直线系方程的教学研究

徐宁

[摘 要]求适合几何条件的直线的方程，可以设出含参数的直线系方程，再通过几何条件的关系来确定参数值，进而消去参数，表示出所求直线，这样可以简化计算过程.

[关键词]直线系方程;参数;研究

[中图分类号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2021）32-0011-02

我们在研究直线的过程中发现，某些直线具有共同的特征.比如，与已知直线平行的直线，它们的斜率是相等的，一般式方程[Ax+By+C=0]中A、B可以完全一样，将C表示成变化的参数即可.类似的还有与已知直线垂直的直线，过某定点的直线，等等.我们把这种具有某种共同特征的直线的集合称为直线系.

直线的一般式方程是关于x，y的二元一次方程，由于直线系表示很多条具有共同特征的直线，它的方程除了x，y，还有一个变化的参数，取定一个参数值，便对应一条确定的直线.利用直线系方程求解直线问题，通过预设所求直线形式，确定参数值，进而表示出所求直线，可以大大简化计算过程.类似可以推广到圓系、曲线系，优化解析几何的思维和运算.

下面重点探讨过两直线交点的直线系方程及其简单应用.

一、过两直线交点的直线系的认识

教师提问：同学们，你们在学过直线方程的一般式后，遇到一类含参数的二元一次方程，类似于直线方程，它是直线吗？

为了研究这个方程，教师引导学生从图像到理论，进行了详细探讨，并了解它的具体应用.

课堂呈现：

观察方程形式为关于x，y的二元一次方程，即直线的一般式方程.在同一个直角坐标系中作出相应直线的图形.猜测：它代表过一定点的无数条直线.

活动1：图像直观得到结论.

（1）用几何画板演示，当λ变化时，每一个λ值对应一条确定的直线，让学生认真观察这些直线的共同特点，学生从直观上得出结论，这些直线经过同一点.

（2）引导学生猜想这个点，并认真思考如何求出该点的坐标.

这样，教师先引导学生取特值画图像观察，小组讨论，进而用几何画板演示直观得到了结论，然后根据直线的一般式方程，理论上对直线系方程进行说明，让学生印象深刻.

学生活动：全班交流自己总结的结论，通过分析、抽象、归纳，从理性认识上认识经过两条直线交点的直线系方程，培养学生的分类讨论、数形结合思想.

二、过两直线交点的直线系的应用

1.求直线系方程过定点问题

当我们遇到一个含参数的二元一次方程时，认识到它表示直线系，取定一个参数的数值，就对应一条直线，参数变化，直线就变，但这些直线恒过一个定点，只要将原方程整理成一部分含参数，一部分不含参数，找到两条直线的交点，即定点.

点评：对证明直线过定点问题，常用方法有特殊值法和直线系法.特殊值法，主要是取定参数的两个特殊值，对应得到两条确定的直线，求出这两条直线的交点，即得到定点，但需要代入原直线方程检验.直线系法是将直线方程变形，变为含参数和不含参数的两部分相加，由于参数为任意实数，列出关于x，y的二元一次方程组，方程组的解即为直线恒过的定点.两种方法相比较，直线系法更为通用.

2.运用直线系求直线方程

若一条直线[l]过两条直线[l1]、[l2]的交点，它肯定是[l1]、[l2]组成的直线系中某一条，可以将直线方程设成含参数的直线系方程，只要根据其他条件求出参数值，即可求得直线[l]的方程.

点评：解法一是常规解法，先联立方程组求交点，再求出斜率，用点斜式求直线方程;解法二用与已知直线垂直的直线系表示直线;解法三应用了过两直线交点的直线系方程，省去了求两直线交点的过程，简化了解方程组的运算.

[   参   考   文   献   ]

[1]  刘修龙.直线系在直线问题中的应用[J].上海中学数学，2007（Z1）：81.

[2]  季建梅.例谈直线系方程在解题中的求解思维策略[J].数理化解题研究（高中版），2009（11）：4-5.

[3]  张姝媛.巧用直线系方程解题[J].中学生数理化（高一版），2010（11）：12-13.

[4]  赵建勋.过两直线交点的直线系方程的应用[J].中学生数学，2017（15）：27，26.

[5]  孙海鹏.聚焦直线系方程的应用问题[J].中学生数理化（学习研究），2019（Z1）：8.

[6]  苗馨予.巧用直线系方程，妙解几何问题[J].中学生数理化（自主招生）， 2020（2）：19.

（责任编辑 黄桂坚）