基于Cubic映射的灰狼优化算法及应用*

张孟健，张 浩，陈 曦，杨 靖

(贵州大学电气工程学院,贵州 贵阳 550025)

1 引言

灰狼优化GWO(Grey Wolf Optimization)算法是澳大利亚学者Mirjalili等[1]在2014年提出的一种新的群体智能优化算法。GWO算法以灰狼的等级制度为特征，以求解连续变量的优化问题为背景，其思想是受灰狼群的捕食行为启发，进而模拟灰狼的群体狩猎等级制度并进行理论化研究。

标准GWO 算法也存在易陷入局部最优、后期收敛速度慢和求解精度不高等问题。GWO算法中，收敛因子a起到平衡算法全局和局部搜索能力的作用，但是，收敛因子a采用线性方式减小并不能很好地平衡算法的全局和局部搜索能力。因此，很多研究人员对GWO算法进行了一系列的优化改进。针对收敛因子a，魏政磊等[2]提出基于余弦函数和二次函数的非线性动态变化收敛因子更新方法；胡小平等[3]提出一种基于指数变化的参数调整策略，并运用在二维平面的无线传感器网络节点部署中；崔明朗等[4]通过添加“观察”策略以及对控制参数a的调整策略进行改进，提出了一种用于解决多目标问题的改进GWO算法。针对初始化策略的研究中，滕志军等[5]引入Tent映射来初始化种群，并将粒子群优化PSO(Particle Swarm Optimization)算法与GWO算法相结合构成新的混合算法；谈发明等[6]提出改进非线性收敛方式的GWO算法，从混沌初始化和非线性控制策略2个角度改进了GWO算法；王志华等[7]提出了基于混沌的GWO算法，并用于提高SVM(Support Vector Machine)分类器的分类精度；Ibrahim等[8]提出了一种基于差分进化和扰动算子的混沌对立的GWO算法；Saxena等[9]提出了一种基于β-混沌序列的自适应桥接机制来调节控制参数a，用于改进GWO算法，提高算法的全局和局部搜索能力；此外，莫艳红等[10]提出一种基于莱维飞行的GWO算法，一定程度上提高了算法寻优的精度，加快了收敛速度；Dhargupta等[11]提出一种基于反向学习的GWO算法来进行特征选取，增强了算法特征选取的性能。但是，上述改进策略还有可提升空间，因为目前许多智能算法均属于随机算法，采用了蒙特卡洛思想，不能完全保证对任何问题都能达到最优。

从上述2个角度对GWO算法的改进研究中，均在一定程度上提高了算法的搜索能力，但并不能解决算法在寻优过程中固有的不足。本文针对上述2个角度，提出了基于Cubic映射和反向学习策略的灰狼优化COGWO (Grey Wolf Optimization based on Cubic mapping and Opposition-based learning)算法，增强算法种群的多样性，从而提高其寻优能力和收敛速度。

2 标准灰狼优化算法

GWO算法模拟了狼群的社会等级制度和群体的狩猎行为[1]，算法中每匹灰狼代表一个候选寻优解，将最优解设为α狼；次优解设为β狼；第3优解设为δ狼，剩余的解为ω狼。

灰狼群狩猎过程包括接近和包围猎物，其数学表达式[1]如式(1)和式(2)所示：

D=|C·XP(t)-X(t)|

(1)

X(t+1)=XP(t)-A·D

(2)

其中，D为个体与目标之间的距离；t为当前的迭代次数；C和A为系数向量；XP为目标的位置向量；X为单匹灰狼的位置向量。其中，A和C的计算公式如式(3)和式(4)所示：

A=2a·r1-a

(3)

C=2r2

(4)

其中，C为1×1向量C的值，A为1×1向量A的值，r1,r2为[0,1]的随机数；a为收敛因子，其值随迭代次数的增加从2线性递减至0，如式(5)所示：

a=2-2t/Tmax

(5)

其中，Tmax为最大的迭代次数，t=1,2,…,Tmax。

灰狼个体跟踪猎物位置的公式表述如式(6)所示：

(6)

其中，Dα,Dβ和Dδ分别表示α,β和δ与其他个体之间的距离；Xα,Xβ和Xδ分别表示α,β和δ当前的位置；C1,C2和C3为随机系数向量；X为单匹灰狼的当前位置向量。

在猎捕阶段中，剩余的ω狼个体向着α,β和δ狼的前进步长和方向如式(7)所示：

(7)

灰狼个体位置的更新公式如式(8)所示：

X(t+1)=(X1+X2+X3)/3

(8)

3 对GWO算法的改进

GWO算法虽然具有较好的寻优能力，但对于高维问题存在易陷入局部最优等问题。本文主要针对算法种群的初始化与收敛因子a2个方面，通过增强算法种群的多样性和动态选择收敛因子的值对GWO算法进行改进。

