初中生几何证明的常见问题及解决策略*

汪雪梅

(陕西省汉中市南郑区高台镇初级中学 陕西 汉中 723000)

引言

初中几何以推理证明为教学的主要内容，旨在培养学生的逻辑思维能力，发展数学核心素养。但是，由于几何推理本身具有系统、严密、抽象的特点，一直被认为是一门较难的学科。特别是学生开始系统学习形式化演绎推理之后，问题表现更为突出。几何证明成了部分学生学习的瓶颈。本文结合教学实际，对初中生在几何证明中所出现的常见问题进行阐述，并提出相应的教学解决策略，以期对广大同行的教学有所帮助。

1.问题阐述

1.1 证明的语言不精炼，书写不规范。此类现象主要表现在学生不能熟练使用几何符号语言进行描述，过多使用文字语言，条件、结论和理论依据混淆不清，没有严格按照要求规范书写。例如在利用平行四边形的性质推两对角线互相平分时，学生描述为“因为四边形ABCD是平行四边形，AC和BD是对角线，平行四边形的对角线互相平分，所以OA=OC,0B=OD”，表面上看，学生的逻辑清晰，有理有据。实际上，这种推理方式只能称之为“说理”，而非证明。这样的书写的最大弊端就是整个过程看起来非常繁琐，且一旦遇到复杂、过程较长的证明题，书写量过大，条理不容易表达清楚。

1.2 证明的逻辑不严密，仅凭直觉进行推理。这种情况主要体现在学生对于一些自认为正确的结论，在解题时不加证明，直接使用。例如图1中，已知E为AB的中点，DE∥BC，求证AD=BD。学生的证明过程如下：

∵E为AC的中点，且DE∥BC

∴DE是△ABC的中位线

∴AD=BD

显然，此过程的第一步是学生凭借直观感觉所得。虽然利用已知条件确实可得DE是△ABC的中位线，但是须结合其他定理具体证明，不能“想当然”。几何证明重在体现执因索果的过程，培养思维的严密性，诚如上述这般直截了当，倒不像是证明，更像是概括命题。

1.3 证明的方法不简洁，不能学以致用。几何证明题的解题思路通常不止一种。学生由于思维的局限性及证明习惯，往往会选择自己常用的方法，而不去进行思考和比较哪种方法更简单。例如，在证明线段的垂直平分线的判定定理时，用等腰三角形的“三线合一”定理是非常简洁的，但是实际教学反映的情况是，有6成以上学生更愿意选择用三角形全等证明。方法虽然可行，但却将简单的问题复杂化，入了定理重复证明的误区。

1.4 证明复杂问题时毫无思路，条理不清。许多学生在学习几何证明时，对于简单的题目还能独立完成，一旦遇到较为复杂的几何证明题就会“卡壳”，要么毫无思路，无从下手，或者有思路却不能完整的写出证明过程，需要有他人的帮助才能完成。究其原因，主要是学生的头脑中缺乏知识的归纳和方法的积累，不能够将知识灵活应用，导致几何思维能力水平较弱。

2.教学应对策略

2.1 加强几何语言的训练，规范书写要求。符号语言、图形语言和文字语言是数学常用的三种语言，在几何证明时，我们常用文字语言来陈述题设和结论及推理的理论依据，辅以图形来直观体现各要素的结构特征和相互间的关系，而主要用几何符号语言来描述推理的过程。要在学生开始学习“图形与几何”时就刻意训练学生三种语言之间的转换。并在学习证明的起始阶段就要求学生用规范的符号语言书写证明过程，熟练掌握三段论推理形式，逐步培养学生用“简洁的数学语言清晰的表达世界”的习惯。

2.2 培养学生的严谨的逻辑思维习惯。证明过程讲究严谨性，要求做到步步有据，这里所谓的“据”就是证明的出发点即公理，以及已证得的正确命题即定理。要在平时教学中多问“为什么”，引导学生暴露思维过程，教会有条理地表述问题。让学生认识到观察和猜想是获得结论的有效途径，但要说明结论的正确性，必须要有凭有据，讲清道理，也就是要证明。在强调证明必要性的同时，逐步培养学生的几何推理能力。

2.3 注重知识和方法的更新，通过对比进行优化。学生证明方法过于保守，这就需要教师在教学中有效引导。一方面，我们在教授几何概念和定理时要让学生了解所学知识在解决问题时的作用，并有意识地通过适量的练习加以强化应用，让学生在新知识与方法的应用上积累足够的活动经验；另一方面，当同一个命题有多种证明思路时，可让学生将多种方法进行比较和讨论，体会不同方法的优缺点。激发学生对数学证明的兴趣，发展思维的广阔性和灵活性。

2.4 学会方法归纳和建构，打开证明的思路。想让学生在面对问题时心中有“法”，首先要从证明方法的总结和归纳入手。例如，在学习了三角形中位线的性质定理时，要逐步引导学生总结：中位线性质定理的作用是判断两条线段之间的位置关系(平行)和数量关系(倍半)的；并适时追问：根据现在所学，判断两直线平行都有哪些方法？判断两线段之间存在二倍的数量关系又有哪些方法？目的是及时将所学知识纳入学生原有的知识体系，实现知识的建构和方法的迁移。

其次，对于较复杂的证明题，笔者在教学中尝试应用画步骤图的方法，即先让学生像列作文提纲那样，把证明思路用简单的符号和文字记下来，再进行具体的证明过程书写。这种方法可以让学生用较短时间理清思路，避免由于反复修改而造成条理不清，书写凌乱的情况。

结语

范·希尔理论指出，学生几何思维水平的发展在很大程度上取决于课程教学，并需要有教师的指导。因此，几何教学中要多从学生的实际情况出发，因势利导，针对问题制定切实有效的对策，这样才能提升学生的推理能力，使得几何证明不再成为学生数学学习的难点。