顺势而为 顺学而教

盛媛媛

《一元二次方程根与系数的关系》在新课标中是列为选学内容的，虽然明确指出不作为考试要求，但是任课老师们都没有忽略该内容，而是不约而同的进行教学。因为这一内容在数学中有着相当重要的作用。一元二次方程的求根公式和根与系数的关系（即：韦达定理）分别从两个不同的角度揭示了一元二次方程根与系数的内在联系，并且掌握好韦达定理能有效深化学生对一元二次方程的理解，提高学生运用一元二次方程分析问题和解决问题的能力，为学生今后的数学学习提供有利的条件[1]。

但是在本节课的教学设计上，笔者参考了很多，发现多数以解方程填表作为引入，让学生填完表后思考一元二次方程的根与系数的有什么关系，这样的方式对学生来讲是很困难的，学生会很困惑，找不到思考的方向，不知道哪种关系是自己需要关注的;甚至有些设计里在表格中就直接给出了，这样设计对学生来讲这节课的知识更是显得突兀，学生根本不清楚为什么要研究根与系数的这种关系，从心理上难以接受，很不利于学生对知识的理解和运用。不仅如此，在韦达定理的证明上一般都是基于求根公式的，这种证明并不是一种好的证明，这一点在《义务教育数学课程标准解读》（2011年版）中已经明确指出了：“这种基于求根公式的证明不是一个好的证明。”鉴于课堂教学要讲究自然而然，讲究知识点之间的衔接流畅，在学生已有的学习经验的基础上，按照学生的认知规律教学，能激发和调动他们的学习兴趣和积极性，能引发他们的数学思考，使之掌握有效的数学学习方法[2]。笔者基于理解数学、理解学生、理解教学的认识，顺应学生的认知发展进程，顺势而为、顺学而教为宗旨，以突出重点、突破难点为目的，重新构思了本内容的教学设计。

问题1：解方程：（1）（2）（3） .

追问1：对比（1）、（2）、（3）三个方程的根，你有什么发现？

追问2：一元二次方程的根由什么决定？根与系数的关系是什么？

设计意图：通过解三个具体的一元二次方程帮助学生复习回顾一元二次方程的解法，通过追问1，引导学生发现一次项系数符号变了，根也随之而发生了变化，而且两根仅仅是符号发生了变化;常数项变了，根也随之发生了变化。让学生体会到数学中的“变与不变”的思想，也让学生体会到方程的根和一次项系数和常数项有关系.通过追问2，引起学生的回忆，一元二次方程的求根公式反映的就是根与系数的一种关系，并帮助学生复习了这种关系.

问题2  解方程：

追问1：你能不能再写出一个根为1、-4的一元二次方程？这样的方程有几个？应该怎么表示？

追问2：你能不能写出所有根为的一元二次方程？

设计意图：学生通过解方程，发现它的根与问题1中的方程（3）的根完全相同，引发学生思考和它们同根的方程有多少个？该怎样表示？经过思考学生会联想到一元二次方程解法之一——因式分解法.通过因式分解法的启发学生能自己写出同根方程的一般形式：。问题2也进一步让学生体会一元二次方程中的第二个“变与不变”——根发生变化，一元二次方程的各项系数也随之而发生变化.通过追问2，把问题一般化，采用从特殊到一般的研究方法，易于学生理解，也为学生提供了一种研究问题的思想方法。