3.1 Cubic映射

标准的Cubic映射[12]函数可以表示为式(9)所示：

(9)

其中，b,c为混沌影响因子，不同的b,c值Cubic映射的范围也不同。一般在c∈(2.3,3)时，Cubic映射产生的序列为混沌状态。此外，当b=1时，xn∈(-2,2)；当b=4时，xn∈(-1,1)。

文献[13]对常用的16种一维混沌映射的最大Lyapunov指数进行了计算分析，Cubic映射表达式如式(10)所示：

(10)

其中，xn∈(0,1)；ρ为控制参数，Cubic映射的混沌性与参数ρ的取值有着很大的关系。由文献[13]可知，Cubic映射的混沌性与Logistic映射、Tent映射的最大Lyapunov指数相近，且优于Sine映射、Circle映射、Singer映射和Kent映射等一维映射。文献[14]提出了一种改进的Cubic映射，其最大Lyapunov指数为1.098 4，优于Logistic映射的Lyapunov指数0.693 0。

本文中，参数ρ的取值为(1.5,3)，根据式(10)进行仿真，其结果如图1a所示。xn的初值为(0,1)，取x0=0.3，ρ=2.595时，Cubic映射具有较好的混沌遍历性，仿真结果如图1b所示。

Figure 1 Cubic mapping图1 Cubic映射

3.2 非线性收敛因子

针对收敛因子a的调节，文献[1]采用的是线性控制策略，可表示如式(11)所示：

a0(t)=afirst-afirst·(t/Tmax)

(11)

其中，afirst为控制参数的初值。

从式(1)～式(8)可知，算法初期，较大的a值可保证全局搜索能力，随着迭代次数的增加，a的值逐渐减小，可加强算法的局部搜索能力。而式(11)中，a的值线性减小，不能很好地平衡算法的全局和局部搜索能力。为了提升算法搜索精度和速度，本文将使收敛因子随迭代次数的增加而呈非线性变化。

文献[15]对多种调整参数a的策略进行对比分析，并提出一种基于正弦函数的参数调整控制策略：

(12)

其中，afirst,afinal分别为控制参数的初值和终值；μ和k为调节参数，Tmax为最大迭代次数。

文献[15]对式(12)的参数进行了实验测试，当μ=k= 2时，改进策略的寻优效果优于其他改进策略(线性函数、二次函数和指数函数)，故本文中设置μ= 2，k= 2，Tmax= 500。

各控制策略的仿真如图2所示。从图2中可以看出，不同的控制策略对算法的寻优过程有不同的影响，曲线的斜率表示算法寻优过程中的速度。本文的控制策略在前期的变化速度较慢，便于全局搜索；中期变化速度较快，便于提高搜索速度及跳出局部最优搜索；后期变化速度减缓，便于进入局部搜素，寻找最优解。

Figure 2 a vs. t in different control strategies图2 不同控制策略的控制参数随迭代次数的变化曲线

3.3 反向学习策略

反向学习策略[16]主要是对问题的可行解与反向解进行评价，选择较优的解作为下一代的优化个体，从而提高获得最优解的概率。其定义如下：

(13)

3.4 COGWO算法流程

本文提出的COGWO算法的实现步骤如算法1所示：

算法1COGWO算法

步骤1设置种群的规模N,维度dim，初始化a,A和C；采用Cubic映射式(10)初始化Xα,Xβ和Xδ的值。

步骤2根据寻优函数计算每个智能体的适应度值。

步骤3比较各智能体的适应度值以及Xα,Xβ和Xδ的适应度值，确定当前的最优解Xα,次优解Xβ和第3优解Xδ的值。

步骤4根据提出的非线性参数控制策略，由式(12)计算控制参数a的值，以及根据式(3)和式(4)分别计算A和C的值。

步骤5根据式(6)～式(8)更新种群个体的位置，再重新计算适应度值，并更新α,β和δ狼的值。

步骤6判断t是否达到Tmax，如果达到则结束，输出最优解；否则返回步骤2继续执行。

4 实验仿真与结果分析

4.1 实验设计与参数设置

为了验证COGWO算法的寻优性能及其有效性，本文设计了2组对比实验。(1)与经典的智能优化PSO算法[17]、较新的群体智能优化算法WOA (Whale Optimization Algorithm)[18]、改进的GWO算法(β-GWO(β-Chaotic map enabled Grey Wolf Optimizer)算法[9]和SOGWO(Selective Opposition based Grey Wolf Optimization)算法[11])进行对比实验； (2)与其他改进的GWO算法进行比较。

为了验证改进GWO算法的有效性，实验采用的基准测试函数如表1所示。其中，F1～F3为单峰函数，F4～F6为多峰函数。此外，本文寻优测试的实验环境为：Windows 7操作系统，Intel(R) Core(TM) i5-4210U CPU @2.4 GB，4 GB内存，Matlab 2018a。

