数学大概念及其提取

夏繁军 胥庆 王建华

【编者按】 《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》在前言中指出了2017年版课标相比于2003年的实验版课标“修订的主要内容和变化”。其中，有一条是“以学科大概念为核心，使课程内容结构化”。这一思想可以看成是2017年版课标的指导思想，“发展学生数学学科核心素养”的课程目标和“关注（跨课时、跨章节的）单元、主题的教学目标”“从整体上把握课程”的教学建议都是其具体体现。什么是数学大概念？如何提取数学大概念？如何设计指向数学大概念的问题？如何依据数学大概念开展“单元—课时”教学？本期《专题研究》栏目的3篇文章，尝试回答这些问题。

摘要：教育领域内的大概念又称大观念，是指在某一学科中居于重要地位，对学科其他内容具有统摄力、关联性的概念。数学教学中的大概念可以分为单元大概念、学科大概念、跨学科大概念、哲学大概念四个层级。数学大概念包括数学的核心概念、重要技能、主要思想方法、解决问题的一般思路、数学观念等类型。数学大概念的提取一般来源于学科（包括学科核心概念及其本质、重要技能、主要思想方法）、课程标准、解决问题的一般思路、学生学习观念四个方面的分析。以《集合》单元为例具体说明如何提取数学大概念。

关键词：大概念;数学大概念;课标;单元知识结构;集合

当前，面对时代知识量、信息量的骤增与学生学习时间、精力的有限，精选教学内容，聚焦少数核心概念和观念，保证教学实施的科学性与有效性，是基础教育亟须解决的关键问题。《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称“课标”）提出“以学科大概念为核心，使课程内容结构化”，成为实现“少而精”的教学指导思想。本文重点谈谈什么是数学大概念以及如何提取数学大概念，为依据数学大概念设计和实施教学奠定基础。

一、什么是数学大概念？

（一）大概念的内涵

大概念理论可以溯源到20世纪60年代布鲁纳提出的“一般观念”和“课程结构”以及1964年菲尼克斯提出的学科“代表性概念”。

1998年，埃里克森明确指出：大概念是一种抽象概括，是在事实基础上产生的深层次的、可迁移的观念，是对概念之间关系的表述。

2004年，威金斯和麦克泰格在《追求理解的教学设计（第二版）》中，对大概念进行了系统的描述，把大概念归纳为：代表一种重大的观念，居于课程的核心，贯穿很多单元的学习;通过联结及组织许多事实信息、技能、经验来提供意义的广度，以作为理解之关键;指向学科的核心概念，为问题的研究提供一个概念“透镜”;意义需要被揭示;有极大的迁移价值，在一段时间内，可应用到许多其他探究主题或问题、同一学科课程或跨学科课程，直到今后的生活中，具有超越课堂的持久性价值;需要深入探讨的、抽象的、易于误解的观念;对学生学习有吸引力。

此后，兰宁、克拉克、怀特里等学者对大概念也都有过系统的论述。

2009 年，在苏格兰举办的一次中小学科学教育国际研讨会形成了一份重要报告——《科学教育的原则和大概念》。哈伦等科学家提出了科学教育中的大概念体系，强调科学教育不是知识片段的堆积，而是有结构、有联系的模型。这份报告推动了中小学科学课程结构的改革，使大概念的课程设计得到了更多的关注。

教育领域内的大概念又称大观念，是指在某一学科中居于重要地位，对学科其他内容具有统摄力、关联性的概念;是对众多知识的筛选与整合，可以是一个概念、一个观点。位置上，大概念处在学科的中心，集中体现学科课程特质的核心思想方法;功能上，大概念有助于一门课程的结构化，聚焦大概念的学习能促进学习者对知识的深层理解与迁移，实现“少就是多”“贯穿一致”的学习理念。

（二）大概念的类型与层级

李松林把大概念系统看作一个由横向的三个类型（结论与结果、方法与思想、作用与价值）和纵向的四个层次（学科课时内、学科单元内、学科单元间、跨学科）有机结合而成的网络化结构。

李刚、吕立杰提出：概念的体系符合金字塔型知识结构，从底层到顶层分别是科学事实和现象、（统摄性较低的）具体概念和方法、核心概念和方法、跨学科主题以及哲学观点;其中，科学小概念包括前两层内容，科学大概念包括后三层内容。

埃里克森等人将知识结构分为五个层级。一是主题事实。二是概念。与事实相比，概念具有普遍性，是从实例、事实中抽象出来的，多使用一两个词或短语表述。三是概括。表述两个或两个以上概念之间关系的句子。四是原理。与概括一样，原理是对概念之间关系的表述，但更加稳定，如物理定律、数学公理。五是理论。一个推论或者一组解释现象或实践的概念性观点。他们认为，在课程设计上，不必区分概括和原理，它们都是对概念之间关系的表述，都属于大概念。

