解答不等式恒成立问题的三个“妙招”

戴涓涓

在高中数学中，不等式恒成立问题屡见不鲜.此类问题的命题方式多样，且涉及的知识点较多，对同学们的运算能力和综合分析问题的能力要求较高.为了帮助同学们提升解答不等式恒成立问题的效率，笔者在此介绍解答此类问题的三个“妙招”.

二、变更主元

有些不等式较为复杂，我们采用常规的方法无法求得问题的答案，此时可变更主元，将参数视为白变量，将白变量视为参数，把问题转化为关于参数的函数最值问题来求解.在求函数的最值时，可灵活运用函数的图象和性质来解题.

本题中戈为参数，m为主元，我们很难直接求得x的取值范围，于是变更主元，将戈视为主元，m视为参数，把问题转化为关于x的二次函数根的分布问题来求解.根据m的取值范围建立新的关系式，进而求得戈的取值范围.

三、数形结合

在解答不等式恒成立问题时，将数形结合，能使问题变得更加直观，有效降低解题的难度.在解题时，我们需根据题意绘制出相应的图形，找出使不等式恒成立时的情形，建立新的关系式，便可解题，

在解答本题时，我们直接在同一个坐标系中画出两个函数的图象，然后结合图形找出使不等式恒成立时的情形：y1< y2，求得对应点的坐标，即可求得参数的取值范围.

对于不等式恒成立问题，我们都可采用这三个小“妙招”来解题.相比较而言，分离参数和数形结合是应用范围较广的，变更主元较为复杂.有些问题需同时使用两个或者三个“妙招”，才能使问题顺利获解，因此在解题时，同学们要根據解题需求灵活选择.

（作者单位：江苏省南通市海门四甲中学）