解答非惯性参考系内动力学问题的三种思路

[摘 要]解答非惯性参考系内的动力学问题，既可以重选惯性参考系，又可以根据等效原理把非惯性参考系转换为惯性参考系，还可以对物体添加平衡力使物体的不平衡状态转换为其他的不平衡状态，甚至平衡状态，再分别进行解答。

[关键词]非惯性参考系;参考系转换法;运动状态转换法

[中图分类号]    G633.7        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2021）32-0054-03

当我们站在电梯中随电梯匀速上升或者匀速下降时，感觉和人静止站立在地面上时一样，此时支持力等于重力，合外力等于零，人相对电梯的加速度也等于零，符合“合外力等于物体质量与物体加速度相乘”的牛顿第二定律，电梯是惯性参考系。当我们站在电梯中随电梯开始上升或者开始下降时，随电梯即将停止上升或者即将停止下降时，感觉和人静止站立在地面上时不一样，此时人“超重”或“失重”，支持力大于或小于重力，合外力不等于零，而人相对于电梯的加速度却等于零，不符合“合外力等于物体质量与物体加速度相乘”的牛顿第二定律，电梯是非惯性参考系。参考系是惯性参考系还是非惯性参考系，是用牛顿第二定律解答动力学问题之前需要弄清楚的问题，否则就可能会判断错误。下面结合例题进行分析探讨。

题目：（2015年高考物理海南卷第9题）如图1所示，升降机内有一固定斜面，斜面上放一物块，开始时升降机做匀速运动，物块相对斜面匀速下滑。当升降机加速上升时（）。

A.物块与斜面间的摩擦力减小

B.物块与斜面间的正压力增大

C.物块相对于斜面減速下滑

D.物块相对于斜面匀速下滑

分析：该题中升降机开始时做匀速向上的运动，升降机和斜面对在斜面上运动的物块来说是惯性参考系，物块的运动符合“合外力等于物体质量与物体加速度相乘”的牛顿第二定律。此时在斜面上匀速下滑的物块受重力、支持力、滑动摩擦力三个力作用而平衡，支持力与重力沿垂直于斜面斜向下方向的分力抵消，滑动摩擦力与重力沿平行于斜面斜向下方向的分力抵消。升降机加速上升时，升降机内物体“超重”，原先在斜面上匀速下滑的物块受到的支持力、滑动摩擦力都变大了，而重力大小没有变，滑动摩擦力大于原先与其平衡的重力沿平行于斜面斜向下方向的分力，所以有人就推测出物块沿斜面减速下滑的结论，误选了选项C;这是没有考虑到斜面随升降机加速上升时斜面相对在斜面上运动的物块来说是非惯性参考系，物块的运动不符合“合外力等于物体质量与物体加速度相乘”的牛顿第二定律而导致的。

解答思路一，重选参考系

（1）升降机做匀速运动时，物块相对斜面匀速下滑，此时物块受重力、支持力、滑动摩擦力三个力的作用，如图2所示，合外力为零。将重力沿平行于斜面方向和垂直于斜面方向正交分解，三力平衡的受力情形就转化为两个二力平衡的受力情形。设斜面的倾角为[θ]，物块质量为[m]，重力加速度为[g]，用[N1]和[f1]分别表示支持力和滑动摩擦力，用[μ]表示动摩擦因数，则[mgcos θ=N1]，[mgsin θ=f1=μN1]，运算后可得[μ=sin θcos θ]。

（2）升降机加速上升时，由于升降机和斜面相对于在斜面上运动的物块来说是非惯性参考系，要用牛顿第二定律正确解答该题，需要重选惯性参考系。实践表明，对于一般工程技术中的动力学问题，在研究地面附近物体小范围内的运动时，地球是一个良好的惯性参考系，所以要正确解答该题可以选地面为参考系。在升降机和斜面以加速度[a]向上加速运动时，以物块为研究对象，将物块重力和斜面的加速度[a]沿平行于斜面和垂直于斜面两个方向正交分解，如图3所示。用[N2]和[f2]分别表示此时的支持力和滑动摩擦力，动摩擦因数不变仍用[μ]表示。在地面惯性参考系中，在垂直于斜面斜向左上方的方向上，物块和斜面紧贴，都以[acos θ] 的加速度斜向左上方直线加速运动。由牛顿第二定律可得

物块对斜面的压力与支持力是一对作用力和反作用力，二者始终等大反向且同时变化，支持力增大时压力同样增大，物块与斜面间的滑动摩擦力就随压力的增大而成正比例增大，即[f2=μmgcos θ+macos θ]。在地面惯性参考系中，在平行于斜面的方向上，斜面相对地面以[asin θ]的加速度沿平行于斜面斜向右上方做直线加速运动，物块可能又沿斜面减速下滑。设物块相对于斜面的加速度为[a′]，物块相对于地面惯性参考系、平行于斜面斜向上的加速度为[a′+asin θ]，由牛顿第二定律列出方程[f2-mgsin θ=ma′+asin θ] ，代入[f2=μmgcos θ+macos θ]和[μ=sin θcos θ]，可得相对加速度[a′=0]，所以物块相对于斜面的下滑是匀速下滑。由牛顿第二定律有[（f2-mgsin θ）÷m=asin θ]，可求出加速度为[asin θ]，要注意这不是物块相对于斜面这个非惯性参考系的加速度！这是物块相对于地面这个惯性参考系的加速度！这个加速度与斜面相对于地面沿平行于斜面斜向右上方的加速度[asin θ]等大同向，由此也可判断出物块相对于斜面的下滑是匀速下滑。

