与三次函数相关的结论及其证明

高斌

三次函数是高中数学中常见的一类函数，很多高次函数问题都可以转化成三次函数问题，这就要求我们熟练掌握三次函数的图象和性质，深入研究三次函数的解析式、单调性、对称中心、极值、最值、切线等知识，总结一些与三次函数相关的结论.

结论1.三次函数f（x）= ax3+ bx2+ cx+ d（a≠0）是中心对称曲线，对称中心仍在该曲线上，且其坐标为（

），此点的横坐标是其导函数的极值点.

证法一：假设三次函数f（x）= ax3+ bx2+ cx+d（a≠0）关于点（m，n）对称，

其充要条件是对曲线上任意一点X∈R，都有f（m -x） +f（m +x）= 2n，

即[a（m - X）3+ b（m - X）2+ c（m -x）+d]+ [a（m+x）3+6（m+x）2+c（m+x）+d]=2n，

整理得（6ma+ 2b）X2+ （2am3+ 2bm2+ 2mc+ 2d）=2n，

對应系数可得m=-

且，n=am3+ bm2 +cm+ d=d-

，

由，n=f（m）知其对称中心（

）仍然在曲线上，

所以三次函数是中心对称曲线，且对称中心为（

）.

证法二：f（x）= ax3+ bx2 +.x+ d= a（x+

）3+（c-

）+

+d，

令函数

= ax3+（c-

）x，

则函数h（x）是奇函数，其图象的对称中心为（0，0），

故函数f（x）图象的对称中心为（

+d），且该点（

）在三次函数曲线上.

证法三：设-m，n∈R使y=f（x+ m） -n是奇函数，

则f（-x+m）-n=-[f（x+ m） -n]，

化简得（3ma+ b）X2 +am3+ bm2 +cm +d=0，

则3ma+6=O.n= am3+ bm2+ cm+d，即m=，

）.

故函数f（x）图象的对称中心为（

），且在三次函数曲线上.

证法四：f（x）= 3ax2 +2bx +c图象的对称轴为x=-

，

所以f（x）=f'（

），

故

∈R，f（x）=-f（

）+c，则当x=-时，有2f（

）=C，

所以f（x）+f（

）=2f（

），

所以函数f（x）图象的对称中心为（

），且在三次函数曲线上.

证法五：f（x）= 3ax2+ 2bx+c=3a（x+

）2+

，

所以y=f（x）图象上切线斜率的最小值为

≤f（x），不妨设3a>0，

二次函数f（x）在区间（-∞，

）上单调递减，函数f（x）的图象在（-∞，-

）上是上凸的;

二次函数f（x）在区间（

+∞）上单调递减，函数f（x）的图象在（

，+∞）上是下凸的.

故导数的最小值点（

）是函数f（x）的拐点（横坐标为f（x）=0的根且随着函数图象的凹凸性改变），即为函数f（x）的对称中心.

该性质还可以运用待定系数法、配方法、构造法、积分法、微分法等来证明，同理可证明三次函数不是轴对称曲线.

结论2.当b2—3ac≤0时，三次函数y=ax3+bx2+ cx+ d（a≠0）在x∈R上是单调函数;当b2-3ac>0时，三次函数y= ax3+ bx2+ cx+ d（a≠0）在x∈R上有三个单调区间.

证明：对函数求导可得f'（x）= 3ax2+ 2bx+ c（a≠O），该导函数为二次函数，则△= 4b2 - 12ac=4（62- 3ac1，

当62—3ac≤0时，△≤0，此时f（x）≤0，三次函数y= ax3+ bx2+ cx+ d（a≠0）在x∈R上是单调函数;

当b2—3ac>0时，△>0，方程f（x）=0有两个实根，三次函数y= ax3+ bx2+ cx+ d（a≠0）在x∈R上有三个单调区间.

运用该结沦，我们可以直接判断出三次函数的单调性和单调区间.

结论3.当62—3ac≤0时，三次函数f（x）= ax3+bx2+ cx+ d（a≠0）在x∈R上不存在极值点;当b2—3ac>0时，三次函数f（X）= ax3+ bx2 +cx+d（a≠0）在x∈R上有两个极值点.

证明：（1）当62—3ac≤0时，由于不等式f'（x）≥0恒成立，三次函数在x∈R上是单调函数，所以原方程仅有一个实根;

（2）当62—3ac>0时，由于方程f'（x）=0有两个不同的实根x1，x2，不妨设x10可知，（x1，f（x1））为函数的极大值点，（x2，f（x2））为极小值点，且函数y=f（x）在（-∞，x1）和（x2，+∞）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减.

①若f（x1）·f（x2）>0，则函数y=f（x）极大值点和极小值点在x轴的同侧，图象与x轴只有一个交点，所以原方程f'（x）=0有且只有一个实根;

②若f （x1）·f（x2）<0，则函数y=f（x）极大值点与极小值点在x轴异侧，图象与x轴必有三个交点，所以原方程f'（x）=0有三个不相等的实根;

③若f（x1）·f（x2）=0，则f（x1）与f（x2）中有且只有一个值为0，所以原方程有三个实根，其中两个相等（即有两个不相等的实根）.

我们可以绘制出如下的表格.

结论4.若函数f（x）= ax3+ bx2+ cx+ d（a≠0），x∈[m，n]，x。∈[m，n]，当f'（x0）=0时，fmax（x）=max{f（m），f（x0），f（n）}，fmax（x）= min{f（m），f（x0），f（n）}.

