一类奇摄动高阶方程非线性多点边值问题

刘 燕，杜冬青

(1.安徽师范大学皖江学院 电子工程系，安徽 芜湖 241000； 2.江苏联合职业技术学院徐州财经分院 基础部，江苏 徐州 221000)

0 引言

源于天体力学的奇异摄动理论已经成为处理非线性问题的重要工具, 近年来, 关于非线性奇摄动边值问题已经得到广泛的研究[1～10]。其中文献[1～3]分别研究了二阶、三阶、四阶非线性微分方程的奇摄动两点边值问题。多点边值问题的存在性结果由Il’in和Moiseev[11,12]发起, 随后, 一些作者讨论了多点边值条件的非线性微分方程的奇摄动问题。如文献[4～5]研究了具有三点边值条件的二阶微分方程的奇摄动问题， 文献[6]讨论了一类具有三点边值条件的三阶微分方程的奇摄动问题，利用Schauder不动点定理、格林函数和上下解法得到边值问题解的存在性和渐近估计，文献[7]采用一种新的Liouville-green变换得到奇摄动二阶微分方程多点边值问题的渐近解，文献[8]利用微分不等式理论和Leray-Schauder度理论，研究了一类三阶微分方程的多点边值条件的奇摄动问题，得到解的存在唯一性和渐近估计结果，文献[9]在文献[8]的基础上将线性多点边值条件推广到非线性多点边值条件，讨论了一类三阶微分方程的非线性多点边值条件的奇摄动问题，并将标量边值问题扩展到向量边值问题[10]。受到以上工作的启发，本文考虑如下一类更为一般的n阶微分方程的附以非线性多点边值条件的奇摄动问题。

εy(n)+f(t,y,y′,…,y(n-1))=0,0

(1)

y(i)(0)=gi(y(i)(t1),y(i)(t2),…,y(i)(tm)),i=0,1,…,n-2

(2)

y(n-2)(1)=gn-1(y(n-2)(t1),y(n-2)(t2),…,y(n-2)(tm))

(3)

其中0

现作如下假设:

[H1]问题(1)～(3)的退化问题

(4)

(5)

在t∈[0,1]上有充分光滑的解Y0=Y0(t);[H2]函数f(t,y,y′,…,y(n-1)),关于其变元在相应区域内充分光滑,并存在正常数δ0，δ1使得

fy(n-1)≤-δ0,fy(k)>0(k=0,1,…,n-3), 且

[H3]n-1阶线性微分方程

具有n-1个线性无关的解y1(t),y2(t),…,yn-1(t)∈Cn[0,1],满足

其中

[H4]函数gi(y1,y2,…,ym)(i=0,1,…,n-1)关于其变元在相应区域内充分光滑, 且存在正常数l1,l2使得giyl≥ 0(i=0,1,…,n-1;l=1,2,…,m),

1 问题的外部解

设外部解的形式为

(6)

将(6)式代入(1)和(2)式, 可得退化问题(4)～(5), 以及

(7)

(8)

其中Fj-1是有Y0,Y1,…,Yj-1依次确定的函数,Gj-1是依次确定的常数, 由假设[H1][H3]和(7) (8)式可依次确定Yj(t)(j=0,1,2,…) ,得到问题的外部解。

2 边界层校正项

由假设可知, 边值问题(1)～(3)在x=1附近具有边界层项, 引进伸展变量

令

y=Y(t,ε)+εn-2V(ζ,ε)

(9)

其中

(10)

且其具有性质

(11)

将(6)(9)(10)式代入(1)(3)式得

(12)

(13)

(14)

(15)

引进光滑函数Ф(t)∈C∞[0,1], 使得

其中p(t)是个多项式函数,σ为足够小的正常数, 令

(16)

由此得到问题(1)～(3)的N阶形式渐近解。

3 主要结果及证明

定义1[13]若函数α(t),β(t)∈Cn-1[0,1]∩Cn(0,1)满足

α(n)(t)+f(t,α(t),α′(t),…,α(n-1)(t))≥0,0

α(i)(0)≤gi(α(i)(t1),α(i)(t2),…,α(i)(tm)),i=0,1,…,n-2

α(n-2)(1)≤gn-1(α(n-2)(t1),α(n-2)(t2),…,α(n-2)(tm))

