通过题型管理提升教学实效

江苏省南京市成贤街小学 王 恒

高年级的数学试题，通常具备这些特点：知识范围广、思维难度深、解题方法活、规范格式严、题型变化多。在这样的环境下，一味地多训练，采取题海战术显然不合理。笔者意识到，作为教师，要深入研究各类数学试题，带领学生一起“管理”不同题型，归纳和总结的过程中，不仅能够提高效率，科学地保障学习实效，而且能够提高数学能力，发展数学素养，一举多得。

一、题型管理的意识萌发

初步复习长方体和正方体的表面积时，有这样一道题让学生烦恼：

从一个棱长5厘米的正方体木块上，挖去一个棱长2厘米的小正方体，剩下部分的表面积是多少平方厘米？

想要以合理的思路方法解决此题，难度是较高的。课堂上一部分学生的神情，说明他们没有见识过这样的问题，题型视野不够宽阔。

小高率先发言：“这很明显表面积不变啊，挖掉3个面又多出来3个面，只要计算原来的表面积。”

小姜：“那你不能只计算原来的表面积，还要将挖去的3个面减掉，再加上凹下去那里多出来的3个面，体现出这个挖的过程。”

几个看破端倪的学生点点头看向笔者等待老师的点评，其他学生也发出了醒悟的惊叹，他们已经知道为什么表面积不变了。然而，仍有一些平时极为活跃的学生觉得不对劲，反常地沉寂在那里。

……

正当笔者假意继续进行下一环节的时候，小肖突然冒出一句，“也有可能表面积会变。”此时教室的其他几个方向也发出了共鸣“对！”“而且是变大。”“而且不止一种情况。”……

小姚向大家解释：“刚才不变的情况是最简单的情况，即假设挖的这个小正方体刚好在大正方体的角上。但是也有可能在棱中或者在面中。如果在棱中，那么只能挖去2个面，却多出了4个面。如果在面中，那么只能挖去1个面，却多出了5个面。表面积都是变大的。”

余下的时间，学生自主画图、解题。

对于初步接触长方体和正方体表面积计算的学生而言，这道题不易解决，大致有以下两个原因。

其一，思维难度大幅提高。长方体和正方体单元是小学阶段学生第一次系统地学习空间体，概念、计算等内容是全新的。相对于平面几何，空间几何的知识和思维难度有质的飞跃。空间想象和空间意识较为薄弱的学生容易一头雾水。这道题恰好出现在学完表面积和表面积计算的拓展练习课上，不易应对。

其二，题型视野不够宽阔。如果说知识难度是客观因素，那么题型视野是可以靠自身努力去拓宽的。其实班级里有两位几乎不发言的优秀学生，从他们一惯的表情就看出早就掌握了此题，只是配合老师“演戏”罢了。除了自身聪明以外，更重要的是他们俩在课外训练中，通过经验培养出了足够宽阔的数学题型视野。近几年，关于数学新题型的研究层出不穷，学生将面临各类拓展问题发出的挑战，有些数学题在数理上并不是多难，只是学生没有见识过。所以，每个学生都需要有一定的题型视野，特别是在这种容易出难题、易错题、经典题的单元。

二、题型管理的背景意义

一个月后的期中复习，又一道题让人觉得似曾相识：

从一个棱长5厘米的正方体木块上，挖去一个长5厘米，宽2厘米，高1厘米的小长方体，剩下部分的表面积是多少平方厘米？

批阅结果让笔者喜忧参半，喜在，看出来上一次讲解类似题目时，学生都理解了。忧在，没几个学生完全解对。既然理解了，又为何不是全对呢？课上，笔者将上次的那道题搬过来对比给学生看：

①从一个棱长5厘米的正方体木块上，挖去一个棱长2厘米的小正方体，剩下部分的表面积是多少平方厘米？

②从一个棱长5厘米的正方体木块上，挖去一个长5厘米，宽2厘米，高1厘米的小长方体，剩下部分的表面积是多少平方厘米？

原来，一个月前是挖正方体，一个月后是挖长方体。

小姜提醒：“正方体由于6个面完全相同，只有1种面。而此题中的长方体，只有相对的面相同，所以有3种面，就要考虑清楚挖去了哪种面，多了哪种面。”

受前一次的思维定式影响，部分学生习惯地认为解题思路是“在角上、在棱中、在面中”，所以写出了三种情况。然而这道题的情况更为复杂，由于是挖去小长方体，且它的长和大正方体棱长相等，所以除了“1×5”这个面可以在棱中，“2×5”这个面也可以在棱中。“在面中”的情况，3种面都有可能，但是“2×5”这个面过大，所以只有“1×5”（斜着）和“1×2”两种面可以在面中去挖。

这件事之后，笔者的忧患意识有所提升。

第一，题型视野的弊端。数学题的拓展和变化，让人防不胜防。特别是可以在这样的难题上，继续变化、创新出更难的“兄弟题”。虽然早在一个月前，笔者认为每个孩子都需要有“题型视野”，但这道题似乎在洋洋得意地宣告，视野拓宽的速度永远比不上它变异的速度。所以，适度训练是必需的，但是大量题海式训练，往往有可能事倍功半。

