重视数学实践活动 提升数学建模能力

林国财

（长乐区实验小学，福建 福州 350200）

运用字母、数字和其他数学符号来表示的关系式、代数式、不等式、方程和各类图表、图形等都是数学模型。［1］数学建模是指把数学问题加以抽象、简化、假设、引入变量等处理之后，用数学化的方式对实际问题进行呈现，而构建起来的一般化的数学结构。实践活动是儿童认识客观世界的重要途径，是感悟数学与客观世界之间密切联系的重要渠道。通过数学实践活动与数学模型思想的有机结合，促进学生初步体验和深入理解数学与客观世界之间的联系，使数学问题通俗易懂。数学实践活动具有开放性、趣味性、灵活性的特点，深受学生的欢迎和喜爱。本文以数学实践活动为切入点，通过“联系对比、探究体验、归纳概括、实践应用”等策略，促进学生数学模型思想的提升。

一、贴近生活，在联系对比中感知数学建模

数学实践活动与学生的学习生活联系紧密，数学模型的建构也应该依托学生的现实生活情境。教师应适时引导学生走出课堂，贴近现实生活，帮助学生从生活的原型中将数学问题抽象出来，引导学生通过观察、对比、分析，探寻各种信息之间的内在联系，从而抓住问题的本质，掌握其中蕴含的规律，感知数学模型的客观存在，为进行初步的数学建模做必要的准备。

例如，掌握“比”的相关知识后，组织学生走出课堂，开展“旗杆有多高”的数学实践活动。首先，对学生进行分组，每组5 人左右，小组长安排组员分工。接着，各组准备好所需的材料，包括米尺、不同长度的木棍（或竹竿、PVC 管等）、记录本以及设计好的表格等。最后，明确测量方法，并注意各组要同时开始测量。引导学生将测量的木棍等物体的高度与相应的影子的数据列入表中，对比各组数据，感知其中的规律：越高的物体影子越长。教师提问：“测量的木棍的高度与影子的长度之间是否存在一定的关系？”学生通过计算发现：在同一地点，同一时刻，实物的高与影子的长的比值是固定的。从而感知数学模型的存在，并建构出数学模型：（A 的高度）∶（A 的影长）=（B 的高度）∶（B 的影长）。教师追问：“旗杆的高度与影子的长度是否也存在这样的关系？你有什么好办法能求出旗杆的高度呢？”引导学生在充分合作交流的基础上，通过分析、对比，初步感知“在同时刻，同地点，物体高度与影子长度的比值是相同的”这一数学模型。

二、动手操作，在探究体验中尝试数学建模

模型的构建重在体验和探究，学生的学习也是体验和探究知识的过程。［2］数学实践活动为学生提供体验、探究的机会，它以问题为主线，引领学生参与活动的全过程。通过动脑思考、动手操作、用眼观察、用耳倾听、用口表达，多种感官直接体验，激发学生学习的欲望，在收集、分析、探寻数据之间的内在联系的过程中，尝试建构数学模型。

例如，教学《圆的周长》时，教材呈现生活中的情境：“圆桌和菜板都有点开裂，需要在它们的边缘箍上一圈铁皮。请问分别需要多长的铁皮？”学生讨论交流后，有的提出用“圆片滚动法”，有的提出用“卷尺测量法”。教师提问：“如果在黑板上画圆，还能用这两种方法进行测量吗？”引发学生探索测量圆的周长的一般办法。先让学生观察大小不同的圆，思考它们的周长和什么有关系？再组织学生测量准备好的圆形物品如瓶盖、硬币等，以厘米为单位，精确到毫米，将测量结果填写在表格中。组长安排分工：两个学生测量时，一个记录，另一个计算周长除以直径的值。学生发现一个圆的周长总是它的直径的3 倍多一些。在测量过程中，要确保操作的准确性，就需要调动多种感官参与，手眼脑协调配合，组员间随时交流讨论，在探究体验中逐渐建构“π”的数学模型，并推导出圆的周长C=πd 或C=2πr。从已有的生活经验出发，通过动手操作、动脑思考、动口阐述，经历将实际问题抽象成数学模型的过程，感受数学问题所具有的“模型”力量。学生获得的不仅仅是知识与技能，更是透过现象看本质的思想方法，促进对知识的理解和模型意识的培养。