问题3  把方程化成一般形式，对比一元二次方程方程的一般形式你有什么发现？（知道方程的两根，是怎样把一元二次方程的各项系数确定下来的？）

追问1：如何证明你的发现？你有哪些方法？（学生分组讨论）

追问2：根据方程根的意义，得到和，能否进一步得到根与系数之间的关系？

追问3：能否用文字敘述两个根、的和、积与一元二次方程系数之间的关系？

设计意图：通过问题3，让学生思考一元二次方程的两根是如何反过来确定各项系数的，从而让学生发现根与系数的关系之二：这里对于一元二次方程根与系数的这种关系并不是像以往那样让学生提出猜想，那样是很困难的，而且在内容的理解上也很牵强，学生不知道为什么只研究和与积而不研究其它的关系。在这里是让学生通过合情推理，利用多项式的相等的知识，发现了一元二次方程的各项系数可以由两根确定，进而顺其自然的发现根与系数的这种内在联系。这种发现过程也为后续韦达定理的证明提供了一种思路.通过追问1，在教师的指导下学生易得到如下的证明：设一元二次方程有两个根，则该方程就一定可以写成如下形式：.因此，将上式左、右两边变形得[3] ，再由“多项式相等”的概念容易得到韦达定理。这种证明方法便于学生从本质层面去理解一元二次方程根与系数的关系，而且为学生今后探讨一元高次方程的根与系数的关系提供了一种可行的科学研究思路，真正挖掘了这种证明方法背后所蕴含的丰富的科学方法，与“理解数学”的要求相呼应[2]。通过追问1、追问2引导学生利用不同方法推理根与系数的关系，发展学生代数推理的能力，培养思维的灵活性与多样性。通过追问3，让学生尝试用语言叙述一元二次方程根与系数的关系，培养学生的语言表达能力，加深学生对韦达定理的理解。

例1 求下列方程两根的和与积：

设计意图：不解方程，求两根的和与积，让学生深刻体会到韦达定理的简便性，让学生学有所用，学有所思.在应用一元二次方程根与系数的关系时要特别注意方程有实数根的条件，即，再直接利用结论解决问题。

例2 若方程的一根为1，求它的另一个根和m的值.

设计意图：韦达定理的应用比较灵活，学生在解这道题时可能有不同方法，通过不同方法的对比讨论，让学生在解题中进一步体会韦达定理的灵活之处，加深对理解根与系数内在联系的理解[4]。

小结

一元二次方程的根与系数的关系是什么？应用一元二次方程根与系数的关系时要注意什么问题？

设计意图：通过思考让学生回顾本节课的内容，把握本节课的核心，体会数学活动过程的探索性，发展学生的归纳和概况能力。

学生是学习的主体，教师的教学应该从学生的已有知识经验出发，基于学生最近发展区，给予学生探究韦达定理合适的梯子，让学生经历深层次的思考，真正理解韦达定理的生成过程.苏霍姆林斯基曾说过，在人的心灵深处，都有一种根深蒂固额需要，这就是希望自己是一个发现者、研究者、探索者，而这种需要在学生的精神世界中尤为重要.这就要求教师在课堂教学中尊重学生是学习的主人，在各个环节上力求知识问题化，问题情景化，调动起学生的学习热情，激发起学生学习的内驱力，让学生在自我探索中发现真理，提高学生精神世界的自我满足感.好的课堂应该是春风化雨、润物细无声的，教师通过设置好的问题引导，引领学生一步一步的向目标靠近，让学生通过自主、合作探究获得知识，获得优秀的思维习惯和能力。

“授人以鱼不如授人以渔”，我们今天的教育并不是要教给学生多少知识，而是要培养学生独立解决问题的能力.这就要求教师的教育教学要遵循自然规律，遵循学生的认知特点和发展规律，不能刻意而为，要顺势而为、顺学而教，回归教育本质。

参考文献：

[1]教育部基础教育课程教材专家工作委员会.义务教育数学课程标准解读（2011版）【M】.北京师范大学出版社，2012：167.

[2]邹楚林 甘哲.基于三个理解 创新教学设计【J】.中学数学教学参考，2016（6）：63-65.

[3]严士健.义务教育教科书数学九年级上册【M】.长沙：湖南教育出版社，2014：46-47.

[4]南京市教研成果丛书编委会.课程标准的教学解析和实施建议【M】.江苏凤凰教育出版社，2017：16.