本文的算法寻优中，各算法的参数设置如表2所示。种群规模N为30，最大迭代次数Tmax为500，维度dim为30。定义寻优成功率(Success rate)为ε=10-10，当寻优结果小于ε时，则认为寻优成功，反之为失败。

4.2 与标准的4种优化算法的比较

为验证本文提出的COGWO算法的性能，针对同一测试函数，每一种算法独立运行30次，并统计6种算法对6种基准测试函数寻优结果的平均值(Mean)、方差(Std)、寻优时间(Time)和寻优成功率(Success rate)，结果如表3所示。

Table 1 Benchmark functions表1 基准测试函数

Table 2 Parameter settings表2 参数设置

从表3中可以看出，对于单峰测试函数F1～F3的寻优，除函数F1外，COGWO算法的寻优结果均优于其他5种群体智能优化算法的；对于多峰测试函数F4～F6的寻优，COGWO算法均优于PSO算法、GWO算法和改进GWO算法。对于测试函数F5的寻优，COGWO算法与WOA的结果相近；对于测试函数F6的寻优，本文提出的COGWO算法与β-GWO算法、SOGWO算法的结果相近，但COGWO算法的寻优时间较短。

从测试函数的寻优时间来看，COGWO算法均优于标准的GWO算法；从寻优成功率来看，COGWO算法的寻优成功率均为100%；从寻优的标准差来看，COGWO算法的标准差与寻优均值的数量级相差不大。这说明COGWO算法具有较好的寻优能力和稳定性，其收敛精度也比较高。

COGWO算法与5种群体智能优化算法对6种测试函数的寻优过程，如图3所示，图3a～图3f分别表示不同算法对6种测试函数的寻优曲线趋势。从图3中可以看出,COGWO算法明显优于GWO算法，且收敛速度更快，收敛精度更高。

4.3 与其他改进的GWO算法的比较

为进一步验证本文提出的COGWO算法的有效性，与文献[10]提出的LGWO (Grey Wolf Optimization algorithm based on Levy flight) 算法和文献[6]提出的CGWO (Grey Wolf Optimization based on nonlinear Convergence) 算法进行对比，结果如表4所示。其中“/”表示改进的算法未对该测试函数进行寻优测试。

Table 3 Comparison of optimization results with standard optimization algorithms表3 与标准优化算法的寻优结果对比

Figure 3 Fitness value curves of different algorithms图3 不同算法的寻优测试结果

Table 4 Optimization comparison of optimized GWO algorithms

从表4中可以看出，对于函数F1的寻优，CGWO算法的寻优精度最佳，COGWO算法优于LGWO算法；对于函数F2的寻优，COGWO算法的寻优结果比LGWO算法的寻优结果高出5个数量级；对于函数F3和F5的寻优，COGWO算法与CGWO算法的均值结果相差不大，但从标准差来看，COGWO算法的稳定性更好；对于函数F6的寻优，COGWO算法和LGWO算法均优于CGWO算法。

5 工程优化问题应用

为了验证COGWO算法的性能，本节将其应用在拉压弹簧设计的工程问题中，并与GWO算法、PSO算法和WOA进行对比分析。

拉压弹簧设计问题是工程领域的一个经典的优化设计问题，在满足条件的前提下，要求弹簧的质量最小。此外，该设计问题主要包括3个变量：即弹簧的横截面的直径(d)、平均线圈的直径(Diam)和有源线圈的数量(Q)。

该问题的具体表述如式(14)所示：

X=[x1,x2,x3]=[d,Diam,Q]

(14)

目标函数如式(15)所示：

(15)

约束条件如式(16)所示：

(16)

其中，变量的取值范围如下所示：

4种算法对拉压弹簧设计问题的实验结果如表5所示。

Table 5 Results of spring design problem by four optimization algorithms表5 4种优化算法的弹簧设计问题结果

从表5中可以看出，对于拉压弹簧设计问题，COGWO算法要略优于其他群体智能算法。此外，COGWO算法对于其他实际工程优化问题的应用效果的验证，还需要针对具体问题进行优化计算和实验。

6 结束语

本文针对标准的GWO算法对复杂优化问题的求解易陷入局部最优的缺点，从混沌初始化和非线性控制策略2个角度改进GWO算法，提出了一种基于Cubic映射和反向学习的GWO算法COGWO。通过混沌映射来增加初始种群的多样性，反向学习策略和非线性控制参数策略用来改进算法的收敛速度，并提高算法的收敛精度。与5种群体智能算法对6种基准测试函数进行寻优实验，寻优结果表明，与对比算法相比COGWO算法的寻优能力和收敛精度得到一定的提高，且稳定性增强。此外，本文的COGWO算法与LGWO算法和CGWO算法相比，稳定性较好，寻优精度也较高，在实际的工程优化问题中也有较好的应用。未来将COGWO算法应用到更多的实际工程优化问题中，且对COGWO算法的收敛性理论证明开展进一步的研究。