耿海音
新定义型创新题常常以“问题”为核心,以“探究”为途径,以“发现”为目的,以所学知识为依托,重点考查同学们理解问题、解决问题的能力.新定义型创新题一般会给出一些新设定的定义及运算法则,要求同学们根据新定义及运算法则,结合已有的知识、经验,将问题转化为熟悉的问题,运用所需的知识解题.下面以几道题为例,谈一谈求解新定义型创新题的方法.
例1.若x ∈A,则∈A,则称 A 是伙伴关系集合,集合的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是_____个.
解析:解答本题,我们需仔细研究新定义“伙伴关系集合”,可发现具有伙伴关系集合中的元素可互为
倒数,所以集合 M 中具有伙伴关系的元素是-1,,2,则具有伙伴关系的集合有3个:
与集合有关的新定义型创新题,一般侧重于考查集合中元素之间的联系以及规律.因此在解题时,我们只需紧扣新定义,把握集合中元素之间的联系,根据集合的定义、运算法则进行求解即可.
例2.(多选)已知点 M1,0,直线 l:x =-2,若某直线上存在点 P,使得点 P 到点 M 的距离比到直线l 的距离小1,则称该直线为“最远距离直线”,则下列结论正确的是().
A.点 P 的轨迹曲线是一条线段
B.点 P 的轨迹与直线l':x =-1没有交点
C. y =2x +6不是“最远距离直线”
D. y = x +1是“最远距离直线”
解析:解答本题要抓住“最远距离直线”的定义.先根据题意与抛物线的定义,可得点 P 的轨迹方程为 y2=4x,再根据“最远距离直线”定义确定点 P 的轨迹
与直线l':x =-1没有交点、y =2x +6不是“最远距离直线”、 y = x +1是“最远距离直线”,所以BCD正确.
本题主要考查了直线与抛物线的位置关系、抛物线的定义以及圆锥曲线的轨迹问题.解题的关键在于 理解“最远距离直线”这一定义.创新圆锥曲线新定义问题一般会直接给出一个新定义的曲线,我们根据椭圆、双曲线、抛物线的定义及几何性质就能快速解题.
例3.
解析:
解答本题的关键是正确理解曲线 y =f(x)在点 A、B 之间的“平方弯曲度”这一新定义,然后依据此定义建立目标函数将问题转化为熟悉的最值问题来求解.
在解答与函数有关的新定义型创新题时,要首先正确理解新定义,然后结合基本函数的性质和图象来解题.
由此可见,解答新定义型创新题的基本思路是:第一步,正确理解新定义;第二步,根据新定义建立关系式;第三步,结合所学的知识、经验将问题转化为熟悉的问题;第四步,运用所學的公式、定理、性质等合理进行推理、运算,求得结果.新定义型创新题侧重于考查同学们的创新和分析、解决问题的能力.在日常学习中,同学们不仅要熟练掌握基础知识、方法,还要重视培养自主分析问题、解决问题的能力以及创新能力.
(作者单位:西安交通大学苏州附属中学)