求解数列不等式问题的两种思路

张静美

数列不等式问题在各类试题中比较常见，此类问题的综合性较强，难度系数较大，很多同学对此类问题心存畏惧，不知如何下手.其实，解答这类问题也是有规律可循的，下面笔者结合实例来谈一谈求解数列不等式问题的两种思路：先放缩再求和以及先求和再放缩，以供大家参考.

一、先放缩再求和

有些数列不等式问题中的不等式没有呈现出规律，此时我们需先将不等式进行合理放缩，以便构造出易于求和的数列，如等比数列、等差数列、常数数列等，这样便能快速求出数列的和，证明不等式成立.在放缩不等式时，可以采用添加或去掉某些項、放大或缩小分子、分母、利用糖水不等式、基本不等式等方式来进行证明.二、先求和再放缩有些数列不等式问题中的不等式直接呈现出规律，此时我们可以先对数列进行求和，然后再证明不等式成立.在求和时，可根据数列中通项的特点采用分组求和法、倒序求和法、错位相减法等来求出数列的和，然后再结合所要求证的目标放缩不等式.

在运用放缩不等式时，要将无穷小量去掉，以便放缩不等式.

数列不等式问题常常与函数、方程、不等式等内容相结合，侧重于考查数列求和的方法、求数列通项的方法、等差或等比数列的定义、求数列的最值等，因此，在解答数列不等式时，同学们要重视函数、方程、不等式等知识的综合应用，从多个角度分析问题，灵活对问题进行转化.尤其在放缩不等式时，要充分利用方程思想、函数的性质、不等式的性质来证明结论.

（作者单位：浙江省宁波市北仑泰河中学）