培养学生早期代数思维的实践与思考

摘 要：代数内容学习时间滞后和内容比例失衡以及教师对代数思维的“不明白”等原因造成了学生对代数思维的“不习惯”，基于此，教师要深入理解教材和学生，重视代数思维早期的系统渗透。笔者以“=”的认识及再认识两课为例，通过利用相等关系来有效培育学生的早期代数思维。

关键词：相等关系;早期代数思维;“=”的认识

一、导致学生代数思维“不习惯”的原因

小学高段教师可能会遇到这样的困惑：在教学方程这个单元的时候，有不少学生不愿意列方程解决问题。而低段的教师也常常会遇到这样困惑：学生对于解答诸如3=□-7的题目时，□里往往会写4。到底是什么原因引发这样的困惑呢？

（一）算术内容多于代数内容

在现行的义务教育数学课程中，数与代数领域占据了课程的很大一部分内容，如果把这个领域的学习内容区分为算术与代数，那么在现行课程中，从内容比例上看，代数无法与算术相提并论。

（二）算术内容早于代数内容

从学习时间上看，算术贯穿于整个小学学习过程之中，而代数学习出现时间较为靠后，如人教版是安排在五年级上册，因此代数学习相较于算术学习是滞后的，可见在学生的认知中算术较为“先入为主”。

（三）思维的“不明白”造成了学生的“不习惯”

造成学生对代数思维“不习惯”的原因，一部分责任或许在于教师。笔者对全校28位教师进行“你知道代数思维吗？”的调查发现，仅有3位教师知道代数思维贯穿于所有年级，并能举出一些低段教学中隐藏代数思维的例子，而其余的教师则认为代数思维出现在五年级方程单元。

二、“早期代数教学”的含义

“早期代数教学”是指学生在小学一、二年级学习时，教材并没有系统地呈现代数教学内容，但是教师在教学“数与代数”内容前要适当地渗透代数知识，促进学生低段与中高段代数思考的衔接，培养他们对代数关系和结构的理解。通常，“早期代数教学”内容包括数的模式、相等关系、一般化与证明、函数关系等。

三、培养学生早期代数思维的策略

对低年级学生来说，对“等式”的理解是一个难点。因此，对低年级学生的教学需要趣味性、活动性，教学设计要具有可视性、可操作性的特点。

（一）种子课：“=”的认识

要让学生更好地理解“=、>、<”这三个符号的含义，教师可以通过“搭积木”的方法来进行教学。具体的操作过程如下：

1. 明确学习材料

出示一些小圆片，2根小棒（最好为每一个学生都准备这样的材料，与教师一起操作），今天我们要用这些小圆片和小棒用“搭積木”的方法学习。

2. 引入并理解符号意义

引入“=”并理解其含义。

把4个小圆片如图1摆放，并让学生观察看到了什么数学信息？

引导学生观察后发现：左边有2个小圆片（板书2），右边也有2个（板书2）两边的小圆片一样多，都是2个（如图2）。教师把两根小棒分别放在小圆片的上端和下端（如图3），让学生观察，说一说新的发现？

引导学生观察后得到：2根小棒都是平平地放着，两边的口子一样大，也可以说小棒之间的宽度一样。教师让每一个学生用手势表示两根小棒平平地放着。

师介绍：像这样左边是2个，右边也是2个，左右两边一样多，用等号来表示，得到“2=2”，并说明“=”这个新朋友表示左边和右边相等。并读等式（2=2），即2等于2。

用类似的方法教学3=3。再让学生想一想，4=4，5=5是什么意思？如果要用小圆片和小棒摆一摆，应该怎么摆？让学生动手操作（摆圆片、小棒，做手势），写等式，读等式。

3. 分别引入“>”“<”并理解其含义

类似于上面的过程，教学大于号与小于号。并作相应的练习。

4. 观察比较三个符号的异同

让学生观察、比较“=”“>”“<”三个符号的异同。引导学生得到：等号是平平的，左右两边嘴巴一样大。大于号和小于号的嘴巴都是朝着大数的，大于号的嘴巴朝左边，小于号的嘴巴朝右边。它们可以表示出两个数谁大、谁小，还是相等，是表示两个数之间的关系的一种符号。

