立足生本 精心引导——对“等比数列的前n 项和”（第一课时）一节课的剖析与启示

李平香 陈中峰

（1.三明市第二中学，福建 三明 365000；2.福建省普通教育教学研究室，福建 福州 350001）

2020 年12 月1 日-4 日，“第十届高中青年数学教师课例展示与培训活动”在福建省厦门市举行，通过8个分会场和1 个主会场共展示了90 节优质课、1 节现场观摩课，课型丰富，内容涉及高中数学主要内容.笔者通过观摩“等比数列的前n 项和”（第一课时）的录像课以及执教者的现场展说，现就本节课的课例点评展示如下，请批评指正.

“等比数列的前n 项和”（第一课时）一节课较好地体现了“以学生发展为本”的教育理念.教学中，教师基于对学生已有知识：等差数列前n 项和公式与等比数列定义；已有方法：图解、通分、倒序相加、裂项相消法求和；待生成的方法：错位相减法之间的关系深入分析.采用了“学本课堂”教学模式，以6 人小组为单位进行合作探究，引导学生重点探究了错位相减法的生成过程，进而推导出等比数列的前n 项和公式并进行简单应用.课堂上，教师能在基于学情的基础上，引导学生明晰运算对象，理解运算对象，探究运算思路，选择运算方法，设计运算流程，求得运算结果［1］，在丰富的数学探究活动中，发展学生运算能力，培养数学运算素养，展示了以生为本、以学为基、导学自如、和谐共长的学本课堂.

一、亮点剖析

1.目标清晰，过程流畅

2.学生表现，精彩纷呈

上台展讲的同学都彬彬有礼、谦和大方、板书工整、作答规范、讲解到位、语言精练、教态自然，都是优秀的“小老师”，这正是教师长期坚持“学本课堂”教学的最好展示.回顾学生的精彩瞬间有：精彩1.在探究的运算结果时，学生甲能迅速根据“一尺之棰，日取其半”情境中的内涵迅速求得结果，即用1 减去截取6 天之后的剩余部分；精彩2.在教师引导学生再用已有的数列求和的方法求解时，学生乙能很规范地用裂项相消法作答并展讲清楚；精彩3.在探究的解法时，更精彩的是学生丙能类比学生乙的裂项方法，即把每一项裂成它的前一项与自身的差，再乘以常数学 生 丙不仅作答好，更把“如何想到”讲得好；精彩4.学生丁能够根据等比数列的定义，结合分数的合比定理得到发现分子、分母也可作为求和的研究对象进行探究.

3.文化渗透，适宜合理

课堂上，从庄子曰“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的情境导入，后面通过错位相减法运算的结果后，教师及时引导学生从极限的角度看运算的结果，即当n→+∞时，Sn→1，但Sn<1，体会“万世不竭”中蕴含的极限思想；在例题1 中求S64=1+2+4+…+264=264-1的结果之后，用“国王赏麦粒”的故事说明数学式子背后的故事，寓意深刻.这两个数学文化故事的内涵解释合理，文化渗透适宜，让学生体会“用数据说话”，学习要有效借助运算方法解决实际问题，即用数学的眼光观察世界、用数学的思维思考世界、用数学的语言表达世界，特别要注意形成规范化思考问题的品质，养成一丝不苟、严谨求实的科学精神，切不可向“国王赏麦粒故事中的国王”那样，没有经过运算就轻易“许诺”，事实上，通过运算结果与生产实际情况一合计，国王根本不可能实现他的承诺.所以，要养成用数据说话的习惯.

4.课件制作，精美直观

教师的课件制作精美、直观、形象、生动.课堂上能充分运用现代信息技术辅助教学，特别是在“一尺之棰，日取其半”情境引入，以及在裂项相消法求和的基础上，生成错位相减法过程中，用动画显示相同的项，并且移动相同的项的位置，动静结合，形象直观，展现数学的统一、和谐、直观美.

