反例在数学教学中的作用研究

摘要：数学是一门严谨的学科，它拥有奇特的逻辑思维方式和推理体系。在数学发展的历史中，存在一个概念，它的特点是非常直观，明显，也具有强的说服力，这个概念就是反例。因此，反例在数学教学中具有举足轻重的地位。在学习过程中，我们要明白反例的概念，同时也要学会如何构造一个完美的反例，并把握反例在数学教学中的作用。它不仅能帮助我们发现人类历史上的規律，而且还可以预测未来，激发人们的思考。

关键词：反例 构造 作用 思维定势 功能固着

引言

在数学上，要说明一个命题是正确的，需要经过严格的论证，但是要说明一个命题是错误的，举出一个反例就够了。在数学发展的过程中，很多著名的数学猜想和数学命题都是被反例否定的。经常有这样的故事，一位数学家用了很长的时间来证明一个重要的猜想，却没有得出结论，而有另外一位科学家用了一个反例来说明这个猜想，却解决了这个问题。相对于具体的数学命题来说，数学中的反例是其实就是为了说明某个数学命题不成立而举出来的例子，它的作用就是可以有效且快速地对假命题进行否定。早在1970年就有心理学家表明：“反例携带了最适于辨别的关键信息”。美国教育心理学家布鲁纳也认为：“反例能预防做出‘仓促的判断’”。因此，反例在我们学习数学和研究数学的过程中起着不可估量的作用。

一、反例的概念

1.逻辑学中反例的概念

在逻辑学中，反例是相对于某个全称命题的概念。要说明一个命题是假命题，通常可以举出一个例子，使它满足命题的所有条件，但是却得出的与命题的结论不一样的结果，这样的例子就是命题的反例。

2.教育心理学中反例的概念

在教育心理学中，反例属于否定例证的一种类型。具体来说，定义和概念的正例传递了最有利于分析的信息，而反例则传递了最有利于判别的信息。不含有某一概念的所有本质属性或只含有该概念的部分本质属性的例证，就是这个概念的否定例证。而根据该概念具有概念本质属性的程度，否定例证可以分为两类：第一类是普通否定例证，这类例证中不具有概念本质属性中较多的或者较明显的特性，因而比较容易区分，例如我们很容易在一堆图形中找出不是四边形的那一个图形，就是三角形，因为三角形不具有四边形概念中四条封闭线段这一明显的本质属性，所以被快速的找到。另一类否定例证则是具有较多、较明显的本质属性，只是不具有少数的、潜在的本质属性的例证，这样的例证被称为反例。

3.数学中反例的概念

在数学中，符合命题的条件，但不符合命题结论的例子，就叫做反例。简单来说，反例就是一种指出某命题不成立的具体例子。[1]在数学中，一般来说，命题的形式为：具有性质，我们要说明这个命题为真，则必须使中任意一个元素都具有性质，而要说明这个命题为假，则只需找到一个元素，但元素不具有性质即可，也就是构造了一个反例予以反驳。例如，对于命题“若两个数都是质数，那么它们的和也是质数”的判断，我们可以构造一个反例：3和5是质数，但是3+5的和8不是质数，进而对该命题进行了否定。虽然，从某种意义上来说，指出某命题不成立的任何例子都可以称为反例。但是，数学中所说的反例，是建立在独特的数学思维和严密的数学推理的基础上的，而且是具有一定代表性的反例。其中，指出一个数学命题为假命题的反例可能有许多个，而我们只需要举出其中一个即可。

二、反例的构造方法

反例的构造是根据具体数学问题展开的，对于不同的数学问题可以构造出不同的反例，对于同一个数学问题用不同的方法也可以构造出不同的反例，所以数学中反例的构造方法是多种多样的，但是在解决实际问题的时候我们只需要采取其中最佳的一个反例就够了。

在应用过程中，我们可以运用类比、组合、灵感、联想等创造性思维的形式来举出反例，但是反例的构造是有一定难度的，因为它需要学生有强大的数学基本知识作为基础。所以只有在平时的教学过程中不断的学习和积累，才能构造出具有很好效果的反例。