通过“搭积木”方式教学这三个符号，符合一年级学生喜欢玩游戏的心理，增加了趣味性。同时学生在经历操作、观察、比较、表达的过程，有利于更好地理解三个符号的意义，尤其是相等关系。

“=、>、<”这节课是想让学生对相等关系有第一层次的认知：“数与数相等”。整个学习过程中，在学生不停地操作、记录中，他们的代数思维在发展。在学习过程中，学生对“=”左、右两边是两个独立的部分有了初步感知。

（二）生长课：“=”的再认识

1. 激活平衡经验

师：大家平常有没有在公园里玩过跷跷板？小动物们也在玩跷跷板，从中得到平衡。除了跷跷板，天平也涉及平衡现象。

2. 建立平衡概念

（1）回忆“数与数”的相等关系。

分别在天平左右两侧放入一些圆片，另一侧要分别放多少，才能平衡呢？

交流汇报后得出□=□的等式

（2）理解“数与式”的相等关系。

师提问：你有什么办法，让一边的圆片发生变化，最终天平能保持平衡？

引导学生用小圆片来帮忙，先在左边放3颗绿色圆片，右边放5颗红色圆片，再想一想，或者动手摆一摆，让左右两边的圆片一样多。

交流反馈。预设：左边加2，右边不变。左边不变，右边减2。交流后分别得到3+2=5，3=5-2的等式。分别让学生说一说等号两边的数或式分别表示什么意思？

（3）理解“式与式”的相等关系。

师提问：你还能让左右两边的圆片同时发生变化吗？

学生操作反馈。预设：左边加1，右边减2个。得到3+1=5-2的等式。观察算式的特点，并说一说“=”的左右两边的算式各表示什么意思？

多种方法尝试。作业纸上完成第一题，想一想可以怎样增减，最终让左右两边的小圆片个数相等，并把增减过程用等式记录下来。

观察比较等式。虽然增减的个数不一样，但是目的是相同的，都要做到让两边变得同样多，这样天平才能保持平衡，得到等式。

3. 巩固平衡关系

（1）填一填

2=□  7=10-□

2+□=4  4-□=5-2

1+1=3-□

（2）想一想

5+△=□+2，△可以填（ ），□可以填（ ）。

這一节课，通过天平支架，形象化地操作小圆片或者画小圆片，突破了数与式，式与式的对等。有效建立了对等意识，破除了单一算术思维的壁垒。无疑，学生在学习的过程中在原先第一层次“数与数的相等”的认知基础上又提升了两个新的认知。

第二层认知是“数与式的相等”。学生同样在操作观察，边摆边画中，边想边记录中，不断写出等式。整个过程中，由于可以不断操作，思维可以可视化。学生从中感悟到：等号左、右两边既可以是数，也可以是式，是各自独立的，但是相等需要条件。可以说第二层次的认知十分关键。

第三层次认知是“式与式的相等”。有了第二层次的铺垫，学生对“=”的认知从“得出”拓展到“等价”。因此，在又一次的操作或者想象中，学生可以比较快速地得出等式，这与单纯利用数字天平得到的算式不同，运算形式上更加丰富了，也就意味着学生对于“=”的意义理解更深刻了。

■参考文献

[1]张丹.如何理解和发展代数思维——读《早期代数思维的认识论、符号学及发展问题》有感（上）[J].小学教学（数学版），2012（11）.

[2]张小丽.怎样才能更好地理解“>”“<”“=”的含义[J].教学月刊（小学版），2020（07）.

[3]罗永军.利用数字天平培养儿童早期代数思维的实验研究[J].小学教学（数学版），2020（12）.

[4]张天孝.现代新思维小学数学教育[M].杭州：浙江大学出版社，2017.