二、问题商榷

1.学生的精彩生成没有及时加以合理回应

课堂因生成而精彩.课堂是师生共同创造的一段愉快的旅行，是教师的“导”与学生的“学”同频共振、联动共生而弹奏出的一曲交响乐.教学过程中，学生的精彩生成，教师应当及时加以合理回应，顺势而为，乘势而上.如课堂上在探究的解法时，有几乎一半以上的同学都能用裂项相消求和的方法求得结果，上台展讲的学生丙能类比学生乙的裂项方法，即把每一项列成它的前一项与自身的差，再乘以常数，进而，用裂项相消法成功求和.教师此时，应抓住这一精彩生成，引导学生探究“美丽成果”，即是不是等比数列中的项都能按此规律裂项呢？事实上，等比数列从第二项起都可以按此规律裂项，假设an=k(an-1-an)(n≥2)（k是常数），整理，得所以，解得k=从而，所以，由，利用裂项相消法，顺势推导出等比数列的前n项和公式，而且，从裂项公式an=可以看出，当时，an=an-1-an(n≥2）是“最理想”的裂项求和模型.因此，教师课堂上选择了公比为的数列进行裂项，并在裂项相消求和的基础上生成了错位相减法.再如，学生丁根据等比数列的定义结合分数的合比定理得到，发现分子、分母也可作为研究对象时，教师仍然没有顺着学生的思维进行引导探究.实际上，此时，教师一方面，可以引导学生观察对比分数的分子、分母与目标的差异，学生可以立即发现分子、分母比都只少一项，由方程的思想得，解得S6，再推广到一般的等比数列，即由等比数列的定义，由合比定理得，，得到，进而，解得，同样可以推导出等比数列前n项和公式.另一方面，还可以再增加一项比值，如，即，解得S6，再推广到一般的等比数列，可以推导出等比数列前n项和公式；也可以把分子、分母中转为教师课件中预设的两个和①式、②式，再引导学生观察①式、②式中每个数的关系及其①式、②式之间的关系.

综上，学生的这些“思考”“讨论”都非常合理，教师完全可以及时加以回应，引导学生不断挖掘运算对象的特征规律，重新规划运算思路，选择运算方法，设计运算流程，求得运算结果，把“运算素养”的培养扎根于数学探究活动中.

2.一些探究的问题设置不够合理

探究让课堂焕发活力.课堂上，教师应该基于学情，立足数学本质，设置数学探究活动的问题，让学生在探究“真问题”“好问题”中得到“真发展”，取得“真进步”.所以，教学中如何设置“好问题”让学生探究，引领学习至关重要.本节课教师选择了一些有意义但又不太复杂的题目去帮助学生发掘题目的各个方面，从而，设计了用数列求和的方法探究的运算结果，因为这两个求和项数太少，导致无法快速进入探究本课的核心内容.教师如果在“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的情境导入后，直接问S2021=的结果，这样，一方面，能把“思考”引向“一尺之棰，日取其半”的情境内涵中，进而快速地得到运算结果；另一方面，也可以把“思考”引向观察“运算对象”的规律特征，以及“是否有可迁移的经验”等核心问题上发力，并进而提出如何求一个等比数列的前n项和.

3.个别内容的理解处理欠妥当

教师在课堂上引导学生从裂项相消求和方法中，提炼出了错位相减法，这是基于学生已经学习了裂项相消求和方法的学情上.但是，教材中错位相减法并非建立在裂项相消法的基础上，教材通过“国王赏麦粒”的故事情境引入，抽象概括出：求一个首项为1，公比为2 的等比数列的前64 项和.进而，提出如何求一个等比数列的前n项和呢？教材的意图是引导学生回顾等差数列前n项和公式的推导过程，即从高斯算法得到启发，根据等差数列的特征，采用倒序相加法，把求“n个不同数之和”，转化为求“n个相同数之和”.所以，求等比数列的前n项和Sn=a1+a1q+a1q2+…a1qn-1时，要加强对数学知识的“整体性”认识，同时，注意逻辑的“连贯性”、方法的“普适性”、思维的“系统性”、以及保持思想的“一致性”，善于借助推导等差数列前n项和公式累积的研究经验，即把“求不同数之和”转化为“相同数之和”是解决问题的关键.所以，首先，应该引导学生回顾“倒序相加”求和中蕴藏着“基本思想”是什么？其“基本思想”是根据等差数列的特征，用“倒序相加法”把“n个不同数之和”转化为“n个相同数之和”，然后用乘法快速地运算“n个相同数之和”，从而，得到等差数列前n项和公式.然后，引导学生如何把等差数列中已累积的“求和经验”迁移到“等比数列”，问题的关键在于如何根据等比数列的特征，运用代数式的变形方法出现“相同数”.此时，应引导学生回归到最原始的定义中，根据等比数列的定义，学生很容易发现，前一项乘以公比就变为后一项，因此，把Sn=a1+a1q+a1q2+…a1qn-1，记为①式，用公比q乘①的两边，qSn=a1q+a1q2+a1q3+…a1qn，记为②式，①式、②式的右边有就有(n-1)个相同的项，用①式减去②式，就可以消去这些相同的项，进而推导出等比数列的前n项和公式.教师要善于引导学生将学习过程中已有的研究问题的经验迁移到新的相似问题情境中，为学生的思维发展搭建平台，让学习发生在“最近发展区”.正如章建跃博士所说的：“为学生构建前后一致、逻辑连贯的学习过程，使学生在掌握数学知识的过程中学会思考”［2］，让学生经历“研究对象在变，但思想方法不变，研究套路不变”的学习过程.

