Δ(G)=8且不含5-圈的平面图的完备染色

张岩

（浙江树人大学 基础部，浙江 杭州 310015）

一、引言

图论起源于一个非常经典的问题——柯尼斯堡（Konigsberg）问题。

1738 年，瑞典数学家欧拉(Leornhard Euler)解决了柯尼斯堡问题。由此图论诞生。欧拉也成为图论的创始人。

1859 年，英国数学家汉密尔顿发明了一种游戏：用一个规则的实心十二面体，它的20 个顶点标出世界著名的20 个城市，要求游戏者找一条沿着各边通过每个顶点刚好一次的闭回路，即“绕行世界”。用图论的语言来说，游戏的目的是在十二面体的图中找出一个生成圈。这个生成圈后来被称为汉密尔顿回路。这个问题后来就叫做汉密尔顿问题。由于运筹学、计算机科学和编码理论中的很多问题都可以化为汉密尔顿问题，从而引起广泛的注意和研究。

图论是门应用十分广泛且内容非常丰富的数学分支，它在生产管理，军事，交通运输，计算机网络等许多领域都有重要的应用。在图论的历史中，还有一个最著名的问题－－四色猜想。这个猜想说，在一个平面或球面上的任何地图能够只用四种颜色来着色，使得没有两个相邻的国家有相同的颜色。每个国家必须由一个单连通域构成，而两个国家相邻是指它们有一段公共的边界，而不仅仅只有一个公共点。这一问题最早于1852 年由Francis Guthrie 提出，最早的文字记载则现于德摩根于同一年写给哈密顿的信上。包括凯莱、肯普等在内的许多人都曾给出过错误的证明。泰特(Tait)、希伍德(Heawood)、拉姆齐和哈德维格(Hadwiger)对此问题的研究与推广引发了对嵌入具有不同亏格的曲面的图的着色问题的研究。一百多年后，四色问题仍未解决。1969 年，Heinrich Heesch 发表了一个用计算机解决此问题的方法。1976 年，阿佩尔(Appel)和哈肯(Haken)借助计算机给出了一个证明，此方法按某些性质将所有地图分为1936 类并利用计算机，运行了1200个小时，验正了它们可以用四种颜色染色。四色定理是第一个主要由电脑证明的理论，这一证明并不被所有的数学家接受，因为采用的方法不能由人工直接验证。最终，人们必须对电脑编译的正确性以及运行这一程序的硬件设备充分信任。主要是因为此证明缺乏数学应有的规范，以至于有人这样评论“一个好的数学证明应当像一首诗——而这纯粹是一本电话簿！”染色问题是图论的重要内容，也是图论的起源之一，具有重要的理论意义和实际意义。几百年来，它深深汲引着数学家们的注意力，图的染色问题又有很多种分类，如顶点染色，边染色，全染色，点面染色，边面染色，完备染色等等。关于平面图的染色问题一直是图论界的研究热点。

本文讨论的是完备染色问题。平面图G 的一个完备染色是指一个映射 φ:V(G) ∪E(G) ∪F(G)→{1,2....,k},满足对于任意不同的相邻或相关联的元素x,y∈V(G)∪E(G) ∪F(G),都有φ(x)≠φ(y)。G的完备色数是指G 有一个完备k-染色的数k 的最小值。

文中未加定义的术语和记号请参阅文献[1].用V,E,Fδ和Δ 分别表示平面图G 的顶点集,边集,面集,最小度和最大度.设v 是图G 的一个顶点,于v 相关联的边的条数叫做v 的度数,记作d（v）,若d（v）=k (d（v）≥k),则称v 为一个k－点（≥k－点）。在平面图G 中，面f ∈F(G),用b（f）表示围绕面f 的闭途径。把闭途径b（f）的长度称为面f 的度，记为d（f），若d（f）＝k（d（f）≥k），则称f为一个k-面（≥k-面）。

若V ∪E ∪F 中的元素能用k 个颜色进行染色,使得相邻或相关联的元素都接受不同的颜色,则称G 是k 完备可染的,G 的完备色数

关于平面图的完备染色是Ringel（1965）提出的，Kronk 和Mitchem[2]猜想:对任何简单图G,(G)+4.Borodin[3]已在1993 年证明了对于任意的平面图G：若△(G) ≥12，(G)+2。并且后来他提出了一个问题，对于△(G) ≤11 的平面图G，能否找到完备色数的一个紧的上界？对于△(G) ≥7 的平面图G，Borodin 证明了(G)+4.对 于△(G) ≥6 的 平 面 图G，Dong 证 明 了(G)+5.本文证明:定理1:若△(G)=8 的平面图G 且不含有4 -圈,则χvef(G)≤△(G)+4 ＝12.

二、引理

引理1 G 是2－连通的，从而δ≥2且G 的每个面的边界都是圈。

引理2 设uv 是G 的一条边，若d（u）＝2，则d（u）＋d（v）≥ 10。即2－点只能与8－点相邻。

证明：假设d（v）≤6，且设u 相邻的另一个点为w，由引理1 可得G－{u}+{vw}是简单图,且是10－完备可染的，现在把vw 的色染给uw，则依次可染上uv，u。

引理3 任意点u 关联一个3-面，则d（u）≥4

证明：假设存在点u,关联一个3-面f，且d（u）=2，设与边uv 关联的另一个面为f1，设与点u 相邻的另两个点为v，w,则G－{u}是10－完备可染的，现在对G 进行染色，把面{f∪f1}的颜色染给f1，则可依次可染上边uv，vw,面f，点u。假设存在点u,关联一个3-面f，且d（u）=3，设与点u 相邻的另两个点为v，w,则G－{uv}是10－完备可染的，设与边uv 关联的另一个面为f1，把面{f∪f1}的颜色染给f1，删去u 的色，现在对G 进行染色，则可依次可染上边uv，面f，点u。

引理4 若G 内有一个4-面关联2 个≤3-点,则G 是12－完备可染的.

证明：假设存在一个4-面f，关联2 个≤3-点u,v,，则G－{u,v}是12－完备可染的，现在对G 进行染色，可依次可染上面f,与u,v 相关联的四条边,以及点u,v.

三、定理1 的证明

权转移规则：R1:v－点转移 1 给相关联的3-面。其中4 ≤ d（v）≤5。

R2: 8－点转移1 给相邻的2－点，1给相关联的3－面。

R3: ≥4-点转移1 给相关联的4－面。

以下考察顶点的新权：

2－点v：由引理2 及R2，w′(v) ＝－2＋2 ＝0；3－点v：w′(v)＝w(v)＝0

v－点：4 ≤ d（v）≤6，由R1，R3，w′(v)〉0；

其次考察面的新权：

3-面f：由引理3，f 不关联2-点，3-点。即f 关联三个≥4-点则由R1，R2，w′(v)=－3+3×1 ＝0.≥6 -面f：w′ (f)≥0。

4-面f:由R3，w′(v)=－1+1 ＝0.≥6 -面f：w′(f)≥0