第二，思维定式的影响。题型在不断变化和创新，学生举一反三、触类旁通能力告急的问题不容忽视。不可否认的是相当一部分学生在学习数学时，仍然存在明显的解题定式、思维定式，也就是所谓的依葫芦画瓢。做基础题尚可，想拿高分却很难。特别是如何让一些思维滞后的学生，也能够慢慢发掘这样的能力，成了笔者必须要去想办法解决的问题。

第三，数学题组的必要。这两道题的背景相同、数字简单，为何难度大相径庭？其本质在于数学知识的关键处有区别，即长方体和正方体本身特征不同。所以在这种知识的关键处，很容易拓展出针对性题组。比如这两道题就是一组“针对性数学题组”，一个针对长方体特征，一个针对正方体特征。那么在复习过程中，教师要善于设计“题组”，使学生在对比思辨中，提升思维能力，尽可能地打破思维定式。

三、题型管理的方法初探

时间来到期末复习阶段，这一次，伴随着前面产生的忧患意识，笔者主动出击，将这组题抛给学生思考：

①从一个棱长5厘米的正方体木块上，挖去一个棱长2厘米的小正方体，剩下部分的表面积是多少平方厘米？

②从一个棱长5厘米的正方体木块上，挖去一个长5厘米，宽2厘米，高1厘米的小长方体，剩下部分的表面积是多少平方厘米？

③从一个棱长5厘米的正方体木块上，挖去一个长4厘米，宽2厘米，高1厘米的小长方体，剩下部分的表面积和体积是多少？

笔者随即巡视每个学生的思考过程和结果。经过检查，个别数学能力薄弱的学生，能将第①小题完整解决，②③两小题写出不止一种想法。大部分学生几乎能够完整解决三道题。

第③小题，笔者将小长方体的长减少了1厘米，如果在面中挖“1×2”，那么深度只有4厘米，不会被挖通透，而第②小题此情况会挖通透。此外，还要求孩子求出体积，虽然不难，但相信放在这样的题组里，会提升孩子的辨析能力。

随后笔者请了两位能力很强的学生给全班讲解这几题的思路，并且总结做题技巧。大致思路就是先看位置“角、棱、面”，再看图形特征区别，分析具体情况。

忽然第一排蹦出一句“这组题不就是在挖吗？我们也学过拼和切啊。反正都是动作……”还是小姜，她总是在不合适的时间，说出合适的话，给人深度思考的空间。

没错啊！那么多参考书、教辅书，都是例1、例2这样按部就班的编制，既然是空间体，为什么不能用这样形象化的语言去设计题目呢？拼和切的问题也碰见过很多次，每次结果都不尽如人意。如果每一类题型，都能像挖的问题一样整合、分析、总结，学生解题的正确率会提高不少，思考能力也会大幅提升。

经过一个中午的深思熟虑以后，笔者布置了这样一个作业：每个学生回家搜集你本学期第一单元所有的课内练习，像“挖”一样找出同样类型的题目，整合在一起，并说明这类题目的特征，至少整合出两类。

第二天的两节课，用来分享大家的整理结果，结果让人眼前一亮。后续笔者将自己和全班同学的成果进行整理，发现所接触过的关于长方体和正方体这个单元的题目共计十六种题型：展开图问题、棱长和问题、侧面积问题、缺口问题、不规则组合问题、锻造熔铸问题、拼切挖等。此外还根据学生能力差异进行了微调，加入提示，由易到难，层层推进。

经历了大半个学期的波折，笔者更坚定了要帮助学生学会利用题型管理的方式辅助复习的决心，笔者将从以下几个方面做起。

1.作为教师要不断学习，率先行动。当下数学题型的拓展、创新速度极快，教师需要不断学习，与时俱进。既要给学生提供充足的学习资源、搭建合适的学习平台，丰富学生的题型视野，也要在题型管理的工作上率先行动和尝试，搭建自我的题型管理平台，形成资源库，为后续工作做铺垫。

2.善于利用数学题组，巧妙设计。教材上有许多基本的数学题组，不能蜻蜓点水式孤立它，忽略它的价值。而要学会利用不同的题组，比如，在知识关键处设计比较型题组，加强对本质的理解；以旧知为基础学习新知时，利用联结型题组，培养学生从高位串起数学知识的意识；整理出类型相同但难度差异较大的递进型题组，有助于培养学生触类旁通、举一反三的能力，打破思维定式，培养做题技巧。

3.注重落实题型总结，画龙点睛。待题型整理完毕、学生认真思考过后，如果没有落实良好的题型总结，会有缺少临门一脚的感觉。应当让学生学会用自己的语言描述题型特点、描述解决此类问题的大致思路、描述解题技巧等。只有这样，才能充分发挥题型管理的价值，提升数学学习的高度。比如，小姚同学在总结“拼切”问题时这样写道：“每拼一次，少2个面，少8条棱。每切一次，多2个面，多8条棱。”小张同学面对组合立体图形时这样描述：“看起来不规则，实际上三视图能说明一切。”这样的点睛之笔，总比杂乱无章做试卷，显得少而精。

题型管理是一个复杂、困难而漫长的过程。但是效果远比漫无目的地做题复习要卓越。笔者将继续研究、尝试，用科学合理的方式提高学生的思考能力和复习效率，同时也促使自身快速成长。