例1.已知函数f（X） =X3+ bx2+ cx十d，下列结论中错误的是（ ）.

A.

∈R，f（xa）=0

B.函数y=f（x）的图象是中心对称图形

C.若xa是f（x）的极小值点，则f（x）在（-∞，xa）上单调递减

D.若x。是.f（x）的极值点，则f'（x。）=o

解析：由三次函数的图象和性质知，A、B正确;

若f（x）有极小值点，则f'（x）=0有两个不相等的实数根x1，x2（ x1

我们直接利用了结论l、3，便能快速得出正确答案.

例2.已知函数f（X） =X3一3x -l，若直线y=m与y=f（x）的图象有三个不同的交点，求m的取值范围.

解析：由已知得f'（x）=3x2—3，由f'（x）=0解得xl= -l，x2=1.

由f（x）的单调性可知，f（x）在x=-1处取得极大值l，在x=l处取得极小值-3.

因为直线y=m与函数y=f（x）的图象有三个不同的交点，所以m的取值范围是（-3，1）.

要画出该三次函数的图象比较困难，我们可利用结论3求出函数的极大值和极小值，进而求得m的取值范围.

结论5.（l）设点P为三次函数f（x）= ax3+ bx2+cx+ d（a≠0）图象上任意一点，则过点P有且只有一条直线与y=f（x）的图象相切;

（2）若点P为三次函数曲线的对称中心，则过点P有且只有一条切线;若点P不是三次函数曲线的对称中心，则过点P有两条切线.

（3）设点P为三次函数f（x）= ax3+ bx2+ cx+ d（a≠O）曲线外一点，则过点P-定有直线与y=f（x）图象相切，可能有一条、两条或三条切线，

例3.已知函数f（X） =X3-2x，求曲线的切线方程：

（l）在点（0，0）处的切线方程;（2）过点（0，0）的切线方程;（3）在点（1，-1）的切线方程;（4）过点（1，-l）的切线方程;（5）过点（1，

）的切线方程.

解：（1） y=-2x.（2） y=-2x.（3） y=x-2.

（4）y=x-2或y=

（5）y=

或y=

或y=

.

解答本题的关键在于根据结论5判断三次函数的切线的条数，然后根据其切点的位置求出切线的方程.

结论6.在三次函数曲线上存在惟一的一点，使曲线在该点处的切线与曲线有唯一的公共点，且此点为三次曲线的对称中心.

证明：设P（x0，y0）是曲线f（x）=ax3+ bx2+ cx+d（a≠0）上任意的一点，

则曲线y=f（x）在点P处的切线斜率k =f'（xn），切线方程为：y-y0=f（x0）（x-x0），

消去y，Yo得ax3+ bx2 +（2bx。一3axn2）x+ 2ax03+ bx02=0，

整理得（x-xn）2（ax+ 2ax0+b）=0，（*）

则切线与曲线有唯一的公共点

方程（*）有三个相等的實根

，

所以点（

）就是三次函数曲线的对称中心，且在该曲线上.

故点P唯一确定，且恰好为曲线的对称中心，命题得证.

为了证明结论6，这里运用结论l和结论5.

结论7.若三次函数曲线上存在极大值点与极小值点，则极值点连线段的中点也在三次曲线上，且此中点为三次函数曲线的对称巾心.

证明：若三次函数曲线f（x）= ax3+ bx2+ cx+d（a≠0）上存在极值点，

则方程f'（x）= 3ax2+ 2bx+c=0必有两个不相等的实根，即△=4（b2—3ac）>0，

解得x1=，

则

，

由结论3可知三次函数曲线上的两个极值点为A（x1 ，f（X1）），B（X2，f （X2）），

它们的中点恰是三次函数曲线的对称中心（

），且在曲线上，结论得证.

结论8.过三次函数曲线的对称巾心且与该三次函数曲线相切的直线有且仅有一条;而过三次曲线上除对称中心外的任意一点与该三次曲线相切的直线有两条.

证明：若P（x1，Y1）是三次曲线f（x）= ax3+ bx2+ cx+d（a≠0）上的任意一点，

设过P的切线与曲线y=f（x）相切于点（x0，y0），则切线方程为y—y0=f'（x0）（x-x0），

因为点P上此切线上，则Y1 -Y0=f'（x0）（x1-x0），

又Y0= aX03+ bx02+ cxo+d0yl=ax13+ bx12+ cxl+矗，

则 ax1 3+ bx1 2+ cx l+d- （ax03+ bx02+ cxo+d

= （3ax02 +2bxo+ c）（x1 - x0），

化简得（x1-x0）2（ax1+ 2ax0+b）=0，

解得：x0=x1 或x0=

综上所述，当点P是三次函数曲线的对称中心，即x1=

时，x0。=

此时方程只有一个实数解x0，则过点P作曲线的切线切点是唯一的，故只有一条切线;

当点P不是三次函数曲线的对称中心，即当

时方程有两个不相等的实数解，则过点P作曲线的切线可产生两个不同的切点，故有两条切线，其中一条就是以P为切点（即曲线在点P处）的切线，得证.

当切点未知时，我们可以运用结论7和结论8来求曲线切线的方程.

通过上述说明，大家能体会到有关三次函数的结论在解题中的优越性和便捷性.运用三次函数的相关结论来处理与高次函数或者三次函数相关的图象、单调性、极值、最值、不等式、恒成立、存在性等问题，非常便捷、高效.

（作者单位：江苏省南京外国语学校仙林分校）