明确导向 落实素养 夯实基础 精准备考*——2021年新高考数学I卷第16题的评析与备考启示

广东省中山市濠头中学(528437) 闫 伟

2019年教育部考试中心制定《中国高考评价体系》,在高考“为什么考,考什么,怎么考”的问题上给出了明确的理论指引和方法指导. 今年全国高考数学试题继续保持着以“一核四层四翼”的高考评价体系为依托,遵循考试大纲,聚焦学科主干知识,突出考查关键能力,凸显基础性、综合性、应用性和创新性,彰显学科核心素养的命题导向,对今后的数学教学和复习备考有很好的借鉴意义. 下面以2021年新高考数学I 卷第16 题为例,进行评析和提出合理的复习备考建议.

1 试题呈现

题目(2021年新高考数学I 卷16 题)某校学生在研究民间剪纸艺术时, 发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折,规格为20dm×12dm 的长方形纸,对折1 次共可以得到10dm×12dm, 20dm×6dm 两种规格的图形, 它们的面积之和S1= 240dm2,对折2 次共可以得到5dm×12dm,10dm×6dm,20dm×3dm 三种规格的图形,它们的面积之和S2=180dm2,以此类推,则对折4 次共可以得到不同规格图形的种数为____;如果对折n次,那么=____dm2.

2 试题评析

2.1 试题命制导向明确,充分体现高考的核心功能

《普通高中数学课程标准(2017年版)》明确指出把数学文化融入数学学习内容中,充分体现数学文化价值,体现数学对于人类文明发展的贡献和对推动社会发展的作用[1]. 纵观今年的高考题,命题者在考查基本主干知识的基础上,发挥数学学科特点,设计了一些与数学文化相联系的实际情境,通过这些试题力求培养学生热爱中华民族优秀传统文化,感受中华优秀传统文化的民族性与世界性. 2021年新高考I 卷第16 题通过结合我国传统文化剪纸艺术的实际情境,让学生体验探索数学问题的过程,重点考查学生灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力,意在激励学生弘扬中华传统优秀文化,增强文化自信,以此培养学生的爱国主义情怀,引导学生形成正确的世界观、人生观、价值观,充分体现了高考评价体系中“核心价值”在数学学科考查中的育人功能.

2.2 聚焦关键能力,落实素养考核

本题在情境设置上贴近生活, 通过较熟悉的剪纸对折,学生可以随手进行纸张对折这一数学探究活动,通过折叠图形得到相应的数据变化规律,体验探索数学问题的过程;两个填空设置也是别出心裁,第一空需要学生明确纸张对折后的规格,意在考查学生动手实践的探索能力和综合分析问题的能力;第二空要根据对折后产生不同图形的规格计算所有图形面积之和,学生可以通过对折实验探究出所有规格的分布规律,进一步归纳整理可以获得一个数列关系,目的是考查学生善于发现规律的观察能力、推理论证能力以及运用数列知识进行转化的能力和运算求解能力.

本题重点考查科学思维素养,并且考核要求水平层次较高. 对应科学思维水平为: 能够根据对问题情境的分析,建构恰当的数学模型;能在新的情境中运用抽象与联想、归纳与概括、推演与计算等思维方法对综合性数学问题进行分析和推理,解决生活实践或学习探索情境中的各种问题[2]. 另外试题要求考生主动思考,发现新问题、找到新规律、得出新结论,指向考查理性思维素养、数学探究、数学应用素养以及数学文化素养,体现了研究性学习理念,凸显区分甄选功能.

2.3 鼓励学生多视角思考

(1)直接举例分析: 类比前面对折1 次和2 次所得结果,不难得到对折三次的结果有:×12,5×6,10×3,20×共4 种不同规格(单位dm2);对折4 次可得到如下规格:×12,共5 种不同规格(单位dm2).

(2)由于每次对折后图形的面积都减小为原来的一半,故各次对折后的图形,不论规格如何,其面积成公比为的等比数列, 首项为120(dm2), 第n次对折后的图形面积为对于第n次对折后图形的规格形状种数,根据(1)的过程和结论可得为n+1 种,这n+1 种规格的面积和为Sn=设

令Tn=于是此题本质上是一个“差比型”数列求和,那么本题的解法很多,学生可以利用多种思路解决,下面例举7 种思考的视角,仅供参考.

视角1(基于错位相减的视角)因为

①- ②得:

评注解决差比型数列求和的常用方法是错位相减法,此法求和模式化很强,但是计算时往往涉及繁分式化简、指数幂运算等,学生极易算错,需要学生耐心、细心的运算品质.

视角2(基于分组求和的视角)因为

又因为

评注解题的关键是将前n项和Tn分成为和前者是一个等比数列求和, 后者可以转化为求和.

视角3(基于裂项相消的视角)因为所以

评注裂项相消法解决“差比型”数列问题,根据项的特征将拆成然后利用累加法直接得到Tn,这种解法可以大大减少运算,提高解题效率. 但是裂项求和的能力以及代数变形的技巧要求较高,平常的教学中可以视学生情况进行拓展.

视角4(基于构造的视角)因为Tn=···+所以Tn -Tn-1=(n≥2), 两边同时加上可得:Tn+Tn-1+于是数列为常数列,所以于是有

评注解题的关键是在等式Tn-Tn-1=两边同时加上从而构造常数列一步到位解决此类数列求和问题,解题过程相对简洁,至于这一项如何得来的,其本质是通过待定系数法构造所得.

