<0]时，结论均成立.

[x][x] [A][B][y = [k1x]][y = [k2x]][y][O][x] [y = [k1x]][y = [k2x]][y][A][B][O] [y = [k1x]][y = [k2x]][B][A][y][O]

图2

熟练掌握该性质可以帮助我们顺利解决双曲线叠加类问题，下面举例介绍.

例1 如图3，平行于[x]轴的直线与函数[y=k1x]（[k1>0]，[x>0]），[y=k2x]（[k2>0]，[x>0]）的图象分别相交于[A]，[B]两点，点[A]在点[B]的右侧，[C]为[x]轴上的一个动点，若△[ABC]的面积为4，则[k1-k2=] .

解析：如图3，连接[OA]，[OB]，设直线[AB]交[y]轴于[D]，作[AF⊥x]轴于[F]、[BE⊥x]轴于[E].

∵AB[⫽]x轴，点[C]、点[O]均在[x]轴上，即△ABC与△AOB同底等高，

∴[S△ABC=S△AOB=S△AOD-S△BOD=12（S矩形ADOF-S矩形BDOE）=12（k1-k2）=4]，

∴[k1-k2=8].

故填8.

點评：（1）本题可以作为前文性质的拓展结论1：如图4，当点C在与AB平行的坐标轴上时，有[S△ABC=S△AOB=12k1-k2].

（2）此外，可再加入一个动点D，进一步拓展，得到以下拓展结论2：如图5，当点C，D在与AB平行的坐标轴上时，若[CD=AB]，则有[S▱ABCD=2S△AOB=k1-k2].

[A][B][y = [k1x]][y = [k2x]][y][O][x] [C][图4] [A][B][y = [k1x]][y = [k2x]][y][O][x] [C] [D][图5]

例2 如图6，已知反比例函数[y1=9x（x>0）]和[y2=5x（x>0）]，若点[P]在[y1=9x]的图象上，[PE⊥x]轴于点[E]，交[y2=5x]的图象于点[A]，[PD⊥y]轴于点[D]，交[y2=5x]的图象于点[B]，则[S四边形PAOB=]          .

解析：如图6，连接OP，

则[S四边形PAOB=S△POB+S△POA=12k1-k2+12k1-k2 =k1-k2=9-5=4].

故填4.

点评：（1）本题可以作为前文性质的拓展结论3：如图6，已知反比例函数[y1=k1x]（[k1>0]，[x>0]），[y2=k2x]（0 < [k2<k1]，[x>0]），若点[P]在[y1=k1x]的图象上，[PE⊥x]轴于点[E]，交[y2=k2x]的图象于点[A]，[PD⊥y]轴于点[D]，交[y2=k2x]的图象于点[B]，则[S四边形PAOB=k1-k2] .

（2）在本题中，还可以推导出如下结论：如图6，已知反比例函数[y1=k1x]（[k1>0]，[x>0]），[y2=k2x]（[k2>0]，[x>0]），若点[P]在[y1=k1x]（[k1>0]，[x>0]）的图象上，[PE⊥x]轴于点[E]，交[y2=k2x]（0 < [k2<k1]，[x>0]）的图象于点[A]，[PD⊥y]轴于点[D]，交[y2=k2x]（[k2>0]，[x>0]）的图象于点[B]，则[S△PAB=（k1-k2）22k1].

如图7，若点[P]在[y2=k2x]（[k2>0]，[x>0]）的图象上，[PE⊥x]轴于点[E]，交[y1=k1x]（[k1>k2>0]，[x>0]）的图象于点[A]，[PD⊥y]轴于点[D]，交[y1=k1x]（[k1>0]，[x>0]）于点[B]，则[S△PAB=（k1-k2）22k2].

请同学们自己完成证明过程.