“以形助数”，巧解方程和解析几何题

王嘉

数形结合思想是一种重要的数学思想，也是非常重要的解题方法.在解题中，灵活运用数形结合思想，以形助数，即借助图形来解答数学问题，能使问题中的数量关系变得更加直观，有利于快速找到解题的思路.

要借助图形来分析、解答问题，需首先深入挖掘代数式背后的几何意义，将代数式与曲线、图象、数轴等对应起来，然后根據题意建立合适的坐标系或画出相应的数轴，绘制出相应的图形，再通过分析图形来建立新的关系式，求得问题的答案.

分析：本题若通过解方程的方法来求解，很难成功，我们需以形助数，根据题意绘制相应的图形，借助图形来分析、解答问题.可将方程有两个不同的实数根的问题，转化成两个函数图象在区间内的交点的个数问题，画出函数的图象，便可借助图象来分析。的取值范围、求得α十β的值，

有些问题是与图形有关的，但题目中并未给出具体的图形，此时，我们需根据题意绘制出相应的图形，找出对应的点、线、面的位置及其关系，然后借助图形来分析问题，找出曲线间相切、相交、相离的位置，或讨论取得最值的情形等，由此建立新的关系式，使问题获解.

分析：本题较为复杂，我们可以根据题意绘制出相应的图形，通过以形助数的方式来解题，所求的最值与动点M的位置有关，以借助图形找到可能取得最值的点M，然后求得M的坐标，便可求得最值。

我们将抽象的函数表达式转化成形象的曲线，能更加直观地凸显出函数的性质，将复杂的解析几何曲线转化为几何图形，便于快速找到对应的点、线之间的位置关系，从而有利于快速、正确地分析问题.可见，以形助数，能有效地帮助我们提升解题的效率.

（作者单位：江苏省泗洪中学）