扩展有限元法在断裂力学的应用

摘要：现如今各个物体都有一定缺陷，而断裂力学作为研究物体裂纹缺陷的一门学科，在很多方面的应用都十分广。由于物体的断裂有着很复杂的应力状态，普通的有限元方法很难实现裂纹扩展的模拟，或者所得到的结果不符合现实情况。而扩展有限元法的出现使得这一难题基本得到解决。本文主要讲述断裂力学的发展史，以及扩展有限元法应用于断裂力学所做的研究贡献。

关键词：断裂力学;扩展有限元;应用;扩展有限元

1. 绪论

断裂力学是专门研究物体或构件，自身带有缺陷或裂纹等瑕疵强度的一门学科[1-2]，起初作为固体力学的一个分支。断裂力学的主要目的是研究裂纹怎样发展的，其对构件强度有着怎样的影响，也就是说，他的核心研究对象是工程结构中裂纹扩展的运动规律。裂纹的起裂条件、其在特定条件下的扩展过程、到怎么的状态下使得物体构件断裂都是断裂力学所研究的。与传统的常规设计方法相比较，传统方法不可处理裂纹，而断裂力学处理的较好，这是断裂力学的一大优势[3]。

随着社会的快速发展，科技进步也尽在眼前，在为解决实际复杂工程的同时，也带来了一些挑战，前进的道路总是崎岖不堪的，断裂引发的工程事故也比比皆是，而断裂力学的发现，为后人研究断裂物体栽培下一颗孕育待苞的萌芽。

2. 断裂力学的发展

1920年，Griffith学者[4]用材料内部存在裂纹的观点，对材料实际强度为什么比理论强度小这一疑惑，给出了相关解释，断裂力学由此呈现出历史舞台。Irwen学者[5]后经十多年的艰苦探索，对Griffith的理论提出了修改，此后断裂力学也可适用于钢材材料。1960年，Irwen学者用石墨做了关于断裂力学的相关实验，成功测得了裂纹开始扩展时的K值，建立了临界应力强度因子准则（即K准则），为线弹性断裂力学的理论体系的发展，添加一加促剂。1963年，Wells学者提出了用裂纹张开位移，来判定裂纹失稳扩展。这一判定标准也得到认可。1968年，Rice学者针对描述裂纹尖端附近的应力应变场，提出了二维含裂纹体的J积分。在这一年，Hutchinson等学者为弹塑性断裂力学后续发展埋下了坚定伏笔，即提出了HRR奇性场。1974年，Sih学者为断裂力学的发展起了不可忽略的作用，通过反复研究提出了能量密度因子理论。1994年，O‘Dowd等学者提出了J-Q双参数断裂准则，均对之前理论进行了改善与调整，使得断裂力学得到了很大程度的发展。到了1995年，魏悦广等学者基于裂纹尖端高阶场的分析研究，提出了J-k断裂准则，这更是断裂力学的里程碑。使得以后断裂力学的发展更为融洽和谐。

经过多年的研究，断裂力学的发展愈加成熟，许多学者的深入研究，可谓是对断裂力学的贡献很大，可从表面谈到深层次，从脚下论到首端。起始有限、离散分别研究，深究为有限、离散结合去探索;从传统方法到近现代的概率论性高等数学方法的转变;从线弹性断裂力学发展到弹塑性断裂力学;由静态的断裂力学过渡到动态的断裂力学;所有的这些成果无一不是说明断裂力学发展将趋向更加成熟，同时各个学者的投入也是不可忽略的。

3. 扩展有限元法在断裂力学的应用

岩石的裂纹扩展是一个不连续问题，在严格意义上来讲。常规的有限元方法难以实现裂纹扩展过程的数值模拟。为此众多学者提出了扩展有限元方法（即XFEM法），该法实现了数值分析中计算网格与不连续面相互独立，无需对网格进行重新划分，模拟移动的不连续面时候。因此后来更多的学者用扩展有限元法来研究断裂扩展演变。

