阿贝尔方程的两个周期解的存在性

倪 华,胡潇逸,姚怡萍,朱洁怡

(江苏大学数学科学学院,江苏 镇江 212013)

1 引言

非线性阿贝尔方程

在物理和工程技术等许多领域有着重要应用[1−2],方程(1.1)的数学性质已被数学和物理学者[3−15]进行了深入研究.文献[14,15]提出了得到阿贝尔方程的通解的一种方法,他们都假定y=y1(t)是方程(1.1)的一个特解,然后通过变量代换方法,给出了阿贝尔方程的通解;文献[16]假设γ=γ(t)是阿贝尔方程的一个周期特解,然后,利用变量代换法和不动点定理,得到阿贝尔方程的其他周期解的存在性.

本文首先考虑下列阿贝尔型方程:

文献[15]给出了方程(1.2)可积的充分必要条件,如下:

命题1.1[15]阿贝尔型方程(1.2)可积的充分必要条件是a(t),b(t)满足下列条件:

其中k是常数.

在条件(1.3)成立时,b(t)/=0,(1.3)两边从t0到t(t>t0)积分,可得:

此时,a(t),b(t)不可能都是周期函数.因此,当a(t)和b(t)都是周期函数并且线性无关时,方程(1.2)是不可积的.

本文首先考虑a(t)和b(t)是周期函数时的微分方程(1.2),此时除了a(t)和b(t)线性相关外,(1.2)是不可积的.本文研究在不求出(1.2)的解的情况下,(1.2)的周期解的存在性.文献[16]利用不动点定理,得到(1.2)的唯一非零周期解的存在性;本文受文献[16]的启发,利用不同于文献[16]的方法,得到方程(1.2)的唯一非零周期解的存在性;然后,讨论了方程(1.1),在一定条件下,利用变量代换法,将方程(1.1)转化为方程(1.2),从而得到阿贝尔方程(1.1)的两个周期解的存在性.

本文余下部分安排如下:第二节,我们给出四个引理以方便以后使用;第三节,利用不动点定理得到阿贝尔型方程存在唯一非零周期解的四个定理;第四节,当方程的系数函数满足一定条件时,我们得到了阿贝尔方程的两个周期解的存在性.

2 一些定义、引理和缩写

3 阿贝尔型方程的唯一非零周期解的存在性

4 阿贝尔方程的两个周期解的存在性