1.二分法

所谓“二分法”就是把满足题设的情形分为两种，使其中一种具备某类属性，而另一种不具备这类属性，如果在第一种情况下命题成立，则考虑第二种情况，必要时，可以继续采用“二分法”把第二种情况再进行分类考查，直到找到反例为止（当然有时也不一定能找到）[2]。

例1：判断下面命题的真假：

2.特例构造法

对于一些比较复杂的数学命题，直接证明它会很繁琐，这个时候可以考虑选取典型反例和特殊情况来构造所需要的反例，从而对命题进行有效的否定。

例2：判断下面命题是否正确：

3.图形构造法

思考题目的几何意义，采用图形的方法来构造反例。

例3：判断下列命题的真假：

分析：假设函数，的最小正周期，如果该假设成立，则函数的最小正周期也是。故构造函数，使其最小正周期缩小一半（如下图1）。为使与满足条件，可取的前半周期与的周期相等，后半周期为;而的前半周期为，后半周期与的周期相等，从而构造出反例。这样根据图像可直观的判定原命题为假命题。

4.题设数量关系讨论法

对于一些真假难分的数学命题，在它的题目中往往会隐含一些数量关系，当这些数量关系和题干的某些条件相符的时候，命题成立，而和另外一些条件相符的时候，命题却不成立。所以，多关注题目中的数量关系就能够比较容易的构造出反例。

例4：证明下面命题的真假：

三、反例在教学中的作用

1.培养学生理解概念的有力工具

在概念教学中，数学概念在数学教学与学习中占有重要的地位，教师应该重视学生对概念的理解，尤其在学习概念的强化阶段，要加深学生对概念的掌握，就必须在概念学习的过程中适当的应用反例来进行教学，在辨别分析的基础上，才能对概念的本质属性和非本质属性有明确的理解，在排除大量无关条件的干扰后，使学生重新认识和形成概念。若是没有反例，很多无关条件就得不到排除。

例如：集合的定义是一些元素组成的总体，要理解这个概念就要把握集合中元素的特征，即确定性、互异性、无序性，这样才能判断一些元素能否组成集合。

比如不是集合，因为它不符合集合中元素的互异性，出现了两个相同的元素;再比如也不是集合，因为它不符合集合中元素的确定性，是一个不确定的元素;又比如和是相同的集合，因为虽然集合和集合中元素排列顺序不同，但是元素相同，符合集合中元素的无序性，所以是相同的集合。

通过列举这样的反例可以帮助学生很好的掌握集合的概念，也能检验自己写出的集合是否正确。

2.培养学生的思维品质

不难发现，我们现在所使用的数学教科书和相关的参考书往往是以正面的陈述和严密的逻辑证明为主，例题也是从正面来进行解释并验证定理，或说明如何使用定理来解题的，所以老师在教学的时候，习慣于从左到右的正向证明，并且往往偏重演绎论证的练习，但是这反而抑制了从右到左的逆向思维，导致学生在解决问题时总是想方设法的寻找正面的论证方法，以至于对一个错题在做了好久也做不出来的时候，也不会去思考是不是这个题目是错误的，或者举出反例来否定命题。久而久之学生在学习时就很容易形成思维定势和功能固着，不会主动去发现问题，提出问题，解决问题，而数学教学不仅要传授基本知识、基本技能、基本情感、基本方法，还要培养学生的各种思维能力，如侧向思维、多向思维、反向思维等。

因此老师在教学过程中需要引导学生积极的去质疑、去猜想、去发现问题、去解决问题，而寻找与构造反例的过程则恰恰是一项充满创造性的思维活动。要构造反例首先要对所涉及的公式、概念、法则、定理等有比较深刻的认识，抓住其本质特征，并进行积极的思维活动，这样才能构造出正确有效的反例。运用反例，不仅可以帮助学生改正学习中的错误，消除思想误区，克服学生的思维定势，抑制负迁移;还可以让学生在构造反例的过程中去体会数学思维方式的妙处。一个“巧妙”的反例可以推翻一个看似很“牢固”的理论，有人误以为构造反例是所谓的“投机取巧”，事实上，反例的构造虽然并不像演绎证明那样有明确的、严密的、有章可循的逻辑方法，但是它是一种高级的、复杂的、多维的思维活动过程。

