不定复空间形式中全实类空子流形的δ不等式

程丽鹃，王佳慧，朱业成

（安徽工业大学数理科学与工程学院，安徽马鞍山 243032）

随后，众多学者在其他外围空间展开了关于Chen 不等式的研究。2005 年，Li 等在复射影空间中展开了关于Chen不等式的研究，并推广了Chen的结果；2016年，Zhang等刻画了4维欧几里得空间中Chen不等式的研究等。由于不定复空间形式中的度量不再是正定的，这使得子流形的研究更困难，所以文中采用参考文献[13]中使用的方法，将子流形分为类时全测地和类空全测地这两种情况进行讨论。

1 预备知识

称式（1）为(

M

,

g

)在

p

点关于平截面的截面曲率，

ε

=

g

（

e

,

e

）,

i

= 1,…,

n

。对于任意一点

p

∈

M

，若平截面

π

⊂

TM

关于复结构

J

是不变的，即

J

（

π

） =

π

，则

π

称为全纯截面，此时截面曲率

K

(

π

)为全纯截面曲率。若

M

的所有全纯截面曲率相等，则为不定复空间形式。

特别的称

R

（

X

） =

R

（

X

,

X

）为沿着

X

方向的Ricci曲率。定义流形

M

的数量曲率

τ

为

假设

L

为

TM

的

l

（ ≥2）维子空间，

e

,…,

e

为

L

的一组正交基，定义

L

的数量曲率

τ

(

L

)为

当整数

k

≥1，记

S

（

n

,

k

）为包含

k

元无序数组（

n

,

n

,…,

n

）的有限集合，且满足

n

＜

n

和

n

+

…+

n

≤

n

。令

S

（

n

,

k

） =∪

S

（

n

,

k

），对于每一个

k

元数组

n

+

…+

n

∈

S

（

n

,

k

）,定义

δ

（

n

+

…+

n

）为如式（5）。

引理1

假设

f

（

x

,

x

,…,

x

）（

n

≥3）为

R

上的函数，定义

如果

x

+

x

+

…+

x

=（

n

- 1）

ε

，那么

并且等号成立当且仅当

x

+

x

=

x

=

…=

x

=

ε

。

引理2

假设

a

,

a

,…,

a

,

b

为（

n

+ 1）（

n

≥2）个实数满足

那么2

a

a

≥

b

，并且等号成立当且仅当

a

+

a

=

a

=

…=

a

。

2 与δ有关的不等式

2.1 δ(2)不等式

证明

假设{

e

,

e

}张成的平面截面曲率最小，由Gauss方程，有

由式（4）～（5）可得

当

M

是类时全测地时，

ε

= 1，

当

M

是类空全测地时，

ε

= -1，

对于二次型

f

：

R

→

R

其中

当

M

是类时全测地时，

当

M

是类空全测地时，

2.2 δ（n1,n2,…,nk）不等式

当

M

是类时全测地时，

当

M

是类空全测地时，

证明

当

M

是类时全测地时，在点

x

∈

M

选取单位正交基

e

,…,

e

,

e

,…,

e

使平均曲率向量

H

平行于

e

。为方便起见，记

假设

L

,…,

L

为

TM

的相互正交的子空间且dim

L

=

n

，其中

L

= span{

e

,

…

,e

,

…

,e

}，

j

=1,…,

k

。

式（26）可改写为

其中

式（29）等价于

式（30）可写成

其中

α

,

β

∈

Δ

,

j

= 1,…,

k

。由引理2有

那么可得

由式（25），（33）可得

结合式（5），（29），（34）可得

当

M

是类时全测地时，在点

x

∈

M

选取单位正交基

e

,…,

e

,

e

,…,

e

使平均曲率向量

H

平行于

e

。为方便起见，记

假设

L

,…,

L

为

TM

的相互正交的子空间且dim

L

=

n

，其中

L

=span{

e

,…,

e

,…,

e

},

j

=1,…,

k

。

式（40）可改写为

其中

式（43）等价于

从式（44）可得

其中

α

,

β

∈

Δ

,

j

= 1,…,

k

。由引理2有

那么可得