三、归纳概括，在调整修正中完善数学建模

建立数学模型的过程包含“观察对比，提出问题，初建模型，获得结果，检验修正”等环节。［3］在数学实践活动过程中，学生利用已有的信息，分析各种信息间内在的本质联系，寻找解决问题的思路。重视发挥小组合作学习的优势，鼓励组员充分发表意见，产生思维的碰撞，促进适当的调整、优化，逐步归纳概括出解决此类问题的一般方法，从而完善数学建模。

例如，在教学《找次品》一课时，课前为学生准备学具，用雪糕棒代替天平（平放在桌面上），用1 角硬币代替瓶装“木糖醇”，抽象出天平的“模型”。演示称量的过程时，化繁为简，先探究从3 瓶中找1 瓶次品的情况，并对“2 瓶找1 瓶”与“3 瓶找一瓶”的情况进行次数的对比，提出问题：“为何瓶子的总数增加了1 瓶，但需要称量的最少次数却没有增加？”学生感受到，找次品时并不一定每一瓶都要称量，当天平两端保持水平时，可以通过推理，判断出在天平外的那一瓶是次品，为分组推理探究做好铺垫。通过对比分析，归纳概括出初步模型：将瓶子的总数分成3 份，利用逻辑推理，得知不需要每瓶都称量，这样称量的次数最少。然后探究8 个中找1 个次品的情况，发现并不能平均分，这是与一开始建立的模型有冲突的地方。于是对“模型”进行调整和完善：一是把物品分成3 份。二是倘若总瓶数可以平均分，就把它们平均分成3 份；如若总数不能平均分，则多的与少的一份中的数量相差1。在实践活动中，学生经历化繁为简、比较抽象、由浅入深的探究过程，初步构建数学模型。在待测物品的数量增加后，发现其中的矛盾之处，再调整和修正数学模型，使模型更加完善、严谨。

四、实践拓展，在解决问题中应用数学建模

在数学实践活动中，要引导学生运用数学模型解决实际问题，感受数学模型的应用价值。在建立数学模型后，及时组织学生应用模型解决具体的问题，帮助学生更加深刻地理解数学模型，进一步巩固、强化学生的认知。同时，对数学问题加以拓展延伸，培养学生举一反三、灵活解决问题的能力，真正发展学生的学习能力。

例如，在教学“鸡兔同笼”问题时，首先通过画图法、列表法、假设法开展探究活动。学生运用直观的图示或符号表示鸡和兔的“身体”和“腿”，通过不断地调整和尝试，先解决较简单的问题，再归纳概括，建构出“鸡兔同笼”问题的初步模型。然后，教师呈现“龟鹤问题”“人狗问题”“大小船问题”“小车摩托车问题”等不同的问题形式，引导学生对各种问题情境进行对比，体会“鸡兔同笼”只是一般“模型”，可以举一反三；虽然问题的“角色”有所改变，但是问题的本质——数量之间的关系并没有发生根本上的变化。还可以继续拓展延伸，如“运费问题”“比赛计分问题”“大小和尚吃馒头问题”等。通过对数学模型的不断应用，由简入繁，由浅入深，帮助学生完成知识的内化，更好地解决生活中的实际问题。

总之，要将实践活动与数学建模有效融合，发挥实践活动所特有的开放性、趣味性、灵活性的优势，丰富学生学习数学的方式，激发学生的探索欲望，让学生在做中学，在学中思，在思中悟，亲身体验数学建模的完整过程，提高建模能力，增强应用数学的意识。