解答思路二，转换参考系

上述解答说明：解答动力学问题时，分析清楚参考系是否为惯性参考系是非常重要的。但重选惯性参考系是容易被忽视的解题步骤，有没有一种不需要重新选择惯性参考系的解题思路呢？

爱因斯坦思考了电梯向上加速运动造成的电梯内物体超重的现象，发现电梯向上加速运动时，电梯这个加速参考系就相当于给物体加了一个均匀向下的引力。他通过理想实验推断，“在一个加速参考系中做物理实验观察到的结果跟在引力场中的实验是没有区别的”，由此得到了广义相对论的“等效原理” （ 一个均匀的引力场与一个做匀加速运动的参考系等价 ）。

按照“等效原理”， 给“向上加速运动的升降机和斜面非惯性参考系”内的物块添加一个与加速度反向、与合外力大小相等的力后，“向上加速运动的升降机和斜面非惯性参考系” 内的物块就可看作“向上匀速运动的升降机和斜面惯性参考系” 内的物块。这个被添加的力，通常叫作“惯性力”， 这种解题方法可以称之为“参考系转换法”。

解答思路三，转换运动状态

对大多数学生来说，“惯性参考系”“非惯性参考系”“等效原理”“惯性力”都是生僻的难以理解的物理概念，“参考系转换法”也是个难以接受的思路。有没有立足于基本概念且通俗易懂的解题思路呢？

天空中的云是由许多小水滴和小冰晶组成的，可以悬浮在空中，此时重力被其他力抵消，小水滴和小冰晶处于平衡状态。当小水滴和小冰晶越来越大时，重力变大，小水滴受力不平衡就开始加速下落，但下落中又受到了空气阻力的作用。随着运动速度的增加空气阻力逐渐增大、加速度逐渐减小，当空气阻力增大到和重力大小相等时，加速度减到最小、速度增加到最大，小水滴和小冰晶就重新获得了平衡，以一定的速度匀速下落，直至落地。

这一自然现象说明，物体处于平衡状态是由于物体受力平衡，物体处于不平衡状态是由于物体受力不平衡， 处于不平衡状态的物体受到了新的作用力后运动状态会发生变化，有可能会重新获得平衡。同理，如果适当地给受力不平衡的物体添加一些大小和方向确定的作用力，物体的运动状态就可以发生转换，甚至转换到物体的平衡状态。这个添加的力可以称之为“平衡力”，这种解题思路可以称之为“运动状态转换法”。

升降机竖直向上加速运动时，物块在随斜面上以加速度[a]竖直向上加速运动的同时，可能又沿着斜面以大小为[a′]的加速度相对于斜面减速下滑。此时给物块添加平行于斜面沿斜面斜向下的恒力[ma′]，物块相对于斜面减速下滑的运动状态就转换为相对于斜面匀速下滑或相对于斜面静止的运动状态，物块与斜面不同的运动状态就转换为物块随斜面和升降机一起以加速度[a]相对地面竖直向上加速运动的同一运动状态，如图5所示。此解法与解答思路一类似，以物块为研究对象，将物块重力和斜面的加速度[a]沿平行于斜面和垂直于斜面两个方向正交分解，在垂直于斜面方向上和平行于斜面方向上分别由牛顿第二定律列出方程，[N-mgcos θ=macos θ]，[f-mgsin θ-ma′=masin θ]，再由[f=μN]，代入[N=mg+macos θ]和[μ=sin θcos θ]运算后可得物块相对斜面的加速度[a′=0]，即物块相对斜面的下滑是勻速下滑。

若在给物块添加平行于斜面向下的恒力[ma′]后，再给物块添加竖直向下的恒力[ma]，在其他受力都不变的前提下，物块以加速度[a]相对于地面竖直向上加速运动的不平衡状态就转换为相对于地面竖直向上匀速运动的平衡状态，如图6所示。此时物块受到的竖直向下的力为[mg]和[ma]，将二力都沿平行于斜面向下方向和垂直于斜面向下方向正交分解，在垂直于斜面方向上物块受三力平衡，[N=mgcos θ+macos θ]，在平行于斜面的方向上物块受四力平衡， [f=mgsin θ+masin θ+ma′]，再联立[f=μN]和[μ=sin θcos θ]运算后可得物块相对斜面的加速度[a′=0]  ，即物块相对斜面的下滑是匀速下滑。

[   参   考   文   献   ]

[1]  漆安慎，杜婵英.力学基础[M].北京：高等教育出版社，1980.

[2]  宋兴会.用“回归平衡法”巧解非平衡问题[J].中学物理，2015，33（7）：88-89.

（责任编辑 易志毅）