β(n)(t)+f(t,β(t),β′(t),…,β(n-1)(t))≤0,0

β(i)(0)≥gi(β(i)(t1),β(i)(t2),…,β(i)(tm)),i=0,1,…,n-2

β(n-2)(1)≤gn-1(β(n-2)(t1),β(n-2)(t2),…,β(n-2)(tm))

则称α(t),β(t)分别为边值问题

u(n)+f(t,u,u′…,u(n-1))=0,0

(17)

u(i)(0)=gi(u(i)(t1),u(i)(t2),…,u(i)(tm)),i=0,1,…,n-2

(18)

u(n-2)(1)=gn-1(u(n-2)(t1),u(n-2)(t2)，…,u(n-2)(tm))

(19)

的下解和上解。

定义2[13]设α(t),β(t)∈Cn-1[0,1]满足

α(i)(t)≤β(i)(t),0≤t≤1,i=0,1,…,n-2

函数f(t,x0,…,xn-1)称为关于函数α(t),β(t)满足Nagumo条件, 如果

ξ=maxβ(n-2)(1)-α(n-2)(0),β(n-2)(0)-α(n-2)(1)

存在常数C=C(α,β)且

|f(t,x0,…,xn-1)|≤w(t)φ(|xn-1|)

且

其中, 当p=∞时,(p-1)/p≡1,

引理1[13]若边值问题(17)～(19)满足以下条件

1) 当(t,x0,…,xn-1)∈(0,1)×n时,f(t,x0,…,xn-1)关于变量x0,…,xn-3不减;

2) 当(y1,…,ym) ∈m,gi(y1,…,ym)(i=0,…,n-1)关于每个自变量不减;

3) 存在下解α(t)和上解β(t), 且当t∈[0,1]时, 满足

α(i)(t)≤β(i)(t),i=0,1,…,n-2

4)f(t,x0,…,xn-1)关于α(t),β(t)满足Nagumo条件。

则边值问题(17)～(19)至少存在一个解u(t)满足

α(i)(t)≤u(i)(t)≤β(i)(t),|u(n-1)(t)|≤C,t∈[0,1],i=0,1,…,n-2

定理1 在假设[H1]～[H4]成立下, 则存在充分小的正数ε0, 使得对任意的0<ε<ε0, 边值问题(1)～(3)有解y=y(t,ε)∈Cn[0,1],满足

证明 构造辅助函数

α(t,ε)=yN(t,ε)-γ(1+t)n-2εN+1β(t,ε)=yN(t,ε)+γ(1+t)n-2εN+1

其中γ为待定的充分大的正常数。

显然有

α(i)(t,ε)≤β(i)(t,ε),t∈[0,1],i=0,1,…,n-2

另外, 由微分中值定理, 存在正常数N1,N2,使得

β(i)(0)-gi(β(i)(t1),β(i)(t2),…,β(i)(tm)),i=0,1,…,n-2

=(l1γ-N1)εN+1

以及

β(n-2)(1)-gn-1(β(n-2)(t1),β(n-2)(t2),…,β(n-2)(tm))

=(l2γ-N2)εN+1

β(i)(0)≥gi(β(i)(t1),β(i)(t2),…,β(i)(tm))

β(n-2)(1)≥gn-1(β(n-2)(t1),β(n-2)(t2),…,β(n-2)(tm))

类似地, 只要γ充分大，就有

α(i)(0)≤gi(α(i)(t1),α(i)(t2),…,α(i)(tm))

α(n-2)(1)≤gn-1(α(n-2)(t1),α(n-2)(t2),…,α(n-2)(tm))

最后,

εβ(n)+f(t,β,β′,…,β(n-1))

当t∈[0,σ]时, 由外部解的构造知存在正常数N3,使得

=(N3-δ1γ)εN+1

当t∈[1-σ,1]时, 由外部解和右边界层的构造知存在正常数N4,使得

N4εN+1-δ1γεN+1

=(N3+N4-δ1γ)εN+1

当t∈[σ,1-σ]时, 由于每个Vj(ζ)(j=0,1,2,…)具有边界层性态, 故存在正常数N5和充分小的正数ε0,使得

=(N3+N5-δ1γ)εN+1

就有εβ(n)+f(t,β,β′,…,β(n-1))≤0,0

类似可证, 当t∈[0,1]时, 只要γ充分大, 有

εα(n)+f(t,α,α′,…,α(n-1))≥0,0

由引理1可知，对于充分大的γ, 当0<ε<ε0,边值问题(1)～(3)有解y(t,ε)∈Cn[0,1],满足

定理证毕。