例如：在求函数定义域的问题中也可以运用反例。

举出这样的反例，可以加深学生对定义域求法的理解，克服学生的思维定势，培养学生知识迁移的能力。

3.加强学生对已有知识的巩固

在数学课堂教学的过程中，经常会有这样的现象发生：当教师在讲解完新知识后，通过例题对知识点进行巩固时，就会有部分学生不听课了，原因是学生觉得自己已经明白了，学会了，理解了，没有必要再继续听讲了，于是开始埋头做自己的事。此时，教师就要学会利用反例来对新知识进行巩固，对那些觉得自己会了就不听课的同学进行提问，通过逐步加深问题的难度，让这些同学意识到自己还有不明白的知识，还有没有掌握的地方，还得要认真听课。

例如：在学习直线公理“经过两点有且只有一条直线”和线段公理“两点的所有连线中，线段最短”的时候，学生可能会感觉很简单，觉得自己学会了，这时就要举一些反例让学生巩固已经学过的知识，而举一些学过的命题的反例则可以更好的巩固知识。比如直线公理的反例“经过两点有且只有一条线段”，线段公理的反例“两点所有连线中，射线最短”。它们都是错误的公理，因为线段，射线和直线三者是不同的概念，不能混为一谈，互换位置。

这样的一些反例，可以让学生巩固新知识，也让他们明白其实他们还没有真正的领会这些知识点，还需要好好的理解学习。

4.帮助学生理解与运用性质、定理和公式

由于书上的定理和公式，记录的都是前人探索的结论，但却没有他们探索的详细过程，所以在教学中，教师应该根据学生的理解情况适当的举些反例，这样才能帮助学生牢固地掌握性质、定理和公式。

例如：指数函数（且）的性质是过定点，即时，。所有的指数函数的图像只过同一个定点。假设指数函数和，它们的图像不过点，令，，，得出这两个函数图像都过点，则假设不成立，即所有的指数函数的图像都过点。

运用这些反例，学生可以很好的理解并掌握指数函数的性质，为之后学习其他知识奠定一个良好的基础。

结束语

在数学的发展史上，一些反例的出现，标志着数学理论上一种根本性的改革和突破，推动数学向前进步和发展，所以说有时候，一个新的数学概念的形成，反例也起了至关重要的作用。例如，毕达哥拉斯学派的学者认为世界上任何的数都可以用有理数来表示，在长达几个世纪的时间里，这个结论都影响着人们对于数的认识，直到公元前五世纪海帕修斯发现了单位正方形对角线的不可公度性（即的无理性），才彻底的推翻了毕达哥拉斯学派关于有理数的理论，虽然诱发了“第一次数学危机”，但是数的范围却被扩充了，无理数这个新的数学概念也形成了。从某种意义上来说，反例推动了我们数学的发展，正因为有了反例，才有了数学的今天。

反例不仅是我们对假命题进行否定的有效手段，它也可以发现数学原有理论的局限性，甚至错误，尤其在数学发展的转折时期，一个完美的反例可能会直接促进数学理论的发展和变革，可以说，反例是数学这座宏伟殿堂中必不可少的一部分。

参考文献

[1]蔡美虹.浅谈数学中的反例[J].广西师院学报（自然科学版），1997（03）：78-83.

[2]王长春.反例的作用及几种构造方法[J].中国教育技术装备，2012（01）：149-150+152.

[3]温行权.例谈反例在初中数学教学中的妙用[J].中小学数学（初中版），2011（11）：10-12.

作者简介：郑凯琪，女，1996年07月30日，汉，山西大同，上海师范大学