奥苏贝尔认为：概念不是一段孤立的词句，而是一个层次性的结构，知识之间有上、下位关系。进一步地，肖沃尔特根据科学概念有逻辑且互相关联的特征，构建了由7层概念组成的科学概念结构：知觉感受、直接概念、事实概念、定律概念、创设概念、原理概念及理论概念。7层概念有上、下位之分，理论概念是层次最高的概念，包括了各类下位概念以及概念之间的联系。由此可知，科学概念不仅是对客观事物的本质描述，而且是一種更复杂的概念体系，其中包含了事物的内在属性、深层结构以及事物之间的逻辑关系，即概念的学习是一个有层次结构且互相联系的复杂系统。

实际上，概念有不同的类型和层级，概念之间有上位、下位和并列等关系，形成了一个复杂系统（网络结构）;而大概念是其中相对上位的概念，需要下位概念的支撑。

综上，我们认为，数学教学中的大概念可以分为单元大概念、学科大概念、跨学科大概念、哲学大概念四个层级;数学大概念包括数学的核心概念、重要技能、主要思想方法、解决问题的一般思路、数学观念等类型，每种类型都有高低不同的层级。这里值得一提的是，数学大概念是比数学核心素养更上位的概念，数学大概念包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等数学核心素养，但不止于此。

二、如何提取数学大概念？

国内学者对如何提取大概念有很多研究。

邵朝友、崔允漷指出，大观念（大概念）主要还是来自内容标准。确定内容标准后，可用四种常见策略来确定大观念（大概念）：（1）寻找内容标准中一再出现的名词或重要的短语，将此作为大观念（大概念）;（2）用追问的方式确定大观念（大概念）;（3）用配对的方式产生大观念（大概念），即对内容标准中的概念进行配对;（4）用归纳的方式获得大观念（大概念）。

刘徽综合不同学者的观点，结合我国教育的实际情况，给出寻找学科大概念的八个路径：课程标准、学科核心素养、专家思维、概念派生、生活价值、知能目标、学习难点、评价标准。

邓靖武提出了提炼学科大概念的三个途径：（1）基于学科视角，聚焦学科本质提炼学科概念;（2）基于课程标准，依据学科教材确定学科大概念;（3）基于学生的发展需求，构建大概念统摄下的单元知识层级结构。

学科不同，提取大概念的方法和路径会有所差异。结合数学学科的特点以及学生学习的规律，我们认为，数学大概念的提取一般来源于四个方面的分析：学科（包括学科核心概念及其本质、重要技能、主要思想方法）、课程标准、解决问题的一般思路、学生学习观念。

另外，可以对主題和学习内容做一些追问，如内容的本质是什么、为什么学习、学习什么、怎样学习、学习这一内容和不学习有什么区别、哪些观念对学生一生的发展有用。这些看似“不着边际”的问题正是学生学习的困惑，也是我们寻找大概念的适切途径。

下面，以高中数学《集合》单元为例，具体说明如何提取数学大概念。

第一步，明确课标对单元学习的总体定位。

课标指出：“在高中数学课程中，集合是刻画一类事物的语言和工具。本单元的学习，可以帮助学生使用集合的语言简洁、准确地表述数学的研究对象，学会用数学的语言表达和交流，积累数学抽象的经验。”

根据这一定位，教材引导学生利用集合语言对初中的一些重要概念进行再抽象并用符号表示对象（集合的元素），对一些重要内容（特别是方程、不等式、函数）进行“再表述”。如此，在提高数学表达抽象化程度的过程中，提升学生的抽象思维水平，从而为高中学习做好准备。

第二步，明确课标对单元学习的具体要求。

课标明确了《集合》单元的学习内容，包括集合的概念与表示、集合的基本关系、集合的基本运算。“集合的概念与表示”的学习要求是：“通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系;针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合;在具体情境中，了解全集与空集的含义。”“集合的基本关系”的学习要求是：“理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集。”“集合的基本运算”的学习要求是：“理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集;理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集;能使用Venn图表达集合的基本关系与基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用。”