4.本节课的教学任务完成不理想

本节课是公式推导与应用课，其教学内容有推导等比数列前n项和公式，解析公式中符号的内涵，以及等比数列的相关量a1,an,q,n,Sn等五个量中“知三求二”的运算.课堂上教师用了近35 分钟的时间进行公式的推导，仅仅用了约5 分钟的时间进行公式的简单应用.数列的研究对象是“数”，“运算”贯穿于数列的始终.所以，课堂中教师在引导学生推导公式环节互动要更加高效，才能为后面的“运算”训练留足时间，确保运算技能的训练充足、充分，将运算素养的培养扎根于“四基”沃土.

一千个读者就有一千个哈姆雷特，一千个教者就有一千种好的课堂设计.课堂是遗憾的艺术，也许它的魅力正是因为某种不够完美.本节课虽然教师在一些问题的处理上欠妥当，但教师能够立足生本，精心引导，采用启发式、探究式的教学方法；引导学生自主探究、合作交流；并在“情境中获取对象”“冲突中设置对象”“探究中生成对象”“特殊到一般中衍生对象”中生成“问题串”；在提出问题、分析问题、解决问题的过程中，引导学生明晰运算对象，理解运算对象，探究运算思路，选择运算方法，设计运算流程，求得运算结果［1］；在丰富的数学探究活动中，训练运算技能，发展运算能力，培养数学运算素养；能够以生为本、以学为基、导学自如、和谐共长，展示了令人耳目一新的公式推导课.

三、教学启示

1.整体教学

《普通高中数学课程标准（2017 年版）》从以下三个方面强调了数学的整体性：一是同一主题内容的数学整体性是指一个内容的不同认识层次，不同角度的认识之间内在的一致性、关联性，以及认识不同方面内容所采用的类似过程与思想方法；二是不同主题内容的数学整体性是指整合不同内容之间所具有的内在联系；三是统摄性最强、适用性最广的最高层面上的不同数学思想与方法之间相互融合，形成具有统一性、内在一致性的数学一般观念的整体性［3］.“等差数列前n项和”与“等比数列前n项和”都是研究数列的前n项和，在求数列连续有限项和时，要注意引导学生“三看”，一看“首末项”：即明确从哪一项加到哪一项；二看“项数”：即明确有连续的几项相加；三看“项的规律”：即分析通项的规律，若通项规律表现不明显，可对通项进行适当变形，让规律展现得更加明显，然后根据通项规律特征选择适合的方法求和.所以，对“求数列连续有限项和”这一内容的教学要始终注意构建逻辑连贯的过程，保持思想方法的一致性.所以，在推导等差数列、等比数列前n项和时，要注意采用类似的过程，即通过分析通项特征、递推关系把“求不同数之和”转化为“相同数之和”，保持公式推导过程的思想方法一致，经历“研究对象在变，但思想方法不变，研究套路不变”的学习过程.本节课教师引导学生从裂项相消求和方法中，提炼出了错位相减法，初看感觉“耳目一新”，但细品就感觉“新的怪异”。因为没有把前面“等差数列前n项和”建立的逻辑、选用的方法、培养的思维、提炼的思想继续运用，损坏了逻辑的连贯性、思维的系统性、方法的普适性、思想的一致性，破坏了数学的整体性.

2.守正出新

教材是师生手中的宝藏，课堂教学应以“教材为本”.教学过程中，教师要在正确理解教材的基础上，融入自己独到的思考、设问、学识、见识、智慧、语言、联想、联串、领悟和归总，吃透教材，抓住根本，灵活使用，个性创造，让教材真正成为“手中宝”，让教学“源于教材，高于教材”［4］.本节课教学使用的教材是人教A 版数学必修5，通过执教者在会场上的答辩，观摩教师明白了执教者这样设计错位相减法教学的缘由，教学设计缘于课本第47 页的B 组第4 题，题目：已知数列的前n项和，研究一下，能否找到求Sn的一个公式.你能对这个问题作一些推广吗？本题安排在“等差数列前n项和”这节课的课后练习中，真的是要从“裂项相消法”中提炼“错位相减法”吗？笔者认为：编者的意图是要巩固“推导等差数列前n项和”公式过程中累积的求和经验，让学生又一次经历“研究对象在变，但思想方法不变，研究套路不变”的数列求和过程.所以，教师对教材的处理，首先要“守正”，抓住本质，恪守正道，守住“正”，才能确保“出新”符合基本规律，真正令人“倾新”“倾心”.