由一道题谈求数列通项公式的技巧

戴开鑫

由递推关系式求数列的通项公式问题侧重于考查等差数列、等比数列的通项公式，但此类问题具有较强的综合性，很多问题较为复杂，我们需灵活运用一些相关的技巧，如消元、累加、引入待定系数、建立特征方程等，再根据等差数列、等比数列的通项公式才能求得数列的通项公式.

本题看似简单，其实难度较大.已知递推关系式中涉及了数列中的三项，而要求得数列的通项公式，只需重点研究数列的前后项之间的关系.因此，需将题中已知的递推关系式进行合理的变形，灵活运用一些相关的技巧，如换元、累加、累乘、引入待定系数等将问题进行转化，再根据等差数列、等比数列的通项公式求得数列的通项公式.

技巧三：引入待定系数

引入待定系数是求数列通项公式的常用技巧.运用待定系数法解题，需先将递推式表示成另一种含有待定系数的新的形式，通过比较系数建立方程或方程组，解方程或方程组便可求出待定系数，进而构造出等比数列，然后根据等比数列的通项公式求得數列的通项公式.

由此可见，由递推关系式求数列通项公式的技巧有很多，如消元、累加、引入待定系数、建立特征方程等.无论运用哪种技巧，我们都要先将递推式进行合理的变形，如取对数、取倒数、作差等，构造出等差、等比数列，然后运用等差等比数列的通项公式、前n项和公式来求得数列的通项公式，而由递推关系式求数列通项公式的关键在于，将已知递推关系式进行合理的变形，推导出新数列的递推关系式，并明确新数列的性质.

（作者单位：江苏省扬州市邗江区公道中学）