由此可以分析出，本单元的重点内容包括：元素与集合之间的关系，描述法表示集合;集合之间的包含与相等关系;并集、交集、补集的含义，利用集合语言表示关系和运算。

第三步，画出单元知识结构图。

根据《集合》单元的学习内容及要求，可以画出如下页图1所示的知识结构图。

第四步，分析单元内容的本质及其中蕴含的思想。

人教B版高中数学必修第一册第一章给出的集合定义是：在数学中，我们经常用“集合”来对所研究的对象进行分类，把一些能确定的、不同的对象汇集在一起，就说由这些对象组成一个集合。这与康托在著作《超穷数理论基础文稿》开篇的第一段话中给出的集合定义是类似的：集合M是我们在直觉上和思想上能够明确区分的那些对象m（称为M的元素）的全体。但是，康托的这个定义遭到了很多的质疑，许多哲学家、数学家提出了很多悖论，比如，罗素提出了“理发师悖论”。后来，德国数学家策梅罗在论文《关于集合论基础的研究》中给出了集合的形式化定义：用大写字母A表示集合，小写字母x表示元素，元素x属于集合A，表示为x∈A。在这个基础上，策梅罗通过9条公理，限定了集合的性质和运算。此后，德国数学家弗兰克尔作出少量的修改，形成了现在的ZF集合论公理体系。其中，第1条外延公理是：对于两个集合A和B，如果A中的任一元素都是B中的元素，B中的任一元素都是A中的元素，则这两个集合是同一个集合，记作A≡B。因此，从这个意义上说，集合是由元素唯一确定的，这就是集合的本质。

虽然对于现代数学，集合包含的元素具有一般性，但是在本质上，集合源于对数量与数量关系的抽象，甚至可以认为，集合概念的确立实现了数量与数量关系抽象的最高层级。

数学研究源于对现实世界的抽象，通过基于抽象结构的符号运算、形式推理、模型建构等，理解和表达现实世界中事物的性质、关系和规律。抽象是一种重要的数学核心素养。数学研究对现实世界的抽象大体可以分为两类：一类是对数量和数量关系的抽象，一类是对图形和图形关系的抽象。因此，数学也被称作研究数量关系和空间形式的科学。数学研究对数量和数量关系的抽象大概可以分为三个阶段：从数量到数字，实现从感性具体到理性具体;从数字到字母，实现从理性具体到理性一般;第三阶段：从字母到集合，实现从个体到结构。集合中的元素可以是非常抽象的东西，集合概念完全舍弃了事物的一切物理属性，得到抽象的数学结构。

第五步，分析单元学习的价值。

我们可以从研究问题的角度认识学习“集合”的必要性。要研究问题，首先要有研究对象，研究对象在数学里就可以叫作元素，根据分类标准把能确定的不同的一类元素放在一起就组成一个集合。因此，集合源于对问题的分类。事实上，康托是在研究三角级数收敛时，发现不同的三角级数可以收敛于同一个点，为了对这些级数进行区分，引入了集合概念。

进而，根据数学研究的一般路径，对单个集合，要研究集合的性质，即这一类对象的特征，这就要用特征性质描述集合中的元素。对多个集合，就要研究集合之间的关系，包含与非包含是两种常见的關系，这些关系是通过分析元素与集合之间的关系得到的;还要研究它们的运算和运算律，集合的三种运算（交、并、补）都要研究集合中元素的特征。因此，“元素分析法”就成为集合研究的根本方法。

此外，集合成为数学概念虽然只有200多年的历史，但是已经成为现代数学几乎所有领域的基本概念，集合的语言（元素、集合、对应、属于、包含、相等、映射等）也成为现代数学甚至是现代科学常用的基本语言，为研究各类问题提供了交流的基础。

第六步，确定单元中的大概念。

基于以上分析，集合的概念（本质，“是什么”）、集合的语言（工具性，“为什么”）、集合的研究方法（元素分析法，“怎样研究”）都是《集合》单元中的大概念。此外，集合的研究内容还包括集合之间的关系和运算。

关系不仅是一个数学大概念，也是一个哲学大概念。数学中的关系包括数量关系、位置关系。数量关系包括大小关系、相等关系、对应关系、函数关系等;位置关系包括平行、垂直、对称等。

运算是一个数学大概念，也是一种数学核心素养。数学上的运算通常包括集合的运算、实数（一元数）的运算、复数（二元数）的运算、向量的运算等。

另外，集合内容的学习还给学生铺设了一条暗线，即学会研究问题的一般思路：实例→抽象得到数学定义→表示→性质→关系→运算→应用。这也可以迁移到函数、不等式、数列、三角、向量、概率等数学对象的研究上。

而在跨学科学习观念上，主要是集合语言的理解和运用、对问题分类研究的意识。

由此，给出《集合》单元中大概念的抽象层级（如图2所示）。

参考文献：

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*本文系北京市教育科学规划2021年度一般课题“大概念和学习进阶视角下高中数学单元教学实施策略研究”（编号：CDDB21315）的阶段性研究成果。