等腰三角形“三线合一”的性质及其应用

张娜

等腰三角形底边上的高、底边上的中线和顶角平分线相互重合，我们将等腰三角形的这一特性称为“三线合一”，具体可以归纳如下：如图1所示，在△ABC 中，AB = AC，D 为BC 上一点，下列三个条件中：（1）∠BAD =∠CAD ;（2）AD ⊥ BD ;（3）BD = CD ，满足其中任意一个条件时，都能直接推出其余两个条件成立.由此可见，等腰三角形“三线合一”的性质是一个多功能的性质定理，是解答几何问题的有效策略，可用于证明两角相等或倍分，证明线段相等或两线互相垂直等.

“三线合一”是等腰三角形的重要性质，因此，运用这个性质的前提一定是在等腰三角形中，其它三角形并不適用.所以，对于某些几何问题，若题目并没有明确给出等腰三角形，则可适当添加辅助线，巧妙构造等腰三角形，再运用“三线合一”性质解题.在运用这一性质解题的过程中应注意以下几点：

1.等腰三角形是轴对称图形，因此常用的辅助线作法有三种：作等腰三角形顶角的角平分线、底边上的高线、底边上的中线.

2.注意定理中条件和结论之间的互换性，即若三角形的三线中有两线重合，则可得到此三角形必是等腰三角形.以上情况可简称为“二合一则等腰”，这可作为等腰三角形的一种判定方法.

3.若在三角形中出现了高线、中线或角平分线时，有时可以延长某些线段以构造等腰三角形，然后用“三线合一”定理去处理.

下面我们结合几道例题，说明等腰三角形“三线合一”的性质在几何证明题中的应用方法.

例1 如图2，在五边形 ABCDE 中，∠B =∠E，∠C = ∠D，BC = ED，M 为 CD 的中点，求证：AM ⊥ CD.

分析：要证明 AM ⊥ CD ，不妨添加辅助线构造等腰三角形.由已知∠B = ∠E，∠C = ∠D，BC = ED，不难得出∠G = ∠H，即得出△AGH为等腰三角形.再通过三角形全等，得出 GC =HD，再利用等腰三角形的“三线合一”性质即可使问题迎刃而解.

证明：延长 AB 、AE 与直线 CD 分别交于G ，H .

∵∠B = ∠E，∠C = ∠D，

∴∠GBC = ∠HED，∠BCG = ∠EDH，

∴∠G = ∠H，△AGH 为等腰三角形.

∵∠GBC = ∠HED，∠BCG = ∠EDH，

BC = ED，

∴△GBC ≌△HED，GC = HD .

又∵ CM = DM，所以 GM = HM.

∴在等腰△AGH 中，根据“三线合一”的性质，可知 AM ⊥ CD .

评注：在解答两线垂直的证明问题时，如果题目满足以下两个条件即可运用等腰三角形的“三线合一”性质来证明：（1）三角形是等腰三角形;（2）两线的其中一条线是三角形底边上的中线或顶角平分线.

例 2 如图 3，已知 AB ∥ CD，E 是 BC 的中点，AE ⊥ DE，求证：∠BAE = ∠DAE.

分析：本题中已知 E 为 BC 的中点，AE ⊥DE，故而要想证明∠BAE = ∠DAE，不妨根据这两个条件，联想等腰三角形“三线合一”这一性质，适当添加辅助线，构造等腰三角形.这样，只需要延长 DE 、AB ，使其相交于点 F，再证明 EF = ED，就很容易得出∠BAE =∠DAE .而要证明 EF = ED，只要证明△BEF与△CED 为全等三角形即可.

证明：延长 DE 、AB ，并相交于点 F .

∵ AB ∥ CD，

∴∠BFE = ∠CDE，∠FBE = ∠DCE.

又∵ E 是 BC 的中点，∴ BE = CE，

∴△BEF ≌△CED，EF = ED.

又∵ AE ⊥ DE，根据等腰三角形“三线合一”这一性质可得，∠BAE = ∠DAE.

评注：在证明有关角的问题时，可通过作辅助线将题目已知条件与待证的角的关系联系到一起，运用等腰三角形的“三线合一”性质证明.本题顺利得证的关键在于运用了等腰△ADF 的高 AE ，既是底边 DF 的中线，又是顶角∠FAD 的平分线这一性质.

例3 如图4，在△ABC中，AC = BC，∠ACB =

90°，∠ABC 的平分线交 AC 于 D ，AE ⊥ BD 交

BD 的延长线于 E ，求证

总之，等腰三角形“三线合一”的性质是只要知晓“三线”中的任何一“线”，则能知此“一线”也是等腰三角形另外的“两线”，这为我们解答几何问题提供了新的思路和方法.同学们在学习等腰三角形这一章节时，要准确理解和把握“三线合一”的性质，结合具体32 问题，灵活迁移运用.