Liouville定理的几种新证明方法

方权清,阮其华

(莆田学院 数学与金融学院，福建 莆田 351100)

0 引言

有界整函数一定是常值函数,这就是复变函数论中经典的Liouville定理。尽管Liouville定理非常简洁,但它却是复变函数论中一个非常有意义的结果。这个结果不仅在复变函数论中有广泛的应用,在偏微分方程中也有广泛应用。例如,Navier-Stokes方程的解[1]、Riemannian流形上的古典解[2]等问题的研究。

对于实轴上定义的有界无穷可微函数,不能期望它恒为常值函数。但是对于复变函数而言,有界无穷可微函数一定是常值函数。这也说明了复变函数和实变函数的某些性质存在巨大的差异,复变函数的性质并不是实变函数性质的机械平移。

通常,复变函数论中关于Liouville定理的证明是利用Cauchy不等式,得到有界的整函数的导数是0,从而得到这样的整函数是常值函数。复变函数f(z)＝u(x,y)＋i v(x,y)在区域D上解析当且仅当在区域D上u,v是C2实变函数,并且满足Cauchy-Riemann方程。Liouville定理指出了有界整函数f(z)必为常值函数。Liouville定理的证明在很多文献上可以见到,例如文[3－5]。

对于解析函数,由于实部和虚部是共轭调和函数。调和函数在偏微分方程中已有一些非常经典的结果,因此本文中也利用偏微分方程已有的一些结果和方法给出Liouville定理的新证明。在偏微分方程中,证明一个调和函数的最大值和最小值只能在区域的边界取到。比较常见的一种证法是用拓扑的方法,证明如果这个函数在内部取到最大值(或最小值),那么函数的最大值点(或者最小值点)构成的集合既是开集又是闭集。受这种方法的启发,本文也尝试用拓扑的方法证明Liouville定理。

本文分别从拓扑、多元微积分、偏微分和复变函数论的角度给出Liouville定理的几种不同证明方法,体现了数学各个分支之间的联系。

1 拓扑视角下Liouville定理的证明

在用拓扑的方法证明Liouville定理之前,首先讨论对复平面C赋予度量拓扑时,一个非空集合既是开集又是闭集,那么它应该是全集。

值得一提的是,龚昇用上面所讲的拓扑的方法证明Liouville定理,在证明的过程中提到:一个连通集的非空子集,如果既开又闭,那么这个子集一定是集合本身[9]。但笔者认为这个说法有不严谨之处。例如对于R上的离散拓扑(即R中的任何一个子集都是拓扑中的元素)而言,显然R是连通的,但是对R的任何一个非空真子集,在离散拓扑下是既开又闭的。因此,这个结果实际上不仅与集合的连通性有关,还与集合赋予的拓扑有关。在下面的引理中,首先证明由复平面C的度量d(z1,z2)＝ z1－z2诱导的拓扑,这个结果是对的。在此基础上,受文[9]的启发,用这个结果从拓扑的角度证明Liouville定理。

2 多元微积分视角下Liouville定理的证明

定理2 设n元函数f(x)在x0的开邻域U内有连续的二阶偏导数,x0是其驻点,那么:

3 偏微分视角下Liouville定理的证明

用偏微分的方法给出Liouville定理的第三种证明方法。注意到对复变函数中的解析函数而言,实部和虚部都是调和的。调和函数在偏微分方程中已经有非常成熟的结果了。因此,借助偏微分方程已有的结果,也可以证明Liouville定理。在此,首先介绍偏微分方程中关于调和函数的一些结论,这些结果也可以参考偏微分方程的书籍,例如文[11]。理可证,v是常值函数。从而f(z)是常值函数。

4 复变函数视角下Liouville定理的证明

其中,B是以z0为球心的“球”, V 为球的“体积”。

故f(z)＝f(z0)。由z∈C的任意性知,f(z)是常值函数。