对于几何非线性断裂力学问题。由河海大学苏静波等人[4]在研究扩展有限元法于几何非线性物体时，研制开发了扩展有限元的Fortran语言程序。而扩展有限元法在模拟岩石断裂时候不需要对不连续面的网格再次划分，苏静波等人在研究生几何非线性时候，再次推导了XFEM公式。在普通的有限元位移模式中，用两个水平集函数表示裂纹，加进了一个阶跃函数以及二位渐近裂纹尖端位移场在单位分解的思想中，以此来反应裂纹位移的不连续性;建立了有限元变形几何非线性扩展有限元方程用拉格朗日方程，使得之前的扩展有限元方程得到了一定程度上的改善，为后续研究也提出了一些方法。最终结果都是比传统有限元法更加合理准确。

基于几何非线性扩展有限元法的研究，后有一些学者提出，是否对于几何线性物体时，扩展有限元法有一定的欠缺或瑕疵，为此由杨万托学者[5]作了相关研究，他采取改进了的XFEM对有限板单边裂纹的应力强度因子和I型裂纹的扩展進行分析，结果表明该法的有效性。

XFEM位移模式中起初，裂尖加强节点的相关系数是彼此独立的，裂尖渐进位移场函的主要项是其加进的，对于裂尖附近的渐进位移场反应，这样的加强位移场不能将其描述地更为准确，对于应力强度因子也必须经过后处理才可求出，局部的加强位移场精度并不能令人信服。基于这一缺陷，文中进行了一些改善。进行了相应的位移模式构造，该过程过后，与传统的有限元方法相似，为了使得裂尖第一层加强节点等同于加强自由度，本文通过虚功原理，将罚函数法用来求解控制方程，并推导出有限元计算的基本控制方程。用到了一个积分方案，采用了一种特殊处理的积分法，在未保证积分的精度下，计算结论得出了裂纹的扩展开裂条件，推出了一开裂角和断裂准则。通过对一个尺寸板在单向拉伸下的裂纹走向，得出了其扩展类型和裂纹，很好地反应出了数值结果同实际试验的相似度。

扩展有限元法（XFEM）在断裂力学中应用较广，既解决了有限元法需要对局部网格的重新划分的难题，也解决了一些理论中易出错的地方，为一些工程作了不可估量的贡献，在分析动态裂纹问上，扩展有限元方法发挥出了巨大作用。尽管如此，该法也存在一些问题，如在处理位移模式中，是否会涉及到外载的作用，时间步的再次减少，而二次开发语言过于繁琐，是否可以增加一些理论，使分析结果更加如人意。

4. 结语

从发展来看，扩展有限元法更为符合裂纹的实际断裂过程，其对断裂力学参数和裂纹扩展路径所进行的数值模拟计算，更能有效地描述岩石断裂力学特性。同时扩展有限元法计算模型也验证了数值计算结果的合理性，可有效地预测平面裂纹的扩展路径。而随着科学技术的不断进步，在原本有限元法的基础上，二次开发的介入，更是未来发展的一大主流方向。

参考文献

[1]张晓敏，等.断裂力学[M].北京：清华大学出版社，2012.

[2]王自强，等.高等断裂力学[M].北京：科学出版社，2009.

[3]周博，等.岩石断裂力学的扩展有限元法[J].中国石油大学学报，2016，40（4）：122-126.

[4]苏静波，等.几何非线性扩展有限元法及其断裂力学应用[J].工程力学，2013，30（4）：42-46，58.

[5]杨万托，等.扩展有限元法在线弹性断裂力学中的应用研究[J].山西建筑，2006，32（12）：36-37.

作者简介

姓名：张露露（出生年份：1995-）;性别：男;民族：汉族;籍贯：陕西延安;职务/职称：学生/工学硕士;单位：成都理工大学;研究方向：岩土工程。