视角5(基于方程的视角)因为

解关于Tn的方程可得Tn= 2(3-), 所以120Tn=240×

评注本解法将前n项和Tn中的部分项分组整合,利用转化与划归的思想构造Tn与Tn-1的等量关系式, 再将Tn-1=Tn -代入得到关于Tn的方程,最后解方程即可,该法是“差比型”数列求和的一种常用方法.

视角6(基于等比性质的视角)因为所以

由等比性质可得:

评注等比性质法的本质也是构造关于Tn的方程,通过构造比值为的通式,利用等比性质得到一个关于前n项和的分式,然后整理成关于Tn的等比为的分式方程,方法较巧妙,需要学生对相关知识的积累和灵活运用.

视角7(基于公式的视角)数列{(an+b)qn}(q /= 0,1)的前n和Tn= (An+B)qn+1+C,其中A=

证明因为Tn= (a+b)q+(2a+b)q2+···+(a(n-1)+b)qn-1+(an+b)qn, 所以qTn= (a+b)q2+(2a+b)q3+···+(a(n-1)+b)qn+(an+b)qn+1,两式相减得:

评注本题作为客观题利用公式法能快速准确求解答案,但是公式本身不便记忆,如果作为解答题得先推导出来再使用,也可作为同学们验证结论的方式.

3 备考启示

3.1 明确导向,将数学教学与生活情境紧密联系

2017 版《普通高中数学课程标准》中提到:“试题要注重围绕生产生活或科技等设计问题情境,加强对学生运用基础知识解决简单实际问题能力的考査. 试题的任务情境要与生产生活、科技发展等紧密联系,要关注数学学科前沿与成果应用;要探索设计与现实相关的问题情境,加强对学生应用数学知识综合解决实际问题能力的考查.”本题通过结合我国传统文化剪纸艺术的实际情境,从数学史方面渗透数学文化,凸显中国传统文化的精髓,在弘扬中国优秀传统文化的同时,引导学生胸怀祖国,放眼世界. 近三年的数学高考试题中,情境化试题都非常丰富,可以用上表1 总结呈现. 从表1中可以看出,近年来高考题取材于现实生活的前沿科技、生活问题不在少数. 在教学中,教师应当注重情境化教学,以自然界及社会生活、生产中客观存在的与数学相关的现象或过程为背景,提高学生运用数学知识解决现实生活问题的能力;这样既能拓宽学科视野,也能增强学科实践探索意识,提升科学态度与核心素养.

表1 2019-2021年全国卷数学高考题的情境化试题概括

3.2 落实素养,加强数学阅读,促进数学理解,践行数学文化

《普通高中数学课程标准(2017年版)》指出: 高考命题应有一定数量的应用问题,重点考查学生的思维过程、实践能力和创新意识.[1]高考数列试题出现新情境化数列问题,首先需要学生理解“情境”,这就要求教师在平时的教学中要注重学生“理解能力”的培养,要加强数学阅读,用以促进学生数学理解. 另外,以传统文化为载体,加强数学传统思想文化的渗透,将国家的育人要求与高考选拔相结合,是近年高考新动向. 这就需要我们在日常教学中结合相应教学内容渗透数学文化,注重传统文化中的数学元素,开拓学生数学视野,激发学生学习兴趣与好奇心,培养学生科学精神. 在促进学生数学理解,践行数学文化的过程中,逐步落实学生的数学核心素养,方能在今后的数学学习中“致远”.

3.3 夯实基础,重视等差、等比数列基本量计算以及常见求通项、求和方法的训练

《普通高中数学课程标准(2017年版)》指出: 在数学高考命题中,考查内容应围绕数学内容主线,聚焦学生对重要数学概念、方法的理解和应用,强调基础性,注重数学本质、通性通法[1]. 近些年来全国各套高考试卷对数列的考查多以等差、等比数列基本量的计算以及常见求通项、求和方法为主,考查内容相对集中,难度适中. 因此,在日常的教学中,应重视等差、等比数列通项公式、前n项和公式基本量的计算,等差、等比数列通项性质、前n项和性质的掌握,以及常见求通项方法,如累加、累乘、由Sn求通项等,常见的求和方法,如倒序相加、分组求和、并项求和、裂项相消、错位相减等方法的训练,用以夯实基础知识,掌握基本技能,方能在考试中“行稳”.

3.4 精准备考,注重引导学生正确建构模型和合理运用模型

综合性问题如2021年新高考I 卷第16 题往往涉及到的情境较为复杂,关联诸多概念和规律. 建构数学模型,可以简化情境、整合知识、优化思维. 在构建模型教学中注意抓好三个点: (1)建构数学模型要精准. 例如,我们在数列章节教学中解决等差、等比数列的实际问题时,尽管很多问题呈现的情境形式多样,但这些情境在数学本质上是相同的,只要紧扣等差、等比数列定义即可. (2)建构模型要强调数学本质.将某一类具有相同的数学特征、规律和思维方法的情境提炼成数学模型,那么在引导学生建构数学模型时就有必要强调模型的数学本质. 如本题中的折纸问题,在纸张对折的过程中,所得图形的面积减半,呈现出一个等比数列,这就是该模型的数学本质. (3)提升运用模型时的迁移能力. 从学习心理学的角度看,学生在解决实际问题时,要经历知识迁移和能力迁移两个过程,问题解决的好坏是上述两个迁移结果的具体表现. 不顾情境条件和问题设置生搬硬套是学生应用模型时最常见的问题. 采用一题多变等教学方法通过微调经典模型的场景条件等引导学生学会质疑,提升学生对模型的辨识能力和知识迁移能力,以达到触类旁通举一反三